«Решение неравенств с одной переменой»
Скачать 328.88 Kb.
|
3.1. Линейные неравенстваНеравенство 5х-11>3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5*4-11>3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5*2-11>3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х-11>3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100; 180; 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства. Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными. При решении неравенств используются следующие свойства: 1)Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. 2)Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство 18+6х>0 (1) Равносильно неравенству 6х> -18, (2) а неравенство 6х> -18 равносильно неравенству х>-3. Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств. Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), то есть обращает его в верное числовое неравенство 18+6а>0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18+6а-18>0-18, то есть 6а>-18, а это означает, что число а является решением неравенства (2). Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решение неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными. Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде. Приведём примеры решения неравенств. Пример 1 Решим неравенство 16х>13х Приведём подобные члены: 3х>45. Разделим обе части неравенства на 3: х>15. Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой числовой промежуток (15;+ ∞ ). Ответ можно записать в виде неравенства х >15, задающего этот промежуток. В каждом из рассмотренных примерах мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах>b, ах˂b, где а и b – некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной. В приведённых примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может случится, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида 0*х > b или 0*х˂ b. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число. Пример 2 Решим неравенство 2(х+8)-5х ˂ 4-3х. Имеем: 2х+16-5х ˂ 4-3х, 2х-5х+3х ˂ 4-16. Приведём подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0*х: 0 * х˂-12. Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении х оно обращается в числовое неравенство 0 ˂ -12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство. Ответ: решений нет. 3.2. Решение неравенств второй степени с одной переменной Неравенства вида ах2+bх+с >0 и ах2+bх+с ˂ 0, где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, причём а≠0, называют неравенствами второй степени с одной переменной. Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. Пример 1 Решим неравенство 5х2+9х-2 ˂ 0. Рассмотрим функцию у=5х2+9х-2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х. Для этого решим уравнение 5х2+9х-2=0. Получим: Х1= -2, х2=0,5. Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны -2 и 0,5. Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда х€(-2;0,5). Следовательно, множеством решений неравенства 5х2+9х-2 ˂ 0 является промежуток (-2;0,5). Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз и каковы абсциссы точек её пересечения с осью х. Итак, для решения неравенств вида ах2+bх+с >0 и ах2+bх+с ˂ 0 поступают следующим образом:
если трёхчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а >0 или в нижней при а˂0;
Рациональными неравенствами называются неравенства вида Рп(х)>0  , где Рn (х); Qm(x) - многочлены n и m соответственно. Рациональные неравенства решают методом интервалов, который основан на свойстве рациональной функции:Рациональная функция может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если: хо - нуль (корень) функции, либо хо - точка разрыва; т.е. в интервале между корнями многочленов: числителя Рn (х) и знаменателя Qm(x),рациональная функция сохраняет знак. Метод интервалов, состоит в следующем: Находят корни числителя и знаменателя и отмечают их на числовой оси. Вся числовая ось, разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства: Рn (х) >0 или  сохраняет знак.Для определения знака на всем интервале достаточно определить знак левой части неравенства в одной точке этого интервала; затем выбираем те интервалы, знаки которых отвечают заданному неравенству. Объединение этих интервалов и будет множеством решения. План решения неравенств методом интервалов.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней: а) точка разрыва “пустыми” (не заштрихованными); б) ноль функции “пустыми” не заштрихованными, если неравенство строгое, и полными черными (заштрихованными) если неравенство нестрогое. Определяем знак функции на каждом их полученных интервалов (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения их соответствующего интервала). Выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства на оси (показываем эту часть заштриховкой). Записываем ответ. Пример 2 Решение неравенство  Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:   Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:  Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений  и  . Из первого получаем   Из второго получаем   Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки  и  обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки  и  — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла): Числовая прямая с отмеченными точками Определяем теперь знаки выражения на полученных промежутках (подставляем любое значение из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется: Кривая знаков для исходного неравенства Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: Ответ: 4. Проектирование урока по требованиям новых образовательных стандартов 4.1. План-конспект урока «Решение неравенств с одной переменной» ФИО, место работы, должность: Кузьмина И.В., учитель математики I квал. категории МБОУ ЗСОШ №1 г. Заинска РТ Предмет: Алгебра Класс: 9 Тема раздела: Неравенства с одной переменной. Номер урока в теме: 1(45 мин) Базовый учебник: Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – М.: Мнемозина, 2008. – 447 с. Цель урока: ознакомление с основными понятиями теории решения квадратных неравенств и формирование умений решения задач на данную тему. Задачи урока: – формирование познавательных УУД, в том числе специально-предметных действий: научить выделять и формулировать познавательную цель, моделировать, определять квадратное неравенство и понимать, что означает решить такое неравенство; уметь исследовать и решать линейные и квадратные неравенства;– формирование личностных и коммуникативных УУД: действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами), формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность; – формирование регулятивных УУД: постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Тип урока: комбинированный урок. Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая технология, ИКТ. Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (интерактивная доска), доска, экран, технологическая карта урока для каждого учащегося, электронная презентация, выполненная в программе Power Point. 4.2. Структура и ход урока «Решение неравенств с одной переменной»
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 | Урок на тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной» Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной» |  | Решение неравенств второй степени с одной переменной Познакомить с алгоритмом решения неравенств на основе свойств квадратичной функции |
| Урок алгебры в 8 классе по теме: «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» Урок систематизации и обобщения изученного материала по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» | | Урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Решение линейных... Обобщить и закрепить умения и навыки решения линейных неравенств с одной переменной и их систем; проконтролировать приобретённые... |
| Конспект урока математики по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №5 | | Конспект урока по теме: «решение неравенств второй степени с одной переменной» Введение. Алгоритм. Программа. Язык программирования Паскаль. Техника безопасности |
| Решение систем неравенств с одной переменной Мо РФ №1312 от 09. 03. 2004 года. Программа предусматривает в 7 классе обучение в объеме 3 час в неделю, 102 часа в год | | Конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 классе по теме... Повторение и обобщение знаний учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» |
| Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: Создать условия для формирования, систематизации, коррекции знаний, умений и навыков учащихся по теме «Решение неравенств... |
| Урок по алгебре и математическому анализу в 10 классе по теме «Решение... Обучающая цель: Изучить возможности применения метода интервалов для решения тригонометрических неравенств | | Известно, что задачи на решение уравнений и неравенств составляют... Результаты срезов знаний школьников и практика проведения егэ показывают, что решение таких уравнений и неравенств, особенно со знаком... |
| Урок: «Математический калейдоскоп». Тип урока : Урок обобщения и систематизации знаний. Тема Тема: Подготовка к контрольной работе по темам: «Решение неравенств с одной переменной с помощью графика квадратичной функции и методов... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формирование знаний о неравенствах с одной переменной, о том, что является решением неравенства с одной переменной. Формирование... |
| Тема: Сложение и умножение числовых неравенств. Тип урока Обучающие: Рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и научить применять их при оценке выражений,... | | Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств Наибольшую сложность представляют задания с модулем, с параметром, иррациональные неравенства и умение их решать во многом предопределяют... |
