Урок по теме «Доказательство теоремы Пифагора через определение косинуса острого угла»
Тип урока: изучение нового материала.
Цель: используя знания определения косинуса острого угла прямоугольного треугольника, сконструировать модель теоремы Пифагора. Убедиться в справедливости утверждения: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
План урока
Повторение пройденного материала
Беседа-рассказ учителя.
Доказательство теоремы Пифагора
Закрепление материала
Решение старинной задачи
Задание на дом
Повторение пройденного материала.
Рис. 1
 Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный)
Назовите катеты и гипотенузу. (МК и КР – катеты, МР – гипотенуза.)
Выразите  . ( )
Какой треугольник на рисунке 2? Чем он интересен? (Равнобедренный, прямоугольный. Углы при основании по 450. Его можно достроить до квадрата со стороной, равной катету)
Рис. 2
Рис. 3
 Какой треугольник на рисунке 3? (Прямоугольный. О – центр окружности)
Беседа – рассказ учителя
Сегодня вы познакомитесь с одной из немногих теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. Но сначала я расскажу вам об ученом, именем которого была названа эта теорема.
Время жизни Пифагора Самосского точно неизвестно; одни сообщают, что он родился в 569 году до нашей эры и умер в 470 году, другие же сдвигают его рождение к 580 году до нашей эры, а смерть относят к 500 году до н э.
Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилоне, и что пребывание в этих странах оказало на него большоё влияние. Из-за скудности этих сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны его предшественники, а с другой - ученикам. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду названной именем Пифагора.
В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно – этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз и политический клуб, и научное общество.
Чем же объясняется феноменальная популярность Пифагора в Кротоне? По–видимому, прежде всего незаурядными личными качествами философа, его умением увлечь за собой людей. Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов, притягивала к нему единомышленников.
Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Система этих норм и правил была собрана в своеобразный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи». «Золотые стихи» переписывались и дополнялись на протяжении тысячелетий.
- Ребята, знаете ли вы что-нибудь связанное с именем Пифагора?
(Некоторые ученики могут сформулировать саму теорему или известную фразу: «Пифагоровы штаны во все стороны равны», или рассказать о головоломке – игре «Пифагор»)
- Обо всем об этом мы поговорим.
Запишем тему урока: «Теорема Пифагора».
Рис. 4
 В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Давайте нарисуем прямоугольный треугольник (рис. 4) и запишем формулировку в обозначениях:
 .
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора.
У Евклида эта теорема гласит (в переводе):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающий прямой угол»
Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонеким (12 век) гласит (в переводе):
«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»
В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):
“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”
В русском переводе из евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:
«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».
Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам.
Исторический обзор мы начнём с китайцев. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-кей (1100 год до нашей эры). В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4, 5:
«Если прямой угол разложить на части, линия соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4.»
Несколько больше нам известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
Кантор описывает способ построения следующим образом:
В направлении точно с востока на запад отмечают с помощью кольев расстояние в 36 падас (падас-мера длины), называемое праций. На кольях закрепляют концы веревки длиною в 54 падас, с узлом заранее завязанным на расстоянии в 15 падас от одного из концов. Затем верёвку натягивают при помощи кола, продетого сквозь узел и, получают на одном из концов прямой угол.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора
Рис. 5
или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики (Рис. 5).
Доказательство теоремы Пифагора (учебник Погорелова)
- Итак, докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Выполним рисунок 6 и запишем доказательство в обозначениях.
(Используя наводящие вопросы, ведется запись на доске, а ребята у себя в тетрадях).
Дано:  .
Доказать:  .
Доказательство.
Дополнительное построение:  - высота  ,  .
 ;  (по определению косинуса).
 ;  .
 (по основному свойству пропорции).
 ;  .
 ;  .
  ,  .
Рис. 6
+
 .
Имеем,
 .
Что и требовалось доказать.
Закрепление данного материала.
Задание выполняется устно:
Составьте по рисункам, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство (рис. 7).
Рис. 7
 (Ответ:  .)
Дополнительный вопрос:
- Вычислите, чему равна гипотенуза?
(Ответ: 5.)
Рис. 8
Рисунок 8. О – центр окружности.
Рис. 8
(Ответ:  . Равенство можно составить, поскольку треугольник вписан в окружность и одна из его сторон является диаметром этой окружности. Следовательно, треугольник прямоугольный, поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора)
Рисунок 9. (Ответ: в данном случае использовать теорему Пифагора нельзя, так как неизвестно о каком треугольнике идет речь, а, значит, утверждать, что треугольник прямоугольный, нельзя )
Рис. 9
- Итак, ребята сделаем вывод, ответив на вопрос:
на что надо обратить внимание при применении теоремы Пифагора?
(Ответ: чтобы использовать теорему Пифагора, надо убедится, что треугольник прямоугольный).
Решим старинную задачу, в которой будет «работать» теорема Пифагора. (см. презентацию)
Задача индийского математика Бхаскары.
«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»
 Дано:  (рис. 10)
АС=3 фута, AD=4 фута.
Найти АВ.
Решение.
АВ=АС+CD.
По теореме Пифагора
Рис. 10
  ,
 , 
Рис. 10
3.  (футов)
Ответ: 8 футов.
Задание на дом
задание из учебника
Найти старинные задачи, где при решении используется теорема Пифагора.
|
