Обобщение теоремы Фалеса
Скачать 94.88 Kb.
|
Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)Содержание:
Введение.Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д. Напомню определение подобных треугольников: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A1D1, т.е. биссектрис равных углов A и A1в подобных треугольниках ABC и A1B1C1, равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A1M1 равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A1H1 равно k. С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата. Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая. Обобщение теоремы Фалеса.Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки. Доказать:  =…= .Доказательство: Докажем, например, что  Рассмотрим два случая: 1 случай Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что  2 случай Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому Отсюда по свойству пропорций получаем:    (1)С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству  (2)что и требовалось доказать. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Доказать:   Доказательство: Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса  Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то  Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса: Аналогично доказывается, что  .Теорема Чевы.Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году. Формулировка: Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  (3)Доказать: 1. (3)2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке Доказательство: 1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:  и  .Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем  .Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3). 2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте  . (4)Итак, имеют место равенства (3) и (4). Сопоставляя их, приходим к равенству  = , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.Теорема Менелая.Формулировка: Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1, В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (5)Доказать: 1. (5)2. точки А1,С1,В1 лежат на одной прямой Доказательство: 1. Пусть точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:  и  Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем  , откуда  ,т.е. выполнено равенство (5). 2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой, то по доказанному а первом пункте  (6)Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству  = , которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1,В1 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.Решение задач.Задача №1.  Условие: В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. Найти: АК:КС=?:? Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая получаем  Задача №2.  Условие: Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найти:  Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение  . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем  Итак,  .Доказательства теорем.Задача №3. Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.  Условие: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Доказать: Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что  Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем: Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая  Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что  Теорема доказана. Задача №4. Формулировка: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказать: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.  Доказательство: Достаточно показать, что  . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника: . Перемножая почленно полученные равенства, получаем:  . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Задача №5. Формулировка: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. Доказать: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.  Доказательство: Пусть АН1, АН2, АН3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х. (ВН2)2 = с2 – х2 и (ВН2)2 = а2 – (b – х)2. приравнивая правые части полученных равенств, получаем с2 – х2 = а2 – (b – х)2, откуда х =  . Тогда b –x = b - =  . Итак, АН2 = , СН2 = .Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим АН3 =  , ВН3 =  и ВН1 =  ,СН1 =  .Для доказательства теоремы достаточно показать, что  . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана. Источники информации:Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, С. А. Шестаков, И. И. Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9` авторов Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова и др. (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Оно полностью соответствует программе углубленного изучения математики. Сайты: http://festival.1september.ru http://www.problems.ru Вывод.С помощью обобщения теоремы Фалеса, теорем Чевы и Менелая, не изучаемых в школьной программе, можно быстрее и легче доказывать определенные теоремы и решать более широкий круг задач. Я смогла доказать такие теоремы: теорема о пропорциональных отрезках (с помощью обобщения теоремы Фалеса), теоремы о пересечении медиан, высот и биссектрис треугольника в одной точке (воспользовалась теоремами Чевы и Менелая). |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основная теорема арифметики. В данном проекте рассматриваются такие вопросы, как история доказательства теоремы, кто внес наибольший... |  | Тема: Теорема Виета Основная цель: Усвоение теоремы Виета для решения приведенных квадратных уравнений и теоремы, обратной теореме Виета |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Повторить и закрепить знание теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора. Проанализировать степень усвоения материала | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: доказательство теоремы о сумме углов треугольника с применением ранее изученного материала; применение теоремы для нахождения... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основная дидактическая цель урока – рассмотреть различные способы доказательства теоремы о сумме углов треугольника, рассмотреть... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Образовательная: повторение ранее изученного материала: теоремы синусов, теоремы косинусов, формул площади треугольников и умение... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Теорема Фалеса ( задача 385 ) Доказательство признака прямоугольника и свойств ромба | | Реферат по математике «Различные доказательства теоремы Пифагора» Это всем давно известная теорема, многие знают её и все прекрасно знают, что её открыл Пифагор. Все прекрасно знают и самого Пифагора... |
| Урока: урок-обобщение Цели урока Обобщение знаний по теме «Синтаксические единицы речи» (слово, словосочетание, предложение) | | Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной.... |
| Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной.... | | Рефератов школьников по математике 27 февраля 2010 г Различные приемы доказательства теоремы Пифагора и ее применение в практической жизни |
| Урок систематизации и обобщения знаний учащихся Систематизация и обобщение способствуют формированию прочных и систематичных знаний, а также таких приёмов мышления, как: анализ,... | | Урок обобщение «Москва златоглавая». Тема: Москва златоглавая Цель: Обобщение знаний детей об истории возникновения и укрепления Москвы до времен правления Ивана Грозного |
| Урок по этому разделу, урок-обобщение. Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? Цель: 1 обобщение знаний детей по данному разделу, закрепление литературоведческих понятий | | Программа дисциплины «Предельные теоремы теории вероятностей» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
