Урок решения комбинированных задач по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Урок решения комбинированных задач по теме: « Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9а классе МБОУ лицея №1 п.Добринка. Учитель математики: ЗН Курьянова. Цели урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике. Задачи: Образовательные: - совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий; подготовка к ГИА - применять свои знания в практических ситуациях; -расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач; Развивающие: - развивать математический кругозор, мышление, математическую речь; Воспитательные: -воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; -формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе; Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении комбинированных задач. Форма проведения: дифференцированная работа в группах с использованием презентации. Длительность: 1учебный час. К уроку прилагается презентация. Эпиграф урока. Закончился 20-ый век. Куда стремится человек? Изучены и космос, и моря, Строенье звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: «Прогрессио – движение вперёд». Схема урока Ι. Проверка домашнего задания. II . Организационный момент. Сообщение темы и целей урока. III. Устная работа. 1. 2. Найди ошибку IV. Работа с формулами. VI. Практическая часть урока. Работа в группах. 1.Комбинированная задача. 2. Комбинированное неравенство. 3. Комбинированное уравнение. 4. Построить график функции. 5 Текстовая задача по профилю. VI. Проверка решения задания групп, защита решения. VII. Решение сложной задачи уровня С6 ЕГЭ. 5. Логическая задача. XΙ . Подведение итогов. XΙΙ. Выставление оценок. XΙΙΙ. Творческое домашнее задание. ХОД УРОКА. Ι. Проверка домашнего задания. III . Сообщение темы и целей урока. Слайд 1. Эпиграф. Закончился 20-ый век. Куда стремится человек? Изучены и космос, и моря, Строенье звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: «Прогрессио – движение вперёд». «Так о чём же пойдёт сегодня речь?» Конечно о прогрессиях. Но встретим мы её в комбинированных нестандартных задачах. Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий. Нам предстоит поработать и с формулами, вспомнить, как решаются уравнения, неравенства, строятся графики, и посадить «волшебно дерево». I V. Устная работа 1. 2.Найди ошибку. (Текст решения на слайде) ученик комментирует решение и находит ошибку в решенном неравенстве: х2- х(-1-1/2-1/4-…) – 8 < 0, Имеем в скобках сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна S=1/(1-1/2)=2, и тогда неравенство приобретает вид х2 +2x -8 <0. Рассмотрим функцию у = х2 +2х -8. График парабола, «ветви» вверх, т.к. а=1, 1>0. Нули функции:-4; 2. Построим параболу схематично: Ответ: (-4;2). V. Работа с формулами. Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы». Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера. восприятие речи на слух. Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут номер формулы (двое учащихся у доски, остальные под копирку на листочках, повернувшись так, чтобы работать спиной к доске). Вопросы к формулам 1.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 2.Формула n-го члена арифметической прогрессии. 3.Сумма n-первых членов арифметической прогрессии. 4.Сумма n-первых членов геометрической прогрессии. 5.Формула n-го члена геометрической прогрессии. 6.Свойство членов арифметической прогрессии. 7.Свойство членов геометрической прогрессии. 8.Знаменатель геометрической прогрессии. 9.Разность арифметической прогрессии. Формулы. 1. an = a1 + ( n-1)d 2. bn = b1∙ qn-1 3. Sn. 4. Sn = 5. S =. 6. an = . 7. bn=  8. d = an + 1 – an. 9. q =  Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняется проверка по коду. Получили 9-значное число 513 426 798. Это КОД ОТВЕТА. VI. Практическая часть урока. «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»,- говорил Д.Пойа. 1.Задача. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию. Дано: а1+а2 +а3=27 –сумма трёх членов арифметической прогрессии; а1-1; а2 -3; а3+3- геометрическая прогрессия. Найти: а1; а2; а3. Решение. ,  , q =   =9 – d,   (8 - d)(d + 12)=36. d2 +4d-60=0, d1=6, d2=-10. Если d1=6, то ; . Если d2=-10, то ; . Ответ: если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18. Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2. Нестандартные комбинированные задачи по теме «Прогрессии» мы можем встретить и при решении уравнений, неравенств, при построении графиков функций, решении текстовых задач. Вот над такими заданиями я предлагаю вам поработать в группах. Выберите себе задание соответствующего уровня, выполните решение и подготовьте его к защите. В каждой группе есть консультант, к которому вы можете обратиться за помощью. Задания группам. 1. Решите неравенство: 1). (3х+)() > 0. 6-слагаемых 6-слагаемых Решение: упрощаем скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической прогрессии равна 126. Неравенство перепишется в виде: (3х-18)(х+126)>0, решаем его методом интервалов. Ответ: (- ∞; -126) U (6; + ∞). 2). |х + х² + …+ х + …| < 1 3)x² - 2(1 + sin² 45° + sin² 45° + sin² 45°+ …)х < -4 4). (х – (1 + sin 30° + sin² 30° …))(х + (1 + cos 60° + cos² 60° + …)) < 0 5) |х - (7 +3 -1 -…)| < 20 Великому Эйнштейну приходилось делить время между политикой и уравнениями. Он говорил: «Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». 2. Итак, уравнение, содержащее прогрессию. 1).х2 -3 |х | = 2+1+1/2+… Решение: S= 2/(1-1/2)=4. Уравнение приобретает вид х2 -3 |х | - 4=0. 1) Если х ≥ 0, то х2 -3х - 4 =0. Его корни 4 и -1; х= -1 не удовлетворяет условию х ≥ 0. 2) Если х < 0, то х2 +3х - 4=0. Его корни -4 и 1; х=1 не удовлетворяет условию х < 0. Ответ: 4; - 4. 2).( х² + х +1) + ( х² +2 х + 3) + (х² + 3х +5) + …+ (х² +20 х + 39) = 4500 3). + х + х² + х³ + … = , |х | < 1. 4) + + + …+ = 3 5) (х² - 7х + 13)² + (х -3)(х-2 -1 - - - …) = 1 3. Построить график функции: 1) у = . Решение. 1+sin30+sin2 30+sin3 30+...=1+1/2+1/4+1/8+...- сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.к. q=1/2. S= 1/(1-1/2)=2. Функция приобретает вид: 1) у = х +2, если х > 0 2) у = х - 2, если х < 0. Область определения х ≠0. 2 + 1 + + +… 2) у = х 3) у = | | 4).у = 5) у = 4. Текстовые задачи. 1). На предприятии образовалась прибыль в размете 1000 у.е. Есть три банка, в которые можно вложить деньги: 1-й банк – простые проценты из расчета 3% в месяц, 2-й банк – под простые проценты из расчета 40% в год, 3-й банк – под сложные проценты из расчета 30% в год. Данное предприятие желает положить деньги на три года. В каком банке это наиболее выгодно? Решение: 1-й банк начисляет от 1000 у.е. а = 1000, d = 1000 х 0,3 = 30 а = 1000 +30 х 36 = 2080 у.е. 2-й банк начисляет от 1000 у.е. а = 1000, d = 1000 х 0,4 = 400 а = 1000 + 3 х 400 = 2200 у.е. 3-й банк. Сложные проценты увеличивают сумму каждый год в 1,3 раза (100% + 30%) в = 1000, q = 1,3 в = 1000 х 1,3³ = 2197 у.е. 2).Представьте, что Вы учетчик на стройке. Привезли и выгрузили большое количество бревен строевого леса. Нужно определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд водителям. Как Вы подсчитаете количество привезенных бревен, если их складировали в 20 рядов? Решение: в = 1, в = 20. S = ( (1 + 20) : 2) х 20 = 210 бревен. 3).В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут? Решение: в = 1, q = 2, в = 1 х 2 = 64, S = 1 (2 - 1)/(2 – 1) = 127 бактерий за 7 минут. 4).Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый из следующих дней на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? Решение: а = 15, d = 10, а = 105 105 = 15 + (п – 1) х 10 10п = 100 п = 10 дней 5). В огороде 30 грядок каждая длиною 16м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водою из колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно только для 1 грядки. Какой путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Решение: Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65м. При поливке второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70м. Каждая следующая грядка требует пути на 5м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75;…; 65+5 х 29. Сумма её членов равна =4125м. Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км. В этом году вы принимаете эстафетную палочку от 11 классов и тоже сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующие задачи позволят проверить вашу готовность к нему по теме « Прогрессии». № 260 (Лысенко) Задача уровня С6 ЕГЭ. Индивидуальная работа. 1 Задача: Даны 2 последовательности чисел 6,7,8,9,10 и 14,15,...,20. Перед каждым числом случайно ставят знак "+" или "-", после чего каждое число из первой последовательности складывается с каждым числом из второй. Найдите наибольшее и наименьшее по модулю значения таких сумм. Решение: Очевидно, что наибольшая по модулю сумма получается если все знаки одинаковые, например "+". Посчитаем полученную сумму. Каждое число из первой последовательность прибавляется к 7 числам из второй, т.е. встречается в сумме 7 раз. Каждое число из второй последовательность прибавляется к 5 числам из первой, т.е. встречается в сумме 5 раз. Итого имеем: S=7*6+7*7+7*8+7*9+7*10+5*14+5*15+...+5*20=7*(6+7+8+9+10)+5*(14+15+...+20) Вычислив суммы арифметических прогрессий в скобках получим S=7*40+5*119=875 Теперь вычислим минимальную по модулю сумму. В первом наборе 2 нечетных числа, каждое из которых встречается в сумме 7 раз, а во втором наборе 3 нечетных числа, каждое из которых встречается в сумме 5 раз. Итого в сумме 2*7+3*5=29 нечетных чисел. 29 - число нечетное. А сумма нечетного числа нечетных чисел - число нечетное. Получается, что сумма S - всегда нечетное число. Наименьшее по модулю нечетное число это 1. Меньше по модулю сумма быть не может. Заметим, что если расставить знаки следующим образом: перед числами 6, 8,10,16,18,20 - знак "+", а перед остальными - знак "-", то S=1. Мы доказали, что сумма не может быть меньше 1 по модулю и привели пример, когда она равняется 1 по модулю, следовательно доказали, что минимальное по модулю значение суммы равно 1. Ответ: 875 и 1. 2 Задача.уровня С6 ЕГЭ Последние члены двух конечных арифметических прогрессий а = 5, а = 8, …,а и в = 9, в = 14, …, в совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии. 5. Логическая задача. Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно «достанет» до Луны. Через сколько дней оно достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8м? Решение: через 33 дня. Один день-2м. Два дня-4м. Три дня-8м. 36-3=33 дня. XΙ . Подведение итогов. Итак, сегодня мы в нестандартных комбинированных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессий, поработали с формулами, вспомнили, как решаются уравнения и строятся графики, и посадили «волшебное дерево» при решении занимательной логической задачи. (Итоги подводят ученики) Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут. XΙΙ. Выставление оценок. За работу у доски каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные оценки получают все решившие предложенные задания. XΙΙΙ. Домашнее задание – группы меняются заданиями.

Похожие:

	Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщающий урок) Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		Тема: Геометрическая прогрессия Урок №1 ( изучение нового материала) Цели урока Образовательная: ввести понятие геометрической прогрессии, познакомить учащихся с формулой n-ого члена геометрической прогрессии,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»		Урока по алгебре тема урока: «арифметическая и геометрическая прогрессии» Оборудование: компьютерная презентация (PowerPoint), задания с готовой основой, листы самооценки и рефлексии
	Урок по теме: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена» Образовательные цели: Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида...		План-конспект урока арифметическая прогрессия Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»
	Конспект урока по теме:"Прогрессии" цель урока: обобщить и систематизировать... Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»		Урока: повторить материал по теме «Арифметическая прогрессия, формула... Учитель: Здравствуйте уважаемые гости, ученики. Мне приятно вас видеть, надеюсь, что наш урок будет результативным! (психологический...
	Урок по алгебре в 9-м классе по теме ...		Конспект урока арифметическая прогрессия фио (полностью) Головина Надежда Геннадьевна Цель: обеспечить условия для усвоения учащимися знаний об арифметической прогрессии, её свойствах и основных формулах. Ввести характеристическое...
	Урок решения задач и упражнений по теме «Металлы и сплавы» Цель урока – сформировать у учащихся навык решения задач и упражнений по теме «Металлы и сплавы»		Урок по теме «Применение подобия для решения практических задач» «Подобие» для решения задач практического характера, на построение с помощью циркуля и линейки, учить осмысливать материал и делать...
	Конспект урока алгебры по теме «Геометрическая прогрессия» (9 класс) «Арифметическая прогрессия». В форме деловой игры выработать у учащихся навык самостоятельного приобретения знаний, развивать у учащихся...		Урок по теме: решение задач «нахождение дроби от числа. Нахождение числа по его дроби» Цель: обобщающий урок по 2-м типам задач с целью повторения, закрепления и решения более сложных задач
	Конспект урока по алгебре в 9-м классе по теме "Формула суммы n первых... Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		Урок физики в 10 классе по теме: (слайд №1) Обучающие: закрепить знания, умения, навыки решения задач на применение законов Ньютона, когда на тело действуют две и более сил;...