Действия над векторами
Скачать 455.21 Kb.
|
 Областное государственное бюджетное образовательное учреждение Начального профессионального образования Профессиональное училище № 48 РЕФЕРАТ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Выполнил: обучающаяся 1 группы Шаламай Евгения Проверила: Самохина Н.Н. п.Подгорный,2013 СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Понятие вектора. 2. Простейшие операции над векторами. 3. Линейная зависимость векторов. 4. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе. 5. Проекция вектора. 6. Скалярное произведение. 7. Векторное произведение. 8. Смешанное произведение. 9. Двойное векторное произведение. Литература 1. Понятие вектора Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец). Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.  Вектор обычно обозначается символом  , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой  (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так  и  обозначают длины соответствующих векторов. Вектор единичной длины называют ортом. К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль). Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы. Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.  Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены. Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что  .Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках). Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:
2. Операции над векторами Определение: Суммой  двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора  , при условии, что вектор приложен к концу вектора .В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».Операция сложения векторов обладает свойствами:
Вектор противоположный вектору обозначают  .Определение: Разностью  векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е.  . Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что  для любого вектора .Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор  , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор  , расположенный на второй диагонали.Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.  Определение: Произведением  вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1)  ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).Замечание: В случае, когда λ = 0 или  произведение является нулевым вектором.Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину  . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если λ и μ одного знака, и противоположно направлению , если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.
 Построим треугольник OAB где  и  . Построим далее треугольник SPQ, где  и  . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что  и  одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что  . Но  и  , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.Очевидно, что векторы стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарны. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и  направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т. е.  . Но  и следовательно, в этом случае векторы  и  равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее  . Но  . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно. |
(рефлексивность). 
, следует 
(симметричность). 
, следует 
(транзитивность). 
(коммутативность); 
, (ассоциативность); 
для любого вектора 
такой, что 
(для получения 
(ассоциативное свойство сомножителей); 
(свойства дистрибутивности). Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие вектора и действия над векторами как это принято в физике( направленный отрезок); подготовить учащихся к восприятию... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Модуль 1 (контрольный) Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение... |
| Линейные операции над векторами в геометрической форме Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На прошлых уроках мы познакомились с понятием «вектора», мы научились выполнять с векторами действия сложения, вычитания векторов... |
| Десятичные дроби и действия над ними Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о десятичных дробях и действиях над ними | | Программа обладала универсальностью, действия в ней должны совершаться... Если в программе используются переменные, то все переменные должны быть описаны в разделе описания переменных |
| Урок № Тема: Натуральные числа и действия над ними Цель: развивать познавательную активность учащихся, их логическое мышление, эрудицию | | Тематическое планирование по математике 136 ч Действия над числами, устные приёмы деления трёхзначных чисел на однозначные, решение задач, уравнений |
| Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Анализ урока русского языка во 2 кл по теме «Наблюдение над словами, обозначающие действия предметов» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: дать представление о файле; назначении их параметров и действия работы над ними |
| Конспект урока математики в 5-м классе по теме: "Действия над десятичными дробями " ... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... |
| Рабочая программа математике для 5 класса В При изучении курса математики продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Действия с натуральными числами», «Действия... | | Урок по теме «Обыкновенные дроби и действия над ними» В одной цистерне было т бензина, а в в другой на т меньше. Сколько бензина было в двух цистернах? |
