Действия над векторами
Скачать 455.21 Kb.
|
Теорема: Если вектор  коллинеарен ненулевому вектору  , то существует вещественное число λ такое, что = λ.3. Линейная зависимость векторов Любое множество, элементами которого являются векторы, называется системой векторов. Выражение вида  , где λ i – вещественное число, называется линейной комбинацией векторов системы  . Числа λ i называются коэффициентами линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные, когда  и нетривиальные  .Если  , то говорят, что вектор представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы . Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой системы векторов равна нулю.Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место равенство  , при  .Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой. Определение: Система векторов называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того, что следует  .Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта система является линейно зависимой. Действительно, из векторов системы  можно составить линейную комбинацию  , которая не является тривиальной.Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система векторов линейно зависима.    Действительно, если система векторов  линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация  . Для любой системы векторов  линейная комбинация  также является нетривиальной.Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на числовой множитель. Запишем это:  . Но эта же запись означает, что  , и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю.Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора и линейно зависимы. Тогда существуют коэффициенты λ и μ такие, что  , причем, например, λ ≠ 0. Это означает, что  , и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы. Теорема: Любой вектор  лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами и , может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа λ и μ, что  ). Такое представление единственно. Заметим, прежде всего, что оба вектора и отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела.В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через конец C вектора  проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам и . Тогда  , причем векторы  и  коллинеарны соответственно и . В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие числа λ и μ, что  ,  . Таким образом,  , что и требовалось.Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация  , равная , причем, например λ ≠ σ. Тогда  , так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C параллельно вектору . Из последнего равенства вытекает, что σ = λ, в противоречие с нашим предположением.Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность. В самом деле, пусть векторы , , линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например . Приложим векторы , , к одной и той же точке О (рис. 7), так что  ,  ,  .Предположим сначала, что векторы , не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы  и  , а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ . Значит все три вектора , , компланарны.Если векторы и коллинеарны, то коллинеарны как векторы , , так и их сумма - три вектора , , оказываются даже коллинеарными.Если же векторы , , компланарны, то либо один из них, например , лежит в одной плоскости с двумя другими неколлинеарными векторами (следовательно ; или  ), либо все три вектора коллинеарны (следовательно  ). Тем самым следствие полностью доказано.Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы. Теорема: Любой вектор  может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов , и (т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что  ). Такое представление единственно. Никакие два из векторов , и не коллинеарны, иначе все три были бы компланарны. Поэтому, если компланарен с какими-нибудь двумя из данных векторов, то наше утверждение вытекает из предыдущего следствия.В общем случае перенесем все векторы в одну точку О (рис. 8) и проведем через конец D вектора  прямую, параллельную вектору . Она пересечет плоскость ОЕ1Е2 в точке Р. Очевидно, что  . Согласно теореме из второго раздела и предыдущему следствию существуют такие числа λ, μ и ν, что  и  . Таким образом,  .Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии. |
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие вектора и действия над векторами как это принято в физике( направленный отрезок); подготовить учащихся к восприятию... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Модуль 1 (контрольный) Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение... |
| Линейные операции над векторами в геометрической форме Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На прошлых уроках мы познакомились с понятием «вектора», мы научились выполнять с векторами действия сложения, вычитания векторов... |
| Десятичные дроби и действия над ними Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о десятичных дробях и действиях над ними | | Программа обладала универсальностью, действия в ней должны совершаться... Если в программе используются переменные, то все переменные должны быть описаны в разделе описания переменных |
| Урок № Тема: Натуральные числа и действия над ними Цель: развивать познавательную активность учащихся, их логическое мышление, эрудицию | | Тематическое планирование по математике 136 ч Действия над числами, устные приёмы деления трёхзначных чисел на однозначные, решение задач, уравнений |
| Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Анализ урока русского языка во 2 кл по теме «Наблюдение над словами, обозначающие действия предметов» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: дать представление о файле; назначении их параметров и действия работы над ними |
| Конспект урока математики в 5-м классе по теме: "Действия над десятичными дробями " ... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... |
| Рабочая программа математике для 5 класса В При изучении курса математики продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Действия с натуральными числами», «Действия... | | Урок по теме «Обыкновенные дроби и действия над ними» В одной цистерне было т бензина, а в в другой на т меньше. Сколько бензина было в двух цистернах? |
