Действия над векторами
Скачать 455.21 Kb.
|
Пример: Если  – левый ортонормированный базис, то  ,  ,  . Пример: Пусть,  а  ортогонален к  . Тогда  получается из вектора поворотом вокруг вектора на  по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).Пример: Если дан вектор  , то каждый вектор можно представить в виде суммы  , где  – ортогонален , а  – коллинеарен . Легко видеть, что  .Действительно, можно заметить, что  . Вектор компланарен векторам и , а потому  и  коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.Векторное произведение обладает следующими свойствами:
Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор коллинеарен вектору  . Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если , , - правая тройка, то , , - левая, а , ,  - снова правая тройка.
Если φ - угол между векторами и , то  . Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной и . При λ > 0 и вектор  и  вектор направлены так же, как . Если λ < 0, то кратчайший поворот от  к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.
Если  , то доказываемое очевидно. Если  , то разложим и в суммы  и  , где и  ортогональны , а и  коллинеарны . Поскольку  , и вектор  ортогонален , а  коллинеарен , нам достаточно доказать равенство  и (в силу свойства 2) даже равенство  , где  . Длина вектора  равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на сводится к повороту (ортогонального к ) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на и , поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.
Пусть в некотором базисе  заданы векторы  и  тогда или  Теорема: В ортонормированном базисе  или  {если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует поставить знак минус}. Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы будем считать, что базис выбирается всегда правый. Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:
 . В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой  . 8. Смешанное произведение Определение: число  называется смешанным произведением векторов , и .Смешанное произведение векторов , и обозначается  или  .Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Действительно,  , где φ - угол между векторами и , а θ - угол между векторами и  . Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен (рис. 13) произведению площади основания  на высоту  . Таким образом, первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда направлен в ту же сторону от плоскости векторов и , что и вектор , т. е. когда тройка , , правая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно. |
(антикоммутативность); 
; 
; 
. 
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: ввести понятие вектора и действия над векторами как это принято в физике( направленный отрезок); подготовить учащихся к восприятию... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Модуль 1 (контрольный) Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение... |
| Линейные операции над векторами в геометрической форме Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой а и конечной точкой В | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На прошлых уроках мы познакомились с понятием «вектора», мы научились выполнять с векторами действия сложения, вычитания векторов... |
| Десятичные дроби и действия над ними Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о десятичных дробях и действиях над ними | | Программа обладала универсальностью, действия в ней должны совершаться... Если в программе используются переменные, то все переменные должны быть описаны в разделе описания переменных |
| Урок № Тема: Натуральные числа и действия над ними Цель: развивать познавательную активность учащихся, их логическое мышление, эрудицию | | Тематическое планирование по математике 136 ч Действия над числами, устные приёмы деления трёхзначных чисел на однозначные, решение задач, уравнений |
| Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Выполнять действия над многочленами с алгебраическими дробями и иррациональными выражениями |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Анализ урока русского языка во 2 кл по теме «Наблюдение над словами, обозначающие действия предметов» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: дать представление о файле; назначении их параметров и действия работы над ними |
| Конспект урока математики в 5-м классе по теме: "Действия над десятичными дробями " ... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... |
| Рабочая программа математике для 5 класса В При изучении курса математики продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Действия с натуральными числами», «Действия... | | Урок по теме «Обыкновенные дроби и действия над ними» В одной цистерне было т бензина, а в в другой на т меньше. Сколько бензина было в двух цистернах? |
