Реферат по алгебре на тему: «Функции»
Скачать 1 Mb.
|
I. Элементарные функции Основными элементарными функциями считаются: - многочлен, - рациональная функция (представляет собой отношение двух многочленов), - степенная функция, - логарифмическая функция, - тригонометрические функции - обратные тригонометрические функции - линейная функция - показательная функция. К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения (конечного числа раз) основных четырех арифметических действий и образования сложной функции. Элементарные функции наиболее изучены и часто используются в приложениях математики. Хотя понятие функции сформировалось лишь в XVII в., однако зависимости между двумя величинами рассматривались и ранее. К XVII в. почти все основные элементарные функции были достаточно хорошо изучены: к этому времени уже были составлены высокой точности таблицы тригонометрических функций и появились первые таблицы логарифмов. Дифференциальное исчисление (правила вычисления производных и применения их к исследованию функций) дало законченное исследование основных элементарных функций, в частности было установлено, что производная от элементарной функции есть та же элементарная функция. [14] Развитие математического анализа, решение различных прикладных задач привели к рассмотрению функций, которые не являются элементарными. При изучении неэлементарных функций их, как правило, выражают через элементарные с помощью пределов, интегралов, бесконечных рядов и исследуют методами математического анализа. 1. Многочлен Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида , где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I. В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида: . Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и Ч (называемые сложение и умножение)) (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается . 1.1. Связанные определения Многочлен называется унитарным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице. Многочлен вида называется одночленом или мономом. Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом. В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом. В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом. Полной степенью ненулевого одночлена называется целое число . Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени. Множество мультииндексов I для которых коэффициенты ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона. [14] 1.2. Делимость Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. [11] Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел. Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры - всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень в поле комплексных чисел.). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми. 1.3. Полиномиальные функции Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию . Чаще всего рассматривают случай A = R. В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция полностью определяет многочлен p. Однако, в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции . 1.4. Свойства 1) Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности. 2) Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом (область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент a является единицей кольца, либо представляется в виде произведения) само является факториальным. 3) Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов (кольцо, каждый идеал которого является главным), т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом. Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом. 2. Рациональная функция Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид , где , — многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где и — многочлены. Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция. 2.1. Свойства 1) Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией. 2) Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции. 3) Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (метод неопределённых коэффициентов - метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.), это применяется при аналитическом интегрировании. [5] 2.2. Правильные дроби Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот. Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x － a)k (a — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе. C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским. 3. Cтепенная функция Cтепенная функция — функция , где a (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным, часто, относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом. 3.1. Область определения Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x > 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе, нуль является её особой точкой. 3.2. Рациональный показатель степени Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При a = 1 получается функция y = kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью. Графики функций вида y = x － n, где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a = － 1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью. Если , то функция есть арифметический корень степени n. Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: (полукубическая парабола). 3.3. Свойства 1) Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду, где она определена. 2) В интервале , функция монотонно возрастает при a > 0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны. 3) Производная функции: Неопределённый интеграл: Если , то . 4. Логарифмическая функция Логарифмическая функция – функция, обратная к показательной функции. Логарифмическая функция обозначается . Её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение равносильно х = еу, где е — неперово число. Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то логарифмическая функция определена только при х > 0. В более общем смысле логарифмической функцией называют функцию , где а > 0 — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция ; функция приводится к ней по формуле: = M , где М = . Логарифмическая функция — одна из основных элементарных функций; её график носит название логарифмики. Основные свойства логарифмической функции вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, логарифмическая функция удовлетворяет функциональному уравнению: [11] . Для - 1 < х справедливо разложение логарифмической функции в степенной ряд: ln(1 + x) = x Многие интегралы выражаются через логарифмическую функцию; Например: , . Логарифмическая функция постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях. Логарифмическая функция была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая логарифмической функцией, рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым. [5] Логарифмическая функция на комплексной плоскости является многозначной функцией, определённой при всех значениях аргумента z обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как , где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного значения логарифмической функции. Имеем: Все значения логарифмической функции для отрицательных, действительных z, являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория логарифмической функции в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения Производная логарифмической функции равна: 5. Тригонометрические и обратные им функции Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа. [7] 5.1. Определение тригонометрических функций Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим , ординату обозначим . Синусом называется отношение Косинусом называется отношение Тангенс определяется как Котангенс определяется как Секанс определяется как Косеканс определяется как . 5.2. Численные значения тригонометрических функций угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате , а косинус — абсциссе . Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций. 5.3. Тригонометрические функции острого угла Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α, АВ и АО – катеты, ОВ - гипотенуза. Тогда: Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе) Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе) Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему) Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему) Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету) Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету) Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники. 5.4. Непрерывность, чётность и периодичность Синус и косинус — непрерывные функции. Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть: Функции , , , — периодические с периодом 2π. Функции: , — c периодом π. 5.5. История названий Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение. Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера. [9] Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583) Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770. |
Похожие:
 | Конспект урока в 10-м классе по алгебре и началам анализа на тему:... Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Реферат по математике на тему «Функции и графики» Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу,... |
 | Анализ контрольной работы по алгебре Первый триместр 2013-2014 учебного год Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... |
| Реферат на тему «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы.... «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы. Мастер функций. Логические, информационные функции и функции работы со... | | Реферат по предмету «Менеджмент» на тему: «Основные функции управления» В современных условиях бизнеса менеджмент осуществляет не только текущее управление предприятием, но и определяет стратегию развития... |
| Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Тест по алгебре Тесты по алгебре для 9 класса |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода.... Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Рабочая программа по алгебре для 8 классов (углубленное изучение) на 2013-2014 учебный год Планируется проведение исследовательских работ учащимися, посвященные функции антье, диофантовым уравнениям, доказательству симметричных... | | Конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Свойства степени с натуральным показателем» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11им. А. И. Фатьянова» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки... Все эти процессы смогут давать большую прибыль лишь в том случае, если каждый работник будет знать свои функции и выполнять их на... |
