Реферат по алгебре на тему: «Функции»
Скачать 1 Mb.
|
6. Линейная функция Функция называется линейной функцией. Ее график получается путем параллельного переноса графика функции на вверх, если > 0, и на | | вниз, если b < 0. Кроме того, если k ≠ 0, то Значит, график функции получится из графика сдвигом на Графики всех линейных функций, имеющих один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу. Графики функций, коэффициенты и которых связаны соотношением = –1, перпендикулярны друг другу. График линейной функции является прямой. 6.1 Способы построения графика 1) По двум точкам. Выберем произвольные (удобные для построения) значения абсцисс и , найдем соответствующие им ординаты , . Построим на координатной плоскости точки ( ; ), ( ; ) и проведем через них прямую. Это и будет искомый график. 2) По пересечениям с осями. Решим уравнение , подставив в него сначала , а затем . Получим две точки (0; ), ( ; 0). Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую. 3) По угловому коэффициенту. Построим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проведем через эту точку прямую, образующую с осью OX угол, тангенс которого равен . Прямую можно задать различными способами. Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс, задается уравнением . Отметим, что вертикальная прямая не является графиком функции. Итак, уравнением можно описать не любую прямую. Этого недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой ( ). Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же , то таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе обозначений задается как Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой , где . Его можно преобразовать к виду , . Это уравнение пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q). в чем легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках: 6.2. Кусочно-линейная функция Рассмотрим функцию На рисунке показан график этой функции. Чтобы его получить, построим график функции при и при . График представляет собой угол с вершиной A (1;1) или объединение двух лучей с общей вершиной A. Заметим, что эта функция может быть задана с помощью формулы . График функции также состоит из двух «кусков» (или представляет собой угол с вершиной (–1; 3)). Если функция содержит несколько модулей, то раскрывают значение каждого из них на соответствующем промежутке. Таким образом, функция представима следующим образом: в виде , где , , …, , – линейные функции. Графиком такой функции является ломаная, имеющая n вершин с абсциссами в точках , , …, (эти точки называются угловыми). Ломаная имеет n + 1 звено (луч либо отрезок). Описанная выше функция называется непрерывной кусочно-линейной функцией. [11] Функция, задаваемая формулой где , , …, , – произвольные линейные функции, называется кусочно-линейной. График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной. Кроме построения n вершин следует построить также две точки: одну левее вершины , другую – правее вершины . Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов. 7. Показательная функция Показательная функция — математическая функция . В вещественном случае основание степени а — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени. В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число. В самом общем виде введена Лейбницем в 1695 г. Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). [10] 7.1. Определение показательной функции Пусть a — неотрицательное вещественное число, x — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам. Если x > 0, то . Если x = 0, то . Если x < 0, то (для a > 0). 7.2. Свойства Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту: Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты. 7.3. Аналитические свойства: В частности: 8. Дробно-линейная функция Рассмотрим функцию . Она определена при значения функции также принадлежат промежутку . Функция нечетна. Она не пересекает координатные оси. При , , при , . Функция убывает на промежутках и . Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при и соответственно). График функции , а также графики функций вида , называются гиперболами. Функция вида (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной. Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости графиком которой является прямая линия. Если c ≠ 0, но ad = bc, то выполняется пропорция: , откуда следует, что на всей числовой оси за исключением . Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, с выколотой точкой . В дальнейшем мы будем рассматривать невырожденный случай дробно-линейной функции (c ≠ 0, ad ≠ bc). В этом случае график функции можно построить, преобразовав функцию : . Для этого нужно график функции растянуть от оси абсцисс в раз, после чего выполнить параллельный перенос, при котором начало координат (0; 0) переходит в точку . 9. Квадратичная функция Квадратичной называется функция вида , где a ≠ 0, b, c – любые действительные числа. Примерами квадратичных функций являются , , . Выражение , a ≠ 0 называют квадратным трехчленом. Пусть имеется квадратный трехчлен . При решении многих задач полезным приемом является выделение полного квадрата, то есть выделение квадрата линейной функции: . Так, , . Число , называется дискриминантом квадратного трехчлена. Дискриминант трехчлена равен 32 – 4 · 1(–2) = 17, трехчлена равен 16, трехчлена равен –40. 9.1. Квадратное уравнение Уравнение , где a ≠ 0, называется квадратным уравнением. Выделив полный квадрат , получим уравнение Если то отсюда следует, что или Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета). При D > 0 существуют два корня и . При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: . Наконец, при D < 0 равенство невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует. Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители . Таким образом , где Если D = 0, то Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители. 9.2. Теорема Виета Для того чтобы числа и были корнями уравнения (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства: 9.3. Необходимость и достаточность. Пусть числа и являются корнями уравнения (a ≠ 0). Тогда , . Имеем , Пусть имеется система Из первого равенства . Подставляя это значение во второе равенство, получим , откуда . Значит, число является корнем квадратного уравнения . Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения. 9.4. График квадратичной функции График функции при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию . Областью определения этой функции являются все . Решив уравнение , получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция является четной (для любых ), ось OY является ее осью симметрии . При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞). При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0]. График функции легко построить из графика функции геометрическими преобразованиями, используя формулу . Для этого нужно растянуть график в раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на влево и на вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону). Точка является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и . Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и . Функция при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной. II. Неэлементарные функции 1. Функции-интегралы 2. Функции-ряды 3. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений 4. Необычные функции 5. Функции, выражающие свойства чисел 1. Функции-интегралы К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции. 1.1.0. Бета-функция В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных: , определённая при и . Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине. 1.1.1. Свойства 1) Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть . 2) Бета-функцию можно выразить через другие функции: , где — Гамма-функция; , , , , где (x)n — нисходящий факториал, равный 3) Подобно тому, как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами: 1.1.2. Производные Частные производные у бета-функции следующие: , где — дигамма-функция. 1.1.3. Применение С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн (направление математической физики, изучающее динамику и взаимодействия не точечных частиц). [10] 1.2.0. Гамма-функция Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .[6] Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру. 1.2.1. Определение Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл . На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество 1.2.2. Альтернативное определение Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных z, за исключением 0 и отрицательных целых 1.2.3. Связанные определения Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом: . В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов: 1.2.4. Свойства 1)формула дополнения: . 2) Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого аргумента это: . 3) Гамма-функция имеет полюс в для любого натурального n и нуля; вычет в этой точке задается так: . 4) Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных z, не являющихся неположительными целыми: , где γ — это константа Эйлера. 5) формула, полученная Гауссом: . 6) Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения: . 7) Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где ψ(x) часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией. 8)Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением: 9) Гамма-функция является частным случаем преобразования Меллина. 1.3.0. Интегральный логарифм Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом . Для устранения сингулярности при x = 1 иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм: . Это две функции связаны соотношением: Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году. Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением: . 1.3.1. Интегральный логарифм и распределение простых чисел Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой гораздо лучшее приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем x / lnx: ~ . Для не слишком больших x: , однако доказано, что при некотором достаточно большом x неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху . [8] 1.4.0. Интеграл вероятности В математике интеграл вероятности (функция ошибок) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. [2] Она определяется как . Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ) определяется через функцию ошибок: Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок: . 1.4.1. Свойства 1) Функция ошибок нечётна: . 2) Для любого комплексного x выполняется , где черта обозначает комплексное сопряжение числа x. Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда: . Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. 3) Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде: 4) Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как: При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой. 5) Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции: . 1.4.2. Применение Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна . Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»). В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок. 1.5.0. Эллиптические функции В комплексном анализе эллиптическая функция — периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам. [2] 1.5.1. Определение Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию f, определённую на области С, для которой существуют два ненулевых комплексных числа a и b, таких что: , а также частное a/ b не является действительным числом. Из этого следует, что для любых целых m и n: . Любое комплексное число ω, такое что , называют периодом функции f. Если периоды a и b таковы, что любое ω может быть записано как: ω = ma + nb, то a и b называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов. Параллелограмм Π с вершинами в 0, a, b, a + b называется Фундаментальным параллелограммом. 1.5.2. Свойства 1) Не существует отличных от констант целых эллиптических функций. (Первая теорема Лиувилля). 2) Если эллиптическая функция f(z) не имеет полюсов на границе параллелограмма α + Π, то сумма вычетов f(z) во всех полюсах, лежащих внутри α + Π равна нулю. (Вторая теорема Лиувилля) 3) Любая эллиптическая функция с периодами a и b может быть представлена в виде: , где h, g рациональные функции , функция Вейерштрасса с теми же периодами что и у f(z). Если при этом f(z) является четной функцией, то ее можно представить в виде , где h рациональна. 4) Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах. |
Похожие:
 | Конспект урока в 10-м классе по алгебре и началам анализа на тему:... Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Реферат по математике на тему «Функции и графики» Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу,... |
 | Анализ контрольной работы по алгебре Первый триместр 2013-2014 учебного год Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... |
| Реферат на тему «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы.... «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы. Мастер функций. Логические, информационные функции и функции работы со... | | Реферат по предмету «Менеджмент» на тему: «Основные функции управления» В современных условиях бизнеса менеджмент осуществляет не только текущее управление предприятием, но и определяет стратегию развития... |
| Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Тест по алгебре Тесты по алгебре для 9 класса |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода.... Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Рабочая программа по алгебре для 8 классов (углубленное изучение) на 2013-2014 учебный год Планируется проведение исследовательских работ учащимися, посвященные функции антье, диофантовым уравнениям, доказательству симметричных... | | Конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Свойства степени с натуральным показателем» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11им. А. И. Фатьянова» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки... Все эти процессы смогут давать большую прибыль лишь в том случае, если каждый работник будет знать свои функции и выполнять их на... |
