Реферат по алгебре на тему: «Функции»
Скачать 1 Mb.
|
2. Функции-ряды К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция. 2.1.0. Гипергеометрическая функция Гипергеометрическая функция (Гаусса) определяется внутри круга | z | < 1 как сумма гипергеометрического ряда: а при | z | > 1 — как её аналитическое продолжение. 2.1.1. Свойства 1) Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения Данное уравнение иногда называется гипергеометрическим. 2) Второе линейно независимое решение этого уравнения имеет вид: . Оно имеет особую точку при z = 0. 3) Интегральное представление гипергеометрической функции при γ － α － β > 0 может быть записано следующим образом: , где Γ(x) — гамма-функция Эйлера. 3) Запись других функций через гипергеометрическую Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента. 2.2.0. Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана определяется с помощью ряда Дирихле: , где . В области этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера): , где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции. 2.2.1. Свойства: 1) Дзета-функции Римана в комплексной плоскости Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках: , где – число Бернулли. 2) Для функции , введенной Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид . 2.2.2. История [2] Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной. 3. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра. 3.1.0. Сферические функции Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения. [12] Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере: Сферические функции имеют вид: , где функции являются решениями уравнения и имеют вид Здесь — присоединённые многочлены Лежандра, а m! — факториал. 3.2.0. Цилиндрические функции Цилиндрические функции— общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в цилиндрической системе координат. Обычно переменной является расстояние до оси с.к. Произведение цилиндрических функций с гармоническими функциями по другим направлениям даёт цилиндрические гармоники. [1] Наиболее часто встречающиеся цилиндрические функции: 1) Функции Бесселя - первого рода, ограниченные - второго рода (называемые также «функции Неймана»), неограниченные в нуле 2) Функции Ганкеля первого и второго рода — комплексные линейные комбинации функций Бесселя и Неймана 3) Модифицированные функции Бесселя — функции Бесселя от комплексного аргумента, неограниченные монотонные. - первого рода (т. н. «функции Инфельда»[1]) - второго рода (т. н. «функции Макдональда»[1]) 4) Функции Вебера 1) Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: , где α — произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков. Хотя α и ( － α) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя. [15] 1.1) Применение Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например: - электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе; - теплопроводность в цилиндрических объектах; - формы колебания тонкой круглой мембраны; - распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии; - скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси; - волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике. Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов. 1.2) Определения Поскольку приведённое уравнение является уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них. 1.3) Функции Бесселя первого рода Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α): . Здесь Γ(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично. Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода. 2) Функции Ганкеля Функции Ганкеля (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) - это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а, следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. [15] - функция Ганкеля первого рода; - функция Ганкеля второго рода. Функции Ганкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца. 3) Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. Если в дифференциальном уравненни Бесселя заменить z на iz, оно примет вид: Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения, однако чаще используют функции: Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда. Если — вещественное число, а z — положительно эти функции принимают вещественные значения. называется порядком функции. Функция также является решением уравнения (1). Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда. Очевидно, что и принимает вещественные значения, если — вещественное число, а z— положительно. 4) Функции Вебера Функции параболического цилиндра — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра. [4] В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения: При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении, получается уравнение: , решения которого называются функциями Вебера и обозначаются Функции являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом функции линейно независимы. Для всех функции также линейно независимы. Однако на практике чаще пользуются другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из (1) заменой 3.3.0. Функция Эйри Функция Эйри — специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделя Эйри. Функции и связанная с ней , называемая также функцией Эйри, являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения y'' － xy = 0, называемого уравнением Эйри. Это простейшее дифференциальное уравнение, имеющее точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный. [1] Функция Эйри описывает вид звезды (точечного источника света) в телескопе. Идеальная точка превращается в набор концентрических окружностей, в силу ограниченной апертуры и волновой природы света. Она также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме. 3.3.1. Определение Для вещественных x, функция Эйри определяется интегралом: , взятом в несобственном смысле. Легко проверить, что он действительно сходится. Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри. y'' － xy = 0. У этого уравнения есть два линейно независимых решения. Вторым решением обычно берут функцию Эйри второго рода, обозначаемую . Она определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и , при стремлении , и отличающееся по фазе на π / 2. Для комплексных чисел функция Эйри определяется следующим образом: где контур γk может быть одним из представленных на рисунке. Несмотря на то, что существует три контура интегрирования, решений уравнения Эйри остается по прежнему два, так как сумма интегралов по этим трем контурам равна нулю. 3.3.2. Свойства В точке x = 0 функции и их производные имеют значения: где Γ — гамма-функция. Отсюда следует, что вронскиан функций и равен 1 / π. При положительных x — положительная, выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а — положительная, выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных x и колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри. 4. Необычные функции Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда. 4.1.0. Функция Дирихле Функция Дирихле — функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число, . Поскольку функция разрывна в каждой точке: между любыми двумя рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное, то её график нарисовать невозможно, но мысленно можно представить. Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D(x) нет предела, а значит, она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва — второго рода. Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике. Названа в честь немецкого математика Дирихле. [13] 4.1.1. Свойства 1)Область определения: . 2) Область значения:{0,1}. 3) Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана. Однако интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю. 4) Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть, её нельзя представить как предел последовательности непрерывных функций, но можно задать как предел предела последовательности непрерывных функций: . 4.2.0. Функция Хевисайда Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например Другое распространённое определение: Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда. Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как: |
Похожие:
 | Конспект урока в 10-м классе по алгебре и началам анализа на тему:... Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Реферат по математике на тему «Функции и графики» Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу,... |
 | Анализ контрольной работы по алгебре Первый триместр 2013-2014 учебного год Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... |
| Реферат на тему «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы.... «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы. Мастер функций. Логические, информационные функции и функции работы со... | | Реферат по предмету «Менеджмент» на тему: «Основные функции управления» В современных условиях бизнеса менеджмент осуществляет не только текущее управление предприятием, но и определяет стратегию развития... |
| Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Тест по алгебре Тесты по алгебре для 9 класса |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода.... Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Рабочая программа по алгебре для 8 классов (углубленное изучение) на 2013-2014 учебный год Планируется проведение исследовательских работ учащимися, посвященные функции антье, диофантовым уравнениям, доказательству симметричных... | | Конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Свойства степени с натуральным показателем» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11им. А. И. Фатьянова» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки... Все эти процессы смогут давать большую прибыль лишь в том случае, если каждый работник будет знать свои функции и выполнять их на... |
