Реферат по алгебре на тему: «Функции»
Скачать 1 Mb.
|
5. Функции, выражающие свойства чисел Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда, прежде всего, можно отнести специальные арифметические функции, модуль, знак числа, факториал. 5.1.0. Арифметическая функция Арифметическая функция — функция, определенная на множестве натуральных чисел N, и принимающая значения во множестве комплексных чисел C. 5.1.1. Определение Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций f(n) натурального аргумента n, которые выражают те или иные арифметические свойства. Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию f(n), которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа n. Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными. 5.2.0. Модуль Абсолютная величина (или модуль), обозначается |x|. В случае вещественного аргумента – непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом: Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной. Он определяется по формуле: . 5.2.1. Основные свойства С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой. 5.2.2. Вещественные числа 1)Область определения: . 2)Область значений: . 3)Функция чётная. 4) Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом. 5.2.3. Комплексные числа 1) Область определения: вся комплексная плоскость. 2) Область значений: . 3) Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены. 5.2.4. Алгебраические свойства Для любых имеют место следующие соотношения: 1) 2) 3) Как для вещественных, так и для комплексных a,b имеют место соотношения: 1) , причём | a | = 0 тогда и, только тогда, когда a=0 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , если существует. 5.2.5. История Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века. 5.2.6. Обобщение Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ||x||. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты. 5.3.0. Сигнум Функция (другое обозначение: ), читается «сигнум» (от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция, определённая следующим образом: . Функция не является элементарной. Часто используется представление . При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа. Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа. 5.3.1. История Функцию ввёл Леопольд Кронекер в 1878 г., сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 г. Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с , функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение sgn·x, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. [6] 5.3.2. Свойства функции 1) Область определения: . 2) Область значений: {-1;0;+1} . 3) Гладка во всех точках, кроме нуля. 4) Функция нечётна. 5) Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны + 1 и –1 соответственно. для , где δ(x) — дельта-функция Дирака (позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке). 5.4.0. Факториал Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. [6] Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, … Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. 5.4.1. Свойства Рекуррентная формула Комбинаторная интерпретация В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4!=24 перестановки: ABCDBACDCABDDABCABDCBADCCADBDACBACBDBCADCBADDBACACDBBCDACBDADBCAADBCBDACCDABDCABADCBBDCACDBADCBA5.4.2. Связь с гамма-функцией Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением: Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при 5.4.3. Формула Стирлинга Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала: . Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга: 5.4.4. Разложение на простые числа Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени: Для натурального числа n: 5.4.5. Убывающий факториал Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение Убывающий факториал даёт число размещений из n по k. 5.4.6. Возрастающий факториал Возрастающим факториалом называется выражение Заключение. Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Этот реферат позволил читателям заглянуть в удивительный и многообразный мир функций; познакомиться с некоторыми их видами. Реферат имеет иное значение, нежели простое описание. Он дает возможность возбудить деятельность научного воображения, приучить читателя мыслить о духе математики и создать в его памяти многочисленные ассоциации знаний о функциях. Информация, изложенная в реферате, предназначена для повторения, обобщения и систематизации имеющихся знаний по теме «Функция» при подготовке к экзаменам (и не только); расширения и углубления знаний по теме «Функция»; формирования общенаучных представлений об изучаемых математических объектах, а также формирования информационной и коммуникативной компетентности. Материал, изложенный в реферате, позволит читателю не только сориентироваться в вопросах, касающихся функций, но и приобрести о них научное знание. Список литературы: 1. «Введение в асимптотические методы и специальные функции», Олвер Ф., — М.: Наука, 1978. 2. «Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука, 1965. Пер. изд. 3. «Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Бейтмен Г., Наука, 1966. Пер. изд. 4. «Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука, 1967. Пер. изд. 5. «Математический энциклопедический словарь» — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995. 6. «Некоторые общематематические понятия и обозначения», В. А. Зорич— М.: Наука, 1981. 7. «Прямолинейная тригонометрия. Справочник по математике», Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.— Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. 8. «Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука, 1970. Пер. изд. 9. «Тригонометрические функции. Таблицы интегралов и другие математические формулы», Г. Б. Двайт, 4-е изд. — М.: Наука, 1973. 10. «Часть I. Теория множеств», И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. — 3-е изд.— М.: Физматлит, 1995. 11. «Элементарная математика с точки зрения высшей», Клейн Ф., Т.1. М.-Л., 1933 12. «Элементы теории множеств. Элементы теории функций и функционального анализа», А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.— 3-е изд.— М.: Наука, 1972. 13. «Элементы теории множеств», Г. Е. Шилов— М.: Наука, 1969. Сайты: 14. http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun6.htm 15. ru.wikipedia.org |
Похожие:
 | Конспект урока в 10-м классе по алгебре и началам анализа на тему:... Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Реферат по математике на тему «Функции и графики» Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу,... |
 | Анализ контрольной работы по алгебре Первый триместр 2013-2014 учебного год Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... |
| Реферат на тему «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы.... «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы. Мастер функций. Логические, информационные функции и функции работы со... | | Реферат по предмету «Менеджмент» на тему: «Основные функции управления» В современных условиях бизнеса менеджмент осуществляет не только текущее управление предприятием, но и определяет стратегию развития... |
| Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Тест по алгебре Тесты по алгебре для 9 класса |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода.... Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Рабочая программа по алгебре для 8 классов (углубленное изучение) на 2013-2014 учебный год Планируется проведение исследовательских работ учащимися, посвященные функции антье, диофантовым уравнениям, доказательству симметричных... | | Конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Свойства степени с натуральным показателем» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11им. А. И. Фатьянова» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки... Все эти процессы смогут давать большую прибыль лишь в том случае, если каждый работник будет знать свои функции и выполнять их на... |
