5.3. Содержание разделов дисциплины «Высшая математика», образовательные технологии
Лекционный курс
№ п/п
|
Наименование темы дисциплины
|
Трудоем-
кость (часы/
зач. ед.)
|
Содержание
|
Формируемые компетенции
|
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
|
Образовательные технологии
|
ОФО
|
ЗФО
|
Семестр 1.
|
Тема 1.
|
Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
Матрицы, действия с матрицами.
Определители 2 и 3 порядков.
Системы линейных уравнений.
Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Простейшие задачи аналитической геометрии. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.
Понятие линейного пространства.
|
ОК-11
ПК-2
| Знать: основные понятия и теоремы линейной алгебры и аналитической геометрии
Уметь: складывать, перемножать матрицы, находить обратную матрицу. Вычислять определители 2,3,…,n-го порядков. Решать СЛУ методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Решать однородные СЛУ. Уметь использовать полученную информацию, для решения задач геометрии
Владеть: решением СЛУ с помощью компьютерных программ, навыками сбора и анализа информации, для решения задач повышенной трудности.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 2.
|
Предел функции.
|
4/0,11
|
|
Числовые последовательности.
Предел функции в точке.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Понятие непрерывности функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
|
ОК-11
ПК-3
|
Знать: Основные определения и теоремы теории пределов.
Уметь: находить пределы функции в точке, в ∞, при различных видах неопределённостей, вычислять 1-ый и 2-ой замечательные пределы, определение непрерывности функции, определение точек разрыва. Владеть: навыками сбора и анализа информации .
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 3.
|
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
|
7/0,22
|
|
Производная функции. Производная сложной и обратной функции.
Понятие дифференцируемости функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Исследование поведения функции. Отыскание точек локального экстремума функции. Исследование выпуклости функции.
Общая схема построения графиков функций.
|
ОК-11
ПК-5
| Знать: основные понятия и теоремы дифференцируемости функции одной переменной, правила дифференцирования, таблицу производных, таблицу дифференциалов.
Уметь: применять полученные знания для вычисления производных функций, для построения графиков функций. Владеть: навыками решения прикладных задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
|
ИТОГО за первый семестр
|
17/0,5
|
2/0,06
|
|
| |
|
Семестр 2
|
Тема 1.
|
Интегральное исчисление.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
18. Первообразная и неопределенный интеграл. 19.Основные методы интегрирования.
20. Интегрирование рациональных функций.
21.Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
22.Интеграл и переменным верхним пределом.
23.Вычисление определенных интегралов.
24.Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.
25.Несобственные интегралы.
|
ОК-11
ПК-5
|
Знать: понятие первообразной, свойства интегрирования, таблицу интегралов, определение определённого интеграла, несобственного интеграла.
Уметь: применять полученные знания для интегрирования различными методами, для решения определённого и несобственного интегралов..
Владеть: навыками решения прикладных задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 2.
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
|
6/0,17
|
|
Функции нескольких переменных. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
|
ОК-11
ПК-5
|
Знать: основные понятия, теоремы теории функции нескольких переменных.
Уметь: находить частные производные 1-го и 2-го порядков, смешанные частные производные, экстремум функции.
Владеть: навыками описания зависимостей, существующих в природе, с помощью теории ФНП.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 3.
|
Дифференциаль-ные уравнения.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. .
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнения, высших порядков допускающие понижения порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейные однородные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Линейное неоднородные дифференциальные уравнения..
|
ОК-11
ПК-5
|
Знать: основные понятия и теоремы теории дифференциальных уравнений..
Уметь: решать ДУ 1-го порядка с разделёнными и раздедяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ.
ДУ 2-го порядка, ДУ 2-го порядка, допускающие понижение степени, линейные ДУ высших порядков.
Владеть: навыками постановки и решения прикладных задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
|
ИТОГО за второй семестр
|
18/0,5
|
4/0,12
|
|
|
|
|
Семестр 3.
|
Тема 1.
|
Теория вероятностей.
Математическая статистика.
|
4/0,11
|
|
Вероятность события.
Основные формулы для вероятности событий.
Дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины.
Основные виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное
Системы случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей.
Выборка и ее распределение.
Статистические оценки. Проверка статистических гипотез.
Корреляционно-регрессионный анализ.
|
ОК-11
ПК-5
|
Знать: классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики, теоремы сложения и умножения вероятностей, условную вероятность. Формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Пуассона, виды случайных величин, основные виды распределений.
Уметь: применять полученные знания при решении задач.
Владеть: приёмами решения нестандартных задач.
|
Лекции-беседы
|
Тема 2.
|
Основные понятия и методы дискретной математики.
|
6/0,19
|
2/0,06
|
Построение логики. Основные определения исчисления высказываний.
Категорические высказывания. Логический квадрат. Табличное определение логических связок. Понятие формулы в логике, логического закона и логического следования.
Основные схемы логически правильных рассуждений. Алгоритм Квайна проверки выводимости модуса.Алгоритм метода редукций, который проверяет выводимость модуса. Алгоритм метода резолюций, который проверяет выводимость модуса.
Основные определения алгебры логики. Существенные, несущественные переменные. Булевы функции. Суперпозиция алгебры логики. Равносильные формулы алгебры логики. Основные равносильности.
Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие одни связки через другие. Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие основные законы алгебры. Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СДНФ. Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СКНФ.
Двойственные функции. Теорема о связи между СДНФ и СКНФ. Полиномы Жегалкина. Способы нахождения СПНФ.
|
ОК-11
ПК-5
|
Знать: основные понятия и методы дискретной математики.
Уметь: применять полученные знания, для решения задач.
Владеть:.
|
Лекции, слайд-лекции
|
Тема 3.
|
Теория математической физики.
|
7/0,2
|
2/0,06
|
Понятие дифференциального уравнения с частными производными.
Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Решение одномерного волнового уравнения.
Некоторые специальные функции.
Решение трёхмерного однородного волнового уравнения.
|
ОК-11
ПК-3
ПК-5
|
Знать: задачи приводящие к д.у. с частными производными. Телеграфные уравнения. Краевые условия. Метод Фурье. Метод Даламбера. Понятие специальных функций. Формулы приведения для функций Бесселя. Асимптотическую формулу для функций Бесселя при больших значениях  . Ортогональность функций Бесселя.
Уметь: применять полученные знания при решении задач.
Владеть: приёмами решения задач.
|
Лекции, слайд-лекции
|
|
ИТОГО за третий семестр
|
17/0,5
|
4/0,12
|
|
|
|
|
|
Итого:
|
52/1,5
|
10/0,3
|
|
|
|
|
5.4. Практические и семинарские занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№ п/п
|
№ раздела дисциплины
|
Наименование практических и семинарских занятий
|
Объем в часах/трудоемкость в з.е.
|
ОФО
|
ЗФО
|
Семестр 1.
|
1
|
Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия.
|
Матрицы. Действия с матрицами. Определители. Решение СЛУ методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса, решение однородных СЛУ. Координаты вектора, длина вектора, угол между векторами, скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Различные виды уравнений прямой, плоскости, угол между плоскостями. Кривые второго порядка.
|
6/0,13
|
2/0,06
|
|
Предел функции.
|
Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Свойства пределов. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющей предел. Бесконечный предел. Замечательные пределы. Их свойства Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычислении пределов. Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Классификация точек разрыва функций.
|
4/0,12
|
2/0,06
|
|
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
|
Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Классификация точек разрыва функций. Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производная параметрически заданной функции. Дифференциал функции. Связь производной и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. Разложение функций ex, sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x)α по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора.Условия монотонности функций. функций. Экстремумы. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функций. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывных на отрезке функций. Общая схема построения графиков функций. Исследование выпуклости функции.
|
7/0,25
|
4/0,11
|
|
Итого за первый семестр
|
|
17/0,5
|
8/0,22
|
Семестр 2
|
|
Интегральное исчисление.
|
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и замена переменной. Использование методы разложения на простейшие дроби разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегрирование по частям и замена переменной. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Вычисление площадей криволинейной трапеции. Длина дуги кривой. Объем тела вращения. Работа переменной силы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Их основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Геометрическое изображение функции двух переменных Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала. Градиент и производная по направлению. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций двух переменных. Определение экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие существования экстремума. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
|
Дифференциальные уравнения.
|
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные классы уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Приложения дифференциальных уравнений 1-го порядка в различных областях науки. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные однородные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского Структура общего решения. Характеристическое уравнение. 3 возможных случая. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные не однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
|
6/0,17
|
2/0,06
|
|
Итого за второй семестр
|
|
18/0,5
|
6/0,18
|
Семестр 3
|
|
Теория вероятностей.
Математическая статистика.
|
Вероятность события.
Основные формулы для вероятности событий..
Дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины.
Основные виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное
Системы случайных величин..
Предельные теоремы теории вероятностей.
Выборка и ее распределение.
Статистические оценки.. Проверка статистических гипотез. Корреляционно-регрессионный анализ.
|
8/0,2
|
2/0,06
|
|
Основные понятия и методы дискретной математики.
|
Построение логики. Основные определения исчисления высказываний.
Категорические высказывания. Логический квадрат. Табличное определение логических связок. Понятие формулы в логике, логического закона и логического следования. Основные схемы логически правильных рассуждений. Алгоритм Квайна проверки выводимости модуса. Алгоритм метода редукций, который проверяет выводимость модуса. Алгоритм метода резолюций, который проверяет выводимость модуса. Основные определения алгебры логики. Существенные, несущественные переменные. Булевы функции. Суперпозиция алгебры логики. Равносильные формулы алгебры логики. Основные равносильности. Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие одни связки через другие. Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие основные законы алгебры. Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СДНФ. Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СКНФ. Двойственные функции. Теорема о связи между СДНФ и СКНФ. Полиномы Жегалкина. Способы нахождения СПНФ. Понятие предиката. Основные логические операции над предикатами. Кванторы операции. Равносильные формулы логики предикатов.
|
12/0,3
|
2/0,06
|
9.
|
Теория математической физики.
|
Понятие дифференциального уравнения с частными производными. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Решение одномерного волнового уравнения. Некоторые специальные функции. Решение трёхмерного однородного волнового уравнения.
|
14/0,4
|
2/0,06
|
|
Итого за третий семестр
|
|
34/0,9
|
6/0,18
|
|
Итого:
|
|
69/1,9
|
20/0,6
|
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
№ п/п
|
№ раздела дисциплины
|
Наименование лабораторных работ
|
Объем в часах/трудоемкость в з.е.
|
-
|
-
|
-
|
-
| |
