Контрольная работа №2
Задание 1. а) Сколько слов длины 3 можно составить из букв слова «диффузия», если в каждом слове все буквы разные?
Задание 2. Сколькими способами можно расположить на шашечной доске черную и белую шашки, если ни одно из четырех крайних полей не занимать?
Задание 3. В  -ичной системе счисления используется цифр. Сколько в ней натуральных чисел, записываемых  знаками?
Задание 4. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях окажется, что среди вынутых карт ровно два туза.
Задание 5. Решить сравнение  .
Задание 6. При помощи сравнений решить в целых числах неопределенное уравнение  .
Задание 7. Запишите числа  в системе счисления с основанием  . Выполните      
Задание 9. Представьте с помощью кругов Эйлера от ношения между объектами имён:
Человек – филолог – математик – человек, знающий английский язык – человек, знающий логику.
Задание 10. Построить множество В всех его подмно жеств и множество С всех подмножеств множества В. Ка кую мощность (размерность) имеют множества А, В, С.
Задание 11. На множестве чисел М определено отно шение  . Задать матрицами отношения и определить свойства  . Если  и -«быть меньше».
Задание 12. Исследуйте отношение.
Отношение на множестве целых положительных чисел.  число  предшествует числу  в последова тельности:
2,1,4,3,6,5,…;
Задание 13. Найти дополнения, разности, произведе ние, симметрическую разность, прямое произведение и квадраты двух промежутков. Изобразить.
 .
Задание 14. Докажите методом математической индук ции
 ;
 .
Контрольная работа №3
Задание 1.
Решить уравнение с частными производными первого порядка
 - 2xy = 0 (z = z(x,y))
Задание 2.
Найти область гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения
 +y =0
Задание 3.
Найти решение уравнения  - =1, удовлетворяющее начальным условиям
u(x,0)=0,  (x,0)=1 и граничным условиям u(0,t)=0, и u(1,t)=0
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации.
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Высшая математика»
Семестр 1
Матрицы. Вид матриц. Основные операции над матрицами, их свойства.
Определители второго и третьего порядков. Их свойства.
Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
Ранг матрицы. Базисный минор. Элементарные преобразования матрицы.
Системы линейных уравнений: совместимость, определенность и т.д.
Правило Крамера.
Матричная запись системы линейных уравнений и матричное решение.
Теорема Кронекера-Капелли.
Векторы и основные понятия: коллинеарность, равенство векторов, длина вектора, компланарность.
Линейные операции над векторами и их свойства.
Декартовы системы координат. Деление отрезка в данном отношении, условие коллинеарности векторов.
Понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Вычисление координат вектора.
Скалярное произведение векторов, его свойства.
Теорема о выражении скалярного произведения через координаты векторов.
Векторное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении векторного произведения через координаты векторов.
Смешанное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении смешанного произведения через координаты векторов.
Понятие об уравнении линии. Уравнение окружности.
Общее уравнение прямой. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой с условным коэффициентом. Расстояние от точки до прямой.
Исследование общего уравнения прямой.
Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонического уравнения для кривых второго порядка.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Различные уравнения прямой в пространстве.
Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей: угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности.
Различные виды уравнений прямой в пространстве.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности.
Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Монотонные последовательности. Теорема о существовании предела монотонной последовательности. Число е.
Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики.
Предел функции в точке. Геометрический смысл предела.
Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Основные теоремы о пределах: единственность предела, арифметические операции над функциями, имеющими предел и т.д.
Замечательные пределы и их следствия.
Определение непрерывности функции. Свойства функций, непрерывных в точке.
Непрерывность некоторых элементарных функций (многочлена, дробно-рациональной, тригонометрических).
Определение и классификация точек разрыва.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Задачи, приводящие к понятию производной (о скорости и касательной).
Определение производной, ее геометрический, физический и экономический смысл.
Производные некоторых элементарных функций (x2, sin x, cos x, tg x).
Основные правила дифференцирования.
Связь между существованием производной и непрерывностью функции в точке.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции. Производные функций у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x.
Неявная функция и ее производная.
Производная параметрических заданных функций.
Определение дифференцируемости функции в данной точке. Критерий дифференцируемости функции в точке.
Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
Производные высших порядков. Вторая производная параметрически заданной функции.
Теоремы Ферма и Ролля. Их геометрический смысл.
Теоремы Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида  , 00, 10,  .
Исследование функций с помощью производной. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания. Критические точки.
Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
Асимптоты графика. Исследование и построение графиков функций.
Неопределенный интеграл и его основные свойства.
Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Необходимое условие существования определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Геометрические приложения определенного интеграла: а) площадь плоской фигуры; б) длина плоской кривой.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
Семестр 2
Понятие функции двух переменных. Область определения и геометрическое изображение некоторых функций двух переменных.
Частные приращения и частные производные функции двух переменных.
Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции двух переменных.
Частные производные высших порядков функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Метод наименьших квадратов.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными; однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее решение. Начальные условия.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и неоднородные.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Семестр 3
Понятие события, виды событий.
Классическое определение вероятностей события, его свойства.
Основные формулы комбинаторики.
Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей, следствия их них.
Независимые события. Теоремы умножения вероятностей, следствия их них.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона.
Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства.
Начальные и центральные теоретические моменты.
Функция распределения вероятностей и ее свойства. График функции распределения.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин и их свойства.
Виды дискретных распределений: биномиальные и др.
Виды непрерывных распределений: равномерное и показательное.
Нормальное распределение. Кривая Гаусса. Влияние параметров нормального распределения на формулу нормальной кривой.
Вычисление вероятности заданного отклонения. Правила трех сигм.
Теорема Ляпунова. Центральная и предельная теоремы.
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.
Функция двух случайных величин. Распределение суммы двух случайных величин.
Понятие о системе нескольких случайных величин. Законы распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.
Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства.
Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин.
Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коррелированность и зависимость случайных величин.
Линейная регрессия.
Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора.
Статистические распределения выборки. Эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
Генеральная и выборочная средние.
Генеральная и выборочная дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общие дисперсии. Сложение дисперсий.
Интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Метод наибольшего правдоподобия.
Характеристики вариационного ряда.
Начальные и центральные эмпирические моменты.
Метод произведений для вычисления выборочной средней и дисперсии.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии методом наименьших квадратов.
Выборочный коэффициент корреляции.
Статистическая гипотеза. Виды гипотез.
Ошибки первого и второго рода.
Статистический критерий проверки нулевой гипотезы.
Критическая область принятия гипотезы. Критические точки.
Отыскание правосторонней, левосторонней и двусторонней критической области.
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.
Построение логики. Основные определения исчисления высказываний.
Категорические высказывания. Логический квадрат.
Табличное определение логических связок.
Понятие формулы в логике, логического закона и логического следования.
Основные схемы логически правильных рассуждений.
Алгоритм Квайна проверки выводимости модуса.
Алгоритм метода редукций, который проверяет выводимость модуса.
Алгоритм метода резолюций, который проверяет выводимость модуса.
Основные определения алгебры логики.
Существенные, несущественные переменные.
Булевы функции.
Суперпозиция алгебры логики.
Равносильные формулы алгебры логики. Основные равносильности.
Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие одни связки через другие.
Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие основные законы алгебры.
Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СДНФ.
Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СКНФ.
Двойственные функции. Теорема о связи между СДНФ и СКНФ.
Полиномы Жегалкина. Способы нахождения СПНФ.
Понятие предиката.
Основные логические операции над предикатами.
Кванторы операции.
Равносильные формулы логики предикатов.
Понятие дифференциального уравнения с частными производными.
Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.
Решение одномерного волнового уравнения.
Некоторые специальные функции.
Решение трёхмерного однородного волнового уравнения
6.3. Тематика контрольных работ для студентов ЗФО
Контрольные работы учебным планом не предусмотрены.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
. Курс высшей математики: учебник. Ч. 1/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп: Магарин О.Г., 2013. – 384 с.
. Курс высшей математики: учебник. Ч. 2/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп: Магарин О.Г., 2013. – 279 с.
ЭБС «Айбукс» Балдин К.В. Высшая математика: учебник. — М. : Флинта : МПСИ, 2010. - — 360 с. -Режим доступа: http://ibooks.ru/
б) дополнительная литература:
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ В.Е, Гмурман. – М.: Юрайт, 2010. – 479 с.
Куижева, С.К. Основы теории вероятностей и математической статистики : учеб. пособие/ С.К. Куижева, Л.Ж. Паланджянц, О.П. Шевякова. - Майкоп : Магарин О.Г., 2010. - 138 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
5. http//www.exponenta.ru-Образовательный математический сайт Exponenta.ru
6. http//www.matclub.ru- Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование. Электронные учебники.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ГОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности) ___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры _____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________200_г.
Заведующий кафедрой __________________ _____________
(подпись) (Ф.И.О.) |
