Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

1.3.Численные методы решения дифференциальных уравнений Несмотря на широкую область применения уравнений Навье-Стокса, до сих пор не существует аналитического решения этих уравнений в общем случае [9]. Более того, на данный момент не доказано существование и гладкость подобного решения в трех измерениях. Математический институт Клэя назвал эту проблему одной из главных проблем тысячелетия. За решение задачи предложен приз в размере миллиона долларов [10]. Проблема актуальна до сих пор и активно решается математиками со всего мира. На данный момент аналитические решение существуют только для нескольких частных случаев. В качестве примера чаще всего рассматриваются следующие случаи: параллельное течение воды через прямой канал и течение Куэтта. При параллельном течении поток жидкости ограничен двумя параллельными стенками канала. Сила вязкого трения между стенкой канала и жидкостью уменьшает скорость движения потока около стенок. В результате образуется такая картина распределения скоростей (Рис. ): Рис. . Распределение скоростей потока при параллельном течении через прямой канал [11] Течение Куэтта названо в честь Мориса Куэтта – французского ученого, известного своими исследованиями в области текучести жидкостей. Такой тип течений создается потоком жидкости, расположенным между двумя параллельными стенками, причем одна из стен движется с постоянной скоростью , причем вектор скорости направлен параллельно другой стенке. В таком случае течение потока происходит под воздействием сил вязкого трения между жидкостью и движущейся стенкой. В результате получается следующая картина распределения скоростей (Рис. ). Рис. . Распределение скоростей потока при течении Куэтта [11] Аналитические решения уравнений Навье-Стокса для этих частных случаев приводятся в книге «Laminar Flow Analysis» [11]. С конца 50-х годов XX века, с развитием компьютерных технологий, стало возможно получение аппроксимаций решения с использованием численных методов [12]. На данный момент существует несколько численных методов, однако только два из них используются достаточно часто и имеют в основе Эйлеров подход к моделированию потока: метод конечных разностей и метод конечных элементов. Ниже будет рассмотрен каждый из методов, их достоинства и недостатки. 1.3.1.Метод конечных разностей Метод конечных разностей заключается в создании разностной сетки. Пространство, представляющее собой прямоугольный параллелепипед, делится на небольшие равные части (прямоугольные параллелепипеды). Затем исходное уравнение преобразовывается в уравнение для каждого элемента сетки [6]. Для решения преобразованных уравнений требуется знать скорость потока на каждой из стенок сетки. Для этого разрабатываются различные типы граничных условий. Достоинствами метода конечных разностей являются хорошая способность к распараллеливанию вычислений и быстрая работа на простых примерах. Также метод конечных разностей является более простым в реализации. Существенным недостатком метода конечных разностей являются невозможность проводить симуляцию в произвольной области. Таком образом, высок процент избыточных вычислений (вычислений скоростей потока воздуха вне пространства эксперимента) 1.3.2.Метод конечных элементов Метод конечных элементов заключается в разбиении пространства эксперимента на конечное количество подобластей (элементов). В каждом элементе аппроксимирующая функция выбирается индивидуально. Решение дифференциального уравнения ищется на границах элементов [6]. Существенным достоинством метода конечных элементов является возможность локально изменять точность вычислений. В тех областях пространства, где требуется высокая точность, конечные элементы можно сделать меньше. Пример такого разбиения показан на Рис. . Рис. . Пример разделения пространства эксперимента на конечные элементы [13] Такой подход позволяет сильно экономить процессорное время. Однако сам алгоритм разделения пространства эксперимента на конечные элементы весьма сложен. В качестве алгоритма дискретизации уравнений Навье-Стокса был выбран метод конечных разностей [6] из-за лучших перспектив по распараллеливанию и более простой реализации самого алгоритма. В следующей главе описан алгоритм для двумерного случая, а затем переход от двумерного случая к трехмерному.

Похожие:

	Программа дисциплины «Сценарный трейдинг» Правительство Российской... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное...
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное...		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное...
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования