12. Самостоятельная работа студентов
12.1. Цель и задачи самостоятельной работы
Самостоятельная работа студентов направлена на развитие практических навыков, навыков правильного оформления результатов решения математических задач, закрепление теоретических основ дисциплины, работу с учебно-методической литературой, углубленное изучение дисциплины «Математика».
12.2. Формы самостоятельной работы
– проработка лекционного материала;
– домашняя работа над решением задач;
– выполнение расчетно-графической работы (РГР) (типового расчета (ТР)).
Самостоятельная работа студентов состоит из непрерывной аудиторной и внеаудиторной работы по выполнению текущих заданий и различных форм циклической работы по выполнению индивидуальных расчетно-графических работ по целым разделам (темам) курса математики. Каждая РГР состоит из трех частей:
– теоретические вопросы;
– теоретические упражнения;
– задачи и примеры.
Теоретические вопросы и теоретические упражнения являются общими для всех студентов, примеры и задачи для каждого студента индивидуальные. Контроль за выполнением РГР проводится в два этапа:
1 этап – предварительная проверка правильности письменных отчетов о решении задач и теоретических упражнений;
2 этап – защита РГР в письменной или устной форме.
Студенты должны выполнить следующие РГР:
1 семестр
1. Матрицы и системы линейных уравнений.
2. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве.
3. Исследование функции и построение ее графика или комплексные числа.
2 семестр
1. Неопределенные и определенные интегралы.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
3. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, однородные, неоднородные.
3 семестр
1. Дифференцирование функций нескольких переменных.
2. Кратные и криволинейные интегралы.
3. Ряды, ряды Фурье.
4 семестр
1. Случайные события.
2. Случайные величины: дискретные и непрерывные.
3. Проверка гипотезы о законе распределения СВ.
13. Форма промежуточного контроля
усвоения материала
13.1. Цель и задачи контроля
Основной задачей контроля за качеством усвоения материала курса является обеспечение постоянной, систематической работы студентов в течение семестра.
Систематическая работа над изучением теоретического материала, выполнение практических и индивидуальных заданий в соответствии с планом занятий, своевременное принятие мер к отстающим студентам обеспечат качественное усвоение материала.
13.2. Основные формы контроля
– контроль остаточных знаний по итогам семестра;
– рубежный контроль (результаты на момент аттестационной недели);
– по контрольным работам;
– по самостоятельным работам студентов.
Мониторинг за качеством усвоения теоретического и практического материала по дисциплине «Математика» осуществляется на основе модульно-рейтинговой системы.
14. Форма итогового контроля
По курсу «Математика» учебным планом предусмотрен экзамен в 1, 2, 3 и 4 семестрах. На экзаменах выясняется, прежде всего, усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических (типовых) задач. Основные положения теории, правила должны формулироваться точно, с пониманием их математической сущности. Решение типовых задач должно быть проведено уверенно и без ошибок.
При выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым настоящей программой.
15. Вопросы к экзаменам
1 семестр
1. Числовая прямая и множество действительных чисел.
2. Множества в  как числовые подмножества. Абсолютная величина числа. Свойства модуля.
3. Понятие отображения. Образ. Прообраз. Примеры отображений в зависимости от природы отображаемых множеств.
4. Функция в  -мерном арифметическом пространстве (-мерное арифметическое пространство, примеры; -мерная точка; понятие функции одной и нескольких переменных, вектор-функции одной и многих переменных; область определения и область значения функции; график функции, примеры).
5. Основные понятия матрицы и определителя.
6. Действия с матрицами. Элементарные преобразования. Канонические матрицы, метод Гаусса.
7. Свойства матрицы, свойства определителей.
8. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов и матрицы. Теорема об окаймляющих минорах.
9. Вырожденные и невырожденные матрицы. Свойства рангов.
10. Обратная матрица и ее свойства. Методы нахождения обратной матрицы (матричный, Гаусса).
11. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Классификация СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.
12. Методы решения СЛАУ.
13. Фундаментальная система решений.
14. Собственные числа. Собственные векторы. Построение подпространства собственных векторов ОСЛАУ.
15. Понятие вектора (представитель, длина, орт, коллинеарность, компланарность).
16. Действия над векторами.
17. Свойства операций над векторами. Проекция точки и вектора на ось. Свойства проекций.
18. Компоненты и координаты вектора.
19. Базис системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Система координат. Декартова прямоугольная система координат.
20. Ориентация системы координат. Векторы в ДПСК (длина вектора и направляющие косинусы).
21. Орт вектора в ДПСК. Операции над векторами в координатах (алгебраическая сумма, умножение на скаляр, равенство векторов). Условие коллинеарности векторов. Нахождение координат вектора по координатам его начала и конца.
22. Скалярное произведение векторов (определение, свойства, выражение через координаты, работа по перемещению материальной точки).
23. Векторное произведение векторов (определение, свойства, выражение через координаты, приложения).
24. Смешанное произведение векторов (определение, свойства, выражение через координаты, приложения).
25. Расстояние между точками. Полярная система координат.
26. Деление отрезка в данном отношении. Общее уравнение прямой на плоскости.
27. Уравнения прямой, проходящей через данную точку, через две данные точки, в отрезках.
28. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору (на плоскости). Полярное и нормальное уравнения прямых.
29. Основные задачи для прямой линии на плоскости (угол между двумя прямыми, расстояние от точки до прямой).
30. Комплексная плоскость (понятие комплексного числа, его формы записи, геометрическая интерпретация).
31. Взаимосвязь форм комплексных чисел. Формула Эйлера. Операции с комплексными числами.
32. Кривые второго порядка. Эллипс.
33. Кривые второго порядка. Гипербола.
34. Кривые второго порядка. Парабола.
35. Векторное и параметрическое уравнения прямой.
36. Каноническое уравнение прямой и уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми в пространстве.
37 Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости.
38. Нормальное уравнение плоскости.
39. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.
40. Расстояние от точки до плоскости.
41. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация предела.
42. Определения предела функции в точке (по Коши, по Гейне). Геометрический смысл предела функции в точке. Действия над пределами.
43. Односторонние пределы функции в точке. Теорема существования предела функции в точке.
44. Бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке, связь между ними.
45. Первый и второй замечательные пределы, их следствия. Эквивалентные функции в точке.
46. Непрерывность функции в точке.
47. Классификация точек разрыва функции. Свойства непрерывных функций в точке и на отрезке.
48. Дифференцируемость функции в точке.
49. Два определения производной. Правила и формулы дифференцирования.
50. Логарифмическое дифференцирование. Виды задания функций, их дифференцирование.
51. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функции. Пример.
52. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
53. Свойство линейности в малом. Пример с геометрической и аналитической интерпретацией.
54. Односторонние производные. Геометрическая интерпретация производной функции в точке.
55. Уравнение касательной и нормали.
56. Теорема Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков.
57. Производные высших порядков от неявно и параметрически заданных функций.
58. Физический смысл производной и дифференциала.
59. Асимптота к графику. Теорема о наклонной асимптоте.
60. Монотонные функции в точке и на отрезке. Точки локального максимума и минимума. Критические и стационарные точки.
61. Второе достаточное условие экстремума функции в точке. Наибольшее и наименьшее значение функций. Схема нахождения.
62. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема исследования функций.
63. Формула Тейлора и Маклорена.
64. Формулы Маклорена для некоторых функций.
2 семестр
1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.
2. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
3. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие.
4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
5. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
6. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов.
7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.
8. Производная интеграла по верхнему пределу.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование по частям и подстановкой.
11. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения.
12. Физические приложения определенного интеграла.
13. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
14. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства.
15. Абсолютная и условная сходимости для несобственных интегралов. Признаки сходимости.
16. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
17. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
18. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
19. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений.
20. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
21. Приближенное решение уравнения. Интерполирование.
22. Приближенное вычисление определенного интеграла.
23. Дифференциальные уравнения высших порядков.
24. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений.
25. Уравнения, допускающие понижение порядка.
26. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные.
27. Уравнения с правой частью специального вида.
28. Приближенное решение ОДУ.
29. Операционный метод решения ОДУ.
30. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
31. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
32. Решение систем ДУ методом исключения.
3 семестр
1. Понятие числового ряда. Сумма ряда. Сходимость.
2. Необходимый признак, признак Даламбера, предельный признак сравнения, радикальный и интегральный признаки Коши.
3. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
4. Геометрический и обобщенный гармонический ряды. Абсолютная, условная сходимость.
5. Понятие функционального ряда, его сумма, область сходимости.
6. Степенной ряд, теорема Абеля, следствие.
7. Интервал и радиус сходимости степенного ряда, частные случаи.
8. Разложение функции в ряд Тейлора.
9. Разложение функции в ряд Маклорена.
10. Приближенное вычисление определенных интегралов и пределов.
11. Комплексная экспонента как множитель вращения комплексного вектора.
12. Сложение гармонических функций одинаковой частоты.
13. Дифференцирование и интегрирование вращающихся векторов. Основные характеристики гармонического процесса.
14. Периодический и гармонический колебательные процессы. Свойства периодических функций.
15. Ряд Фурье в пространстве  .
16. Тригонометрический ряд Фурье в действительной форме.
17. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.
18. Кусочно-монотонные и кусочно-непрерывные функции. Теорема Дирихле.
19. Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье в действительной форме.
20. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке  (обычным способом (по непрерывности), по  (разложение четной функции), по  (разложение нечетной функции)).
21. Спектр коротких периодически повторяющихся импульсов.
22. Понятие отображений, виды функций.
23. Функция нескольких переменных.
24. Частные производные. Дифференцируемость. Полный дифференциал.
25. Производные и дифференциалы высших порядков.
26. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
27. Производная сложной функции. Полная производная.
28. Дифференциал сложной функции.
29. Производные высших порядков сложной функции.
30. Производная неявной функции.
31. Производная по направлению.
32. Градиент скалярной функции.
33. Геометрический смысл частных производных ФНП.
34. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
35. Экстремум функции нескольких переменных.
36. Построение двойного интеграла.
37. Свойства двойного интеграла.
38. Вычисление двойного интеграла в ДПСК.
39. Приложения двойного интеграла.
40. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
41. Построение тройного интеграла.
42. Свойства тройного интеграла.
43. Вычисление тройного интеграла в ДПСК.
44. Приложения тройного интеграла.
45. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.
46. Понятие уравнения в частных производных.
47. Набла исчисление.
48. Классификация классических уравнений мат. физики.
49. Понятие постановки задачи математической физики.
50. Построение криволинейного интеграла I рода.
51. Свойства криволинейного интеграла I рода.
52. Вычисление криволинейного интеграла I рода.
53. Приложения криволинейного интеграла I рода.
54. Построение криволинейного интеграла II рода.
55. Свойства криволинейного интеграла II рода. Интеграл по замкнутому контуру.
56. Вычисление криволинейного интеграла II рода.
57. Приложения криволинейного интеграла II рода.
58. Построение поверхностного интеграла I рода.
59. Вычисление поверхностного интеграла I рода.
60. Построение поверхностного интеграла II рода.
61. Вычисление поверхностного интеграла II рода.
62. Связь двойного интеграла с криволинейным интегралом второго рода. Связь поверхностных интегралов I и II рода.
63. Производная вектор-функции.
64. Поток векторного поля.
65. Поток через замкнутую поверхность. Физический смысл потока.
66. Связь поверхностного интеграла II рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.
67. Дивергенция. Физический смысл дивергенции.
68. Циркуляция векторного поля.
69. Связь поверхностного и криволинейного интегралов II рода.
4 семестр
1. Предмет и цель теории вероятностей и математической статистики, их специфика.
2. Случайные события, их классификация.
3. Алгебра случайных событий. Задание веса элементарному событию из конечного пространства элементарных событий.
4. Задание веса элементарному событию из бесконечного пространства элементарных событий. Сущность аксиоматики А. Н. Колмогорова.
5. Элементы комбинаторики.
6. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятностей.
7. Статистическое определение вероятности событий.
8. Геометрическое определение вероятности события (равномерное и неравномерное распределения элементарных событий по пространству элементарных событий).
9. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Свойства условных вероятностей.
10. Алгебра вероятностей и независимость событий.
11. Формулы полной вероятности и вероятности гипотез (вывод).
12. Повторные независимые испытания. Бином Ньютона.
13. Биномиальное распределение.
14. Схема и формула Бернулли как пример биномиального распределения.
15. Приближенные формулы в схеме Бернулли.
16. Понятие и виды случайной величины (СВ).
17. Понятие законов распределения СВ.
18. Числовые характеристики положения СВ.
19. Числовые характеристики рассеивания СВ.
20. Законы распределения для НСВ. Экспоненциальное (показательное) распределение НСВ. Числовые характеристики экспоненциальной НСВ.
21. Законы распределения для НСВ. Нормальное (Гауссово) распределение НСВ. Простые и нормированные дифференциальная, интегральная и Лапласа функции.
22. Числовые характеристики нормальной НСВ. Свойства дифференциальной функции нормального распределения НСВ и нормированной функции Лапласа. Геометрическая интерпретация параметров нормального распределения.
23. Понятие системы двух случайных величин.
24. Зависимость и независимость СВ.
25. Числовые характеристики двумерной СВ.
26. Ковариация. Коэффициент линейной корреляции. Их свойства.
27. Хи-квадрат (Пирсона) распределение.
28.  (Стьюдента) распределение НСВ.
29. Метод наименьших квадратов. Регрессия.
30. Аппроксимация линейной функции. Линеаризация экспоненциальной регрессии.
31. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Алгоритм проверки статистических гипотез.
32. Оценки неизвестных параметров распределения, их свойства.
33. Точечные оценки параметров распределения.
16. Учебно-методическое обеспечение
Учебно-методическое обеспечение представлено двумя блоками: первый – тематической литературы, преимущественно отражающий ДЕ дисциплины; второй – общей литературы. Нумерация библиографического списка – сквозная. |
