у
y=f(x)
х
0
x0
4. Условие дифференцируемости функции.
Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
5.Уравнение касательной.
Алгоритм составления уравнения касательной:
Обозначить абсциссу точки касания  .
Вычислить  .
Найти  .
Вычислить  .
Подставить значения  в формулу.
Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции
 в точке с абсциссой х = 1.
Решение.
1.  
2. 
3. 
4. 
5. 
Ответ: у = 3х + 3.
Пример 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции у = х3 в точке с абсциссой х = 2.
Решение.
  
Ответ: 12.
М.М.5. Применение производной к исследованию функций.
y
1. Исследование функций на монотонность.
y=с, с-const
 
функция возрастает, функция убывает, функция постоянна
 -острый угол (I четв.), -тупой угол (II четв.), =0,
  
Т3 Если во всех точках открытого промежутка выполняется равенство  , то функция постоянна на этом промежутке.
2.Точки экстремума функции.
 
х1, х3 – точки максимума,
х2, х4 – точки минимума.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими.
Т4 Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума.
Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума.
Если при переходе через стационарную или критическую точку х0 знак производной не изменяется, то в точке х0 экстремума нет.
3.Алгоритм исследования функции
на монотонность
на экстремумы
Найти область определения. 1. Найти область определения.
Установить дифференцируемость 2. Установить дифференцируемость
функции. функции.
Найти производную  3. Найти производную
Найти стационарные и критические 4. Найти стационарные и критические
точки. точки.
Отметить стационарные и крити- 5. Отметить стационарные и крити-
ческие точки на числовой прямой и ческие точки на числовой прямой и определить знаки производной на по- определить знаки производной на лучившихся интервалах. получившихся интервалах. 
Сделать вывод о монотонности 6. Сделать вывод об экстремумах
функции. функции.
Присоединить стационарные и кри- 7. Записать ответ.
тические точки к интервалам.8. Записать ответ.4. План исследования функции и построения ее графика.1. Область определения.2. Четность, нечетность.3. Производная.4. Стационарные и критические точки.5. Знаки производной, промежутки монотонности.6. Экстремумы функции.7. График.ОБУЧАЮЩАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТАОбучающая самостоятельная работа. Зачетный лист №1.Определение производной.
Учебные элементы
|
Задания обучающей
самостоятельной работы
|
Рекомендации к выполнению заданий
|
Значение функции в точке.
Приращение функции
Определение производной
|
1 Найдите значение функции
у = x3-2х + 5 в точке а) х = -1; б) х = b
2 Найдите значение функции
у = x2 + 3х + 2 в точке х = а + 1.
3 Найдите значение функции f(x) = 10
в точке а) х = 5; б) х = 50.
4 Найдите значение функции у= x3
в точке х = а + 2.
5 Найдите приращение функции
у = 2х - 3 при переходе от точки х0=3
к точке х=3,2.
6 Найдите приращение функции
f(x) = 3х + 5 при переходе от точки х к точке
х + х
Используя определение, найдите производные функции:
7 y = c, c – const.
8 y = x.
9 y = x2.
10 y = x3.
|
Подставьте в данное выражение вместо х данное число.
Подставьте вместо х -
а +1.
Используйте формулу
(а + b)3.
y = f(3,2) – f(3).
f = f(x + x) – f(x)
Используйте алгоритм отыскания производной.
См. информационный блок, пример 2.
| Обучающая самостоятельная работа.Зачетный лист №2.Дифференцирование функций.
Учебные элементы
|
Задания обучающей самостоятельной работы
|
Рекомендации к выполнению заданий
|
Производная степенной функции.
Правила дифференцирования.
3.Производная сложной функции.
4.Значение производной функции в точке.
5.Уравнения и неравенства
|
Найдите производную функции:
1. . а) х6 ; б) х13
2 а) х-3 ; б) х-7
3 а) ; б) 
4 а)  ; б) 
5 а)  б) 
Найдите производные функций:
6 а)3х5; б)7х; в)3 ; г) .
7 а)5sin x; б)4 ; в)3  x; г)7ctg x.
8 а) y = 5х3 - 3 ;
б) y = -7х-3 + 8
9 y = x3 +  + 
10 у = 2 - 
11 y = 2 + 
12 a) y = 6 ;
б) у =  + 3.
13 а) у =x5 ln x; б) у =  .
14 у =  .
15 у = ( .
16 у =  .
17 у =  .
18 у =  .
19 а) у = (4x – 9)7; б) y = (3x2 – x + 2)5
20 а) у = 2 ; б) y = 
21 а) у =  ; б) y =  .
22 а) у =  ; б) y = 
23 у = ln (5 + 2x – 4x3).
24 у = e3x – 4.
25 у = 
26 у = ( 3
Найдите значение производной функции в точке х0:
27 у = x3 – 3x + 2; х0 = -1.
28 у =  ; х0 = 9.
29 у = 2ctg x; х0 =  .
30 у = (3x – 2)7; х0 = 3.
31 у =  - 2x); х0 =  .
32 Найдите значения х, при которых значение производной функции
f(x) = 2x3 – x2 равно нулю; положительно; отрицательно.
33 При каких значениях х выполняется равенство f/(x) = 2, если известно, что
f(x) = 2
34 Найдите корни уравнения f/(x) = 0, принадлежащие отрезку  , если известно, что f(x) =  .
|
Используйте формулу
(хp)/ = p∙xp-1
 = xn; 
Постоянный множитель можно вынести за знак производной
(с∙f(x))/ = c∙f/(x)
Производная суммы равна сумме производных.
Представьте слагаемые в виде степени.
()/ =  ;  )/ = -
(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)
 / = 
(up)/ = p ∙ up - 1∙ u/
( / =  u/
 u/
 / =  ∙ u/
 / =  ∙ u/
 / = eu ∙ u/
 / = 2u ∙ u/
 / = 3u2 ∙ u/
Алгоритм решения:
1.Найдите производную данной функции.
2. Подставьте в производную значение х0.
Алгоритм решения:
1.Найдите производную.
2.Разложите производную на множители.
3.Методом интервалов определите знаки производной.
Используйте тригонометрическую окружность.
| |
