15. Содержательный компонент теоретического материала
Лекция 1-3.
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относитель-ная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классичес-кое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Лекция 4-6.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.
Лекция 7-9.
Формула полной вероятности и формулы Байеса. Схема и формула Бернулли.
Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Лекция 10-12.
Случайные величины и их виды. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Операции над д.с.в. Числовые характеристики д.с.в. и их свойства.
Лекция 13-14.
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной
величины, их взаимосвязь и свойства. Равномерное и показательное распределение вероятностей. Функция надёжности. Показательный закон надёжности.
Лекция 15-16.
Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва. Теоремы Чебышёва и Бернулли.
Лекция 17-18.
Системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
16. Словарь терминов (глоссарий)
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.
Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей возможностью.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Статистической вероятностью события А наз. относительную частоту этого события .
Геометрические вероятности - вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.
События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.
Суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.
Произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.
Противоположным к событию А называется событие  ,означающее,что событие А не происходит.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло
1
событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.
Числовыми характеристиками случайной величины называются величины , которые определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. 
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии 
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины 
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk. :  Для дискретной случайной величины:  . Для непрерывной случайной величины:  .
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины  : 
Для дискретной случайной величины:  .
Для непрерывной случайной величины:  .
Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии. 
Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом. 
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне него равна нулю :
Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
где - положительное число.
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Функция  называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением: 
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.
 ,
т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую , чем утроенное среднее квадратическое отклонение практически равна нулю.
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.: 
Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения :  |
