Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 "Прикладная математика и информатика"

Скачать 0.59 Mb.

Название	Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 "Прикладная математика и информатика"
страница	2/6
Дата публикации	05.08.2013
Размер	0.59 Mb.
Тип	Методические указания

100-bal.ru > Математика > Методические указания

1 2 3 4 5 6

1.1. Методы оценивания параметров

Существует множество различных методов построения оценок неизвестных параметров закона распределения случайной величины по выборке

. Рассмотрим наиболее простые методы.

1.1.1. Метод моментов

Приравнивая теоретические и выборочные моменты можно найти точечные оценки неизвестных параметров.

. (1.1)

Такой метод называется методом моментов. Если в векторе

содержится

неизвестных параметров, то необходимо взять столько уравнений (1.1), чтобы можно было выразить неизвестные параметры.
Пример 1.1

Пусть

– выборка из гамма-распределения с функцией плотности:

Требуется найти оценку по методу моментов векторного параметра

.

Решение:

Найдем первый и второй теоретические моменты:

.

Приравнивая теоретические и выборочные моменты, получим:

1.1.2. Метод максимального правдоподобия

Оценкой максимального правдоподобия (ОМП) параметра

называется точка параметрического множества

, в которой функция максимального правдоподобия

достигает наибольшего значения:

.

Если для любой выборки

из выборочного пространства максимум

достигается во внутренней точке

, и

дифференцируема по

, то ОМП

удовлетворяет уравнению

, которое называется уравнением правдоподобия.
Пример 1.2

Построить оценку максимального правдоподобия параметра

распределения Бернулли:

.

Решение:

Логарифмическая функция правдоподобия равна

=

=

;

,

где

– среднее выборочное значение.

.
Проверим знак второй производной при

.
Таким образом, при

функция правдоподобия достигает максимума.
Пример 1.3

Построить оценку максимального правдоподобия параметра

равномерного распределения на отрезке

.

Решение:

Функция правдоподобия выборки равна

=

=

,

где

– максимальная порядковая статистика.

При фиксированных значениях выборки (и, следовательно, при фиксированном значении

) зависимость

от

показана на рисунке 1.1. Максимум функции правдоподобия достигается в точке

. Поэтому искомая оценка максимального правдоподобия есть

Рис. 1.1. Функция правдоподобия

1.1.3. Построение доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметров

Если имеется некоторая точечная оценка для параметра и известна ее функция распределения , непрерывная и монотонная по , то доверительный интервал можно построить, основываясь на этой функции:

1. Вычисляем точечную оценку .

2. Решаем относительно , уравнения

.

3. Определяем границы доверительного интервала:

.

1.1.4. Построение доверительного интервала с использованием центральной статистики

Статистика называется центральной статистикой, если распределение не зависит от , и при любом фиксированном статистика непрерывна и строго монотонна по .

С помощью центральной статистики можно построить доверительный интервал. Пусть плотность распределения статистики .

1. Найдем такие значения , что .

2. Решим относительно , уравнения

.

3. Определяем границы доверительного интервала:

,

Для построения доверительного интервала с помощью центральной статистики основная проблема заключается в нахождении этой центральной статистики. Можно выделить класс моделей, для которых центральная статистика существует и имеет простой вид.

Пусть – функция распределения наблюдаемой случайной величины, монотонная по параметру . Можно положить в качестве центральной статистики функцию , которая подчинена гамма-распределению с параметром формы .
Пример 1.4

Построить точный -доверительный интервал по выборке для параметра экспоненциального распределения , .

Решение:

Функция распределения является монотонной (возрастающей) по параметру (), следовательно, в качестве центральной статистики можно взять , которая подчинена гамма-распределению с функцией плотности , , , – объем выборки.

Тогда границы -доверительного интервала определяются при численном решении уравнений: , , где и выбираются такими, что .

1.1.5. Построение асимптотического доверительного интервала

Оценки максимального правдоподобия при достаточно общих условиях являются асимптотически эффективными и асимптотически нормальными, следовательно

,

где – функция распределения стандартного нормального закона, – информационное количество Фишера, – ОМП. Отсюда , тогда – асимптотически кратчайший -доверительный интервал для .
Пример 1.5

Пусть – выборка из гамма-распределения с функцией плотности , 0. Построить асимптотический -доверительный интервал для параметра масштаба , считая, что – известно.

Решение:

Пусть .

Оценкой максимального правдоподобия параметра при известном параметре формы имеет вид: . ОМП параметров гамма-распределения являются асимптотически нормальными, поэтому сходится к стандартному нормальному распределению. По таблице из приложения 2: . . Следовательно, случайный интервал является асимптотическим - доверительным интервалом.

1 2 3 4 5 6

Похожие:

$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Отчет о работе за 2012 год Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Секция №1 «Социально-гигиенические аспекты здоровья населения Омской области» Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Материалы заседаний научной комиссии факультета международных отношений в 2012/2013 учебном году Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Анализу цитируемости и публикационной активности сотрудников университета.... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Г. Санкт-Петербург 2013 Итоги работы Комитета по науке и высшей школе... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Министерство здравоохранения российской федерации приказ от 25 октября... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Введение 3 Основные итоги деятельности Министерства образования и... Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Методические указания для выполнения расчетно-графической работы... Ия для выполнения расчетно-графической работы для студентов 1 курса по направлению «Строительство». Методические указания соответствуют...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа дисциплины «Модели корпусной лингвистики» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 68 "Прикладная...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа дисциплины Современные методы принятия решений для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа итоговой государственной аттестации по Прикладной математике... Программа предназначена для выпускников факультета физико-математического образования, информатики и программирования по специальности...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа дисциплины «Герменевтика» для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину и студентов направлений 233400. 62 «Информационные системы...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа дисциплины Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений 231300. 62 «Прикладная...
$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Методические указания по самостоятельной и индивидуальной работе... Имитационное моделирование экономических процессов: методические указания по самостоятельной и индивидуальной работе студентов всех...	$Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 \"Прикладная математика и информатика\" icon$	Программа дисциплины Архитектура ЭВМ для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....

Школьные материалы

Методические указания к расчетно-графическому заданию для студентов IV курса фпми направление 510200 "Прикладная математика и информатика"

1.1. Методы оценивания параметров

1.1.1. Метод моментов

1.1.2. Метод максимального правдоподобия

1.1.3. Построение доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметров

1.1.4. Построение доверительного интервала с использованием центральной статистики

1.1.5. Построение асимптотического доверительного интервала

Похожие: