И.К. ПОГОРЕЛОВ, В.В. ФИРСТОВ, В.Е. ФИРСТОВ НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ГУМАНИТАРНОЙ ОБЛАСТИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
1. Проблематика и постановка задач. В последние десятилетия дискуссия о приоритете между «физиками» и «лириками» от малопродуктивной формы в рамках закона «исключенного третьего» явно приходит в конструктивное русло логики толерантности в духе принципа дополнительности. Логика принципа дополнительности определенно проникла в систему дидактических принципов и, как следствие, необходимость реализации взаимодополняющих принципов (системности и последовательности, связь теории и практики и др.) в учебном процессе привела к тому, что в программы математических и естественнонаучных специальностей внесен весомый гуманитарный контент, а в программы гуманитарного образования добавлены соответствующие дисциплины из области математики и компьютерных наук, а также естественнонаучного цикла.
В современном преподавании математики в гуманитарных областях образования, в основном, преобладают два подхода:
1). Сумма математических знаний, умений и навыков передается в рамках предметных курсов прикладного характера, типа: «Математические методы в искусствознании (психологии, социологии, юриспруденции и т.п.)», с реализацией соответствующих компьютерных моделей на практических занятиях.
2). Математический контент представляется в рамках курсов, типа «Математические основы гуманитарных знаний» [1].
Разумеется, цели обучения в обоих случаях направлены на обеспечение гармоничного развития творческого и логического мышления у студентов-гуманитариев. Однако, в первом случае мы, по сути дела, имеем некоторую частную методику преподавания, в которой сама математика преподносится фрагментарно в рамках тех или иных моделей, а создание более-менее целостного представления о математике отводится обучаемому объекту. Во втором случае математика представляется как некоторый (в меру детализированный) целостный образ, связи которого в гуманитарной области устанавливают базис для математического моделирования, а вопрос о реализации самих моделей решается на уровне мотиваций заинтересованного субъекта.
Общие подходы к формированию эффективных стратегий преподавания математики в гуманитарной области, как представляется, должны исходить из кибернетических принципов, т.е. путем оптимального управления информацией, передаваемой в данном учебном процессе. В теории информации оптимизация управления подразумевает максимизацию пропускной способности канала связи и скорости передачи информации по данному каналу, а также минимизацию потерь информации вследствие помех. Однако параметры максимизации (пропускная способность и скорость передачи), в силу фундаментальной теоремы К. Шеннона [2], оказываются зависимыми, поскольку скорость передачи информации лимитируется пропускной способностью канала связи. Поэтому, фактически, передача информации по каналу связи регулируется двумя параметрами – пропускной способностью и помехозащищенностью данного канала.
2. Информационные параметры оптимизации, как функции показателей учебного процесса. Выделенные параметры оптимизации в отношении к обучению представляют функции показателей учебного процесса:
1). Пропускная способность является функцией уровня преподавания и уровня организации педагогического общения, а также скорости восприятия учебного материала в процессе обучения. В свою очередь:
а). Уровень преподавания частично определяется уровнем знаний преподавателя в соответствующей предметной области и его умением регулировать подачу предметного материала, добиваясь оптимума восприятия.
б). Уровень организации педагогического общения определяется умением выстраивать оптимальные конфигурации на многообразии диалоговых форм передачи учебной информации для эффективного достижения целей обучения. Параметрами регулирования в данном случае выступают отношения временных масштабов диалогового общения между учителем и классом оптимально в пределах 2-6, в зависимости от формы организации обучения и обучаемого контингента [3].
в). Скорость восприятия учебного материала в процессе обучения сложным образом зависит от уровня преподавания и уровня организации педагогического общения. Это связано с тем, что одним из параметров регулирования здесь выступает положительная избыточность подаваемой учебной информации, которая способствует повышению скорости восприятия данной информации, если этот показатель отвечает оптимальным значениям. С избыточностью также связаны многие временные параметры обучения: скорость подачи материала, отношения временных масштабов диалогового общения и др.
2). Помехозащищенность в учебном процессе, главным образом, связана с минимизацией отрицательной избыточности информационных потоков, отсекая информацию, не отвечающую целям обучения. Довольно остро этот фактор обозначился в электронной педагогике и, в частности, при Интернет-обучении.
Если речь идет о преподавании предметов междисциплинарного направления, то выделенная проблемная область, естественно, расширяется, т.к.:
1). Действующие государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования (ГОС ВПО-2, 2000г.) в части математической подготовки специалистов предусматривают профессионально-направленное обучение, однако само содержание профессионально-направленного обучения математике и его цели при этом не конкретизированы. Таким образом, вузам, кафедрам и преподавателям, фактически, поставлена задача самим сформировать и развернуть это содержание.
2). Для многих преподавателей обозначенное профессионально-направленное математическое обучение является инновационным, поскольку для его реализации преподавателям математики объективно требуются основательные знания в сопряженной прикладной области; если же такое обучение проводится усилиями профильной кафедры, то тогда необходим соответствующий уровень знаний по математике и основам математического моделирования и персонала данной кафедры. Поэтому следует предусмотреть возможность повышения квалификации в соответствующей предметной области, в связи с чем представляется оправданным введение в программы аспирантуры весомого образовательного компонента, как это предлагается в последних коммюнике Болонского процесса [4, 5].
3. Концепции формирования содержания обучения математике в гуманитарной области профессионального образования. В высшем профессиональном образовании при формировании содержания предметного обучения особенно важно эффективно реализовать дидактический принцип научности, который в данном случае выступает в своем модифицированном варианте, известном как принцип научной селекции (И.Я. Конфедератов, 1969, [6]). Смысл реализации этого принципа сводится к выработке эффективных стратегий отбора количественного и качественного компонентов содержания учебной дисциплины. Данный принцип особенно актуален при обучении предметам междисциплинарного блока, в частности, приложений математики, где оптимальное соотношение между количественными и качественными компонентами содержания обучения означает эффективное моделирование изучаемых процессов. Имеющийся опыт отечественного преподавания прикладной математики, в основном, затрагивает области естественных и технических наук и в этом случае экспертные данные [7] рекомендуют придерживаться следующих правил:
1). Вопросы математического контента и его объем по данной специальности должны решать специалисты в этой области; вопросы обучения – это прерогатива математиков-профессионалов.
2). В целом, дидактическая линия при обучении приложениям математики представляется следующей: определение базового математического контента → обучение математике в рамках выделенного контента → выработка умений и навыков математического моделирования по данной специальности → компьютерная реализация и анализ результатов моделирования.
Если приведенные правила попытаться распространить в гуманитарную область приложений математики, то относительно представленной дидактической линии принципиальных возражений нет. Что касается вопросов формирования математического контента и его преподавания, то здесь необходимо сказать, что предлагаемые рекомендации – это опыт преподавания кафедры высшей математики МФТИ, относящийся к физическим приложениям математики. Видимо, нет нужды подчеркивать, насколько традиционно тесной является взаимосвязь между физической наукой и математикой, что обуславливает близость психологии мышления и физиков, и математиков. Связи между гуманитарной областью знаний и математикой пока известны в меньшей мере, но хорошо известно, что мышление математиков и гуманитариев, вообще говоря, отличается довольно заметно. Последнее дает основания полагать, что формирование обучения и вопросы самого обучения приложениям математики в гуманитарной области, следуя логике принципа дополнительности, должно проводиться при тесном творческом взаимодействии между специалистами гуманитарных и математических кафедр, хотя, при необходимости, это сотрудничество может быть и в более широком формате.
Цели математического обучения в гуманитарной области, касающейся категории эстетики, достаточно ясно обозначил Платон, который еще в IV в. до н.э. отмечал, как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны. В поисках истины, Сократ отождествлял красоту с целесообразностью, Пифагор связывал прекрасное с должным соблюдением пропорций, но, так или иначе, уже в античные времена возникла идея о существовании в категории прекрасного некого рационального ядра, которое можно выразить математическим языком. Именно это ядро представляет предмет обучения, цели которого сводятся к внедрению выделенного математического контента в сознание обучаемого контингента для формирования умений и навыков постижения закономерностей данной гуманитарной области через математику.
Естественно, возникает вопрос, каким образом проявляется и устанавливается интересующее рациональное ядро, составляющее основу содержания математического обучения в соответствующей гуманитарной области? Концептуально, разрешение поставленного вопроса сводится к проведению следующих оперативных мероприятий:
1). Определение информационных связей между предметными областями математического и гуманитарного знаний, что равносильно установлению структуры семантической сети, выражающей конфигурацию логических (причинно-следственных) связей в рассматриваемой гуманитарной области знаний, и, задающей контуры возможных расширений посредством креативных процессов.
2). Проведение лингвистической связи между математикой и гуманитарной областью. Информационные характеристики языков, их анализ и сравнение. Законы эстетики и языковые универсалии.
Эффективная реализация этих положений, в значительной мере, опирается на анализ и последующую дидактическую репродукцию имеющихся исторических традиций, из которых следует, что у колыбели большинства гуманитарных направлений, все-таки, стояла математика. Данные тезисы иллюстрируются на примерах.
4. Математика и живопись. Один из основных канонов структурной композиции в живописи связан с перспективой [8], которая реализует изображение предметов посредством центрального проектирования. Одно из первых упоминаний о перспективе относится примерно к 400 г. до н.э. и связано с сочинением Элиодора Ларисского [9]. Затем Евклид (ок. 365 – 300 гг. до н.э.) в трактате «Оптика» на языке перспективы дается толкование особенностей человеческого зрения при восприятии форм и размеров предметов. В XV-XVI вв. усилиями Л. да Винчи (1452-1519) и А. Дюрера (1471-1528) перспектива становится каноном живописной композиции, а, спустя примерно столетие, Ж. Дезарг (1593-1662) в ряде трактатов устанавливает общие синтетические правила построение перспективы и аксонометрии. Английский математик Б. Тейлор (1685-1731) представил ряд способов решения основных позиционных задач, связанных с перспективой, а также занимался вопросами определения свойств оригинала по его проекции. После того, как Я. Штейнер (1769-1863) установил сохранение ангармонического отношения между элементами оригинала и проекции, Ж.-В. Понселе (1788-1867), находясь в русском плену в Саратове (1813-1814 гг.), написал свой знаменитый трактат «О проективных свойствах фигур», в котором изложены основы проективной геометрии как самостоятельной математической дисциплины.
Устанавливая лингвистическую связь между математикой и живописью, заметим, что всякое живописное произведение является некоторым источником информации, которая в известной степени формируется посредством цвета, представляющего язык живописи. Цветовое пространство можно рассматривать в виде трехмерного действительного векторного RGB-пространства, в котором основные тона стандартной RGB-системы представляют ортонормированный базис так, что каждому цветовому тону взаимно однозначно соответствует некоторый трехкомпонентный вектор (R;G;B), причем, длина этого вектора характеризует яркость соответствующего цвета, а его направление определяет соответствующий цветовой тон и насыщенность [10]. Таким образом, устанавливается адекватная лингвистическая связь между цветовым языком живописи и формальным языком алгебраических символов в виде упорядоченных троек чисел. Покажем далее, как с помощью данного формального языка реализуется поиск эстетических закономерностей в живописной композиции. Для этого цветовой вектор (R;G;B) пронормируем, вводя так называемые координаты цветности    :
 ;  ;  (1)
где  - модуль вектора (R;G;B). Координаты цветности (1), как легко видеть, удовлетворяют следующему уравнению плоскости:
 , (2)
которая в сечении RGB-пространства определяет некоторый треугольник, который обычно называют цветовым треугольником [10], [11]. Тогда отображение (R;G;B) → () – это перспектива цветового вектора (R;G;B) на плоскость цветового треугольника с центром в начале координат RGB-системы, и за всем этим обнаруживается куда более глубокая связь: оказывается, точка () является барицентром (центром масс) цветового треугольника, если его загрузить по вершинам точечными массами  ,  ,  . Таким образом, перспектива оказывается связанной с механикой. Исходя из этих соображений, А.Ф. Мебиус в мемуаре «Барицентрическое исчисление» (1827) дает собственную концепцию проективной геометрии [12].
Барицентрический вариант представления перспективы наводит на интересную мысль. Концепция барицентра тесно связана с правилом рычага Архимеда и определяет условия статического равновесия системы материальных точек. Если распространить эту концепцию в цветовое пространство живописных образов, то можно ввести представление о колориметрическом (цветовом) барицентре живописного произведения, в рамках которого можно говорить о цветовом балансе (гармонии) данного произведения. Тогда принцип перспективы реализует цветовую гармонию в живописи.
Конкретная реализация данного замысла предпринята в работе [13] и состоит в следующем. Исследуемый живописный образ описывается декартовым произведением  , где  – поверхность изображения, с каждой точкой которой однозначно связан некоторый цветовой вектор (R;G;B) соответствующего цветового пространства  рассматриваемого живописного образа. Концепция колориметрического барицентра предусматривает построение отображения
 , (3)
по которому каждой точке живописного образа, с учетом ее цвета, однозначно, по определенному правилу, ставится в соответствие некоторое число из множества неотрицательных действительных чисел  , представляющее «колориметрическую массу» данной точки. Таким образом,  определяет распределение колориметрической массы по поверхности живописного образа, с помощью которого, по известным формулам механики, определяется положение колориметрического барицентра этого образа, характеризующего его цветовой баланс.
Компьютерная реализация концепции колориметрического барицентра охватила исследованием более 1000 живописных произведений и показала, что в подавляющем большинстве случаев, как в русской, так и в европейской живописи, независимо от жанра, стиля и эпохи, колориметрический барицентр располагается в окрестности геометрического центра картины, внутри прямоугольника, образованного линиями золотого сечения по вертикали и горизонтали данной картины [13-15]. Следовательно, живописцы достаточно тонко «чувствуют» сбалансированность своего произведения и (сознательно или интуитивно) избегают значительных отклонений от равновесия цветов в создаваемых картинах. Это дает основание полагать такой баланс важным элементом любого живописного произведения.
Дидактически, представленный материал можно использовать для отбора материала при формировании базисного математического контента при обучении основам математики в живописи, а также для иллюстрации опыта математического моделирования при анализе закономерностей композиционной структуры и гармонии живописных произведений.
5. Язык, грамматика и математика. Язык человеческого общения – это та область, где принцип математической абстракции реализовался раньше всего, в виде письменности, представляющей формализацию человеческой речи с помощью символов. По имеющимся данным, письменность возникла в конце 4-го – начале 3-го тысячелетия до н.э. в Египте (иероглифы) и Месопотамии (клинопись). В середине 2-го тысячелетия до н.э. иероглифическое письмо появляется в Китае. Европейская письменность в рамках буквенного алфавита возникает в античной Греции (IX-VIII вв. до н.э.) и затем в IX-X вв. на основе греческой азбуки создается славянская кириллица, которая легла в основу русского алфавита. С появлением письменности довольно быстро возникла потребность в придании необходимой конфиденциальности письменных коммуникаций, реализация которой обеспечивается в рамках соответствующих приложений математики и, таким образом, на этом пути зародились такие междисциплинарные направления, как криптография и криптоанализ. Об этом уже упоминает известный древнегреческий историк Геродот в V в. до н.э. Одними из первых стали использовать так называемые подстановочные криптограммы, которые формировались посредством некоторой (конфиденциальной) перестановки букв соответствующего алфавита [16]. Однако, вскоре, обнаружили простой способ дешифровки подстановочных криптограмм, используя тот факт, что различные буквы естественного языка в содержательных текстах встречаются не одинаково часто. Так, например, при расположении букв в порядке убывания частот (начиная с самой часто появляющейся буквы), для русского языка появляется последовательность: о, с, а, и, т, н, с, …; для английского языка: e, t ,a, o, n, r, i, …; для немецкого языка: e, n, i, s, t, r, a, d, …; для французского языка: e, s, a, n, i, t, u, r, …[2]. Известно [17], что с изобретением электромагнитного телеграфа (1837), передающего сообщения при помощи телеграфного ключа, С. Морзе (1791-1872) разработал специальную азбуку – двоичный код из точек и тире. При этом, естественно, для более часто встречающихся букв комбинации точек и тире должны быть проще, что, собственно, и сделал Морзе.
Другое важное направление структурной лингвистики, зародившееся в эпоху древней письменности, связано с разработкой методов скоростного письма – стенографией. Стенография существовала еще в Древнем Египте, где служила для записи речей фараонов, и затем, примерно в IV в. до н.э., появилась у древних греков, о чем свидетельствует найденная в Афинах в 1883 г. мраморная «Акропольская плита» с высеченными стенографическими знаками, которую относят к 350 г. до н.э. [18]. Система древней стенографии носила «словный» характер, т.е. каждый стенографический символ (знак) выражал некоторое слово. Как следствие, алфавит стенографических символов исчислялся тысячами знаков, запомнить которые было очень трудно. Стенография оставалась «словной» до начала XVII в., когда появилась более совершенная буквенная система стенографии, основанная на несколько иных принципах, связанных с частотным анализом слов в тексте. В России на сегодняшний день на государственном уровне действует система стенографии Н.И. Соколова, принятая 10 июня 1933 г. Между тем, исследования в области оптимизации систем стенографии выявили совершенно иной подход в количественном описании содержания сообщения. В начале XX в. стенографист французского парламента Ж.-Б. Эступ [19] предложил строить систему стенографии, исходя из частотного анализа слов в тексте: стенографический символ должен быть тем проще, чем чаще встречается то слово, которое он обозначает. При этом Эступ обнаружил замечательный факт: если через  обозначить относительную частоту  -го слова в словарном списке, то приближенно выполняется закономерность:
  (4)
Вслед за Эступом, сотрудник Телефонных лабораторий фирмы «Белл» Э. Кондон, при исследовании частот слов в текстах на предмет оптимизации телеграфных кодов, пришел к закономерности, сходной с (4). В 1935 г. вышла книга американского лингвиста Дж. Ципфа «Психобиология языка» [20], в которой приводилась содержательная трактовка обнаруженной зависимости (4), после чего, собственно, она и стала именоваться «законом Ципфа». В частности, Ципф установил, что закономерность (4) справедлива не для произвольной лексической выборки, а лишь для таких, словарь которых составляет около 22000 слов при общем объеме выборки («объем Ципфа») около 200000 словоупотреблений. В 50-х гг. XX в. Б. Мандельброт к интерпретации закона Ципфа привлек кибернетические соображения, рассматривая процессы оптимизации кодирования [19], и, таким образом, пришел к следующей зависимости:
 ,  , (5)
которая известна как закон Ципфа-Мандельброта и, в частности, при  этот закон переходит в закон Ципфа (4). Попутно обнаружился поразительный факт: закон Ципфа-Мандельброта (5) хорошо согласуется с частотными данными отдельных литературных произведений с четкой сюжетной линией и практически не выполняется для частотных данных по произвольным лексическим выборкам, не обладающих смысловой корреляцией. Иными словами, закон Ципфа-Мандельброта оказался законом не языка, а текста, представляющего отдельное чрезвычайно высокоорганизованное семантически коррелированное сообщение.
В 70-х гг. удалось найти алгоритмы частотной ранжировки произведений живописи и музыки [20], позволившие реализовать соответствующие спектры рангово-частотных распределений отдельных музыкальных и живописных композиций, в которых также прослеживаются закономерности (4), (5). В целом, механизмы степенных статистик типа законов Ципфа или Ципфа-Мандельброта, как правило, реализуются в сложных системах посредством формирования дальнодействующих причинно-следственных корреляций, когда одно событие спонтанно влечет другое, третье, лавину изменений, затрагивающих всю систему, реализуя сценарий самоорганизованной критичности [21].
Во 2-ой половине XX в. исследования в области теоретической лингвистики приобрели дополнительный импульс, обусловленный необходимостью совершенствования машинных кодов и алгоритмических языков [22], [23]. В современном представлении язык формально задается на некотором базовом множестве  (алфавит) и определяется некоторым подмножеством свободной полугруппы  , порожденной данным алфавитом. Выделенное подмножество (словарь) снабжается алгоритмом (грамматика), позволяющим перечислять слова из данного словаря, образуя фразы этого языка. Данное определение формального языка приводит к интересной мысли, если иметь в виду, что в теории полугрупп доказана замечательная теорема, по которой всякая полугруппа гомеоморфна некоторой свободной полугруппе [24]. Поэтому, всякая система с ассоциативным действием, в принципе, описывается некоторым абстрактным языком в рамках подходящей свободной полугруппы, что созвучно с фундаментальной теоремой К. Шеннона [2], гарантирующей возможность кодирования произвольной информации и, более того, передать ее со скоростью, близкой к пропускной способности канала связи, со сколь угодно малой вероятностью ошибки.
Библиографический список
1. Салий, В.Н. Математические основы гуманитарных знаний. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. – 308 с.
2. Яглом, А.М., Яглом, И.М. Вероятность и информация. – М.: Наука, 1973. – 511 с.
3. Реан, А., Бордовская, Н, Разум, С. Психология и педагогика. – СПб.: Питер, 2006 – 432 с.
4. Формирование общеевропейского пространства высшего образования / Коммюнике Конференции министров высшего образования. – Берлин, 19 сентября, 2003 г.
5. Европейское пространство высшего образования – достижение целей / Коммюнике европейских министров высшего образования. – Берген, 19-20 мая, 2005 г.
6. Архангельский, С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. – М.: Высшая школа, 1974. – 384 с.
7. Кудрявцев, Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977. – 112 с
8. Соловьев, С.А. Перспектива. – М.: Просвещение, 1981. – 144 с.
9. Зенкевич И.В. Эстетика урока математики. – М.: Просвещение, 1981. – 79 с.
10. Джадд, Д., Вышецки, Г. Цвет в науке и технике. – М.: Мир, 1978. – 592 с.
11. Гуревич, М.М. Цвет и его измерение. – М.: Изд-во АН СССР, 1950. – 268 с.
12. Балк, М.Б., Болтянский, В.Г. Геометрия масс. – М.: Наука, 1987. – 160 с.
13. Волошинов, А.В., Фирстов, В.В. Концепция колориметрического барицентра и некоторые структурные закономерности цветового пространства живописи // Вестник СГТУ, 2006, №2 (13). Выпуск 2. – С. 150-160.
14. Firstov V.V., Firstov V.E., Voloshinov A.V. The concept of colorimetric barycenter in group analysis of painting // Culture and Communication. Proc. XIX Congr. Intern. Assoc. Empirical Aesthetics / Eds. H. Gottesdiener, I.-V. Vilatte. – Avignon, IAEA, 2006. – p. 439-443.
15. Firstov Valeriy, Firstov Victor, Voloshinov Alexander, Locher Paul. The Colorimetric Barycenter of Paintings // Empirical Studies of the Arts, 2007, V. 25, №2. – P. 209-217.
16. Аршинов, М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика. – М.: Наука, 1983. – 144 с.
17. Кудрявцев, П.С. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1982. – 448 с.
18. Гильдебранд, А.Г. Стенография. – М.: Изд-во МГУ, 1968. – 100 с.
19. Мандельброт, Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов / В сб. Математические методы в социальных науках. – М.: Прогресс, 1973. – С. 316-337.
20. Орлов, Ю.К. Невидимая гармония // Число и мысль. Вып. 3. – М.: Знание, 1980. – С. 70-106.
21. Малинецкий, Г.Г., Курдюмов, С.П. Синергетика, прогноз и управление риском // Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С. 378-405.
22. Гросс, М., Лантен, А. Теория формальных грамматик. – М.: Мир, 1971. – 294 с.
23. Блейхут, Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. – М.: Мир, 1986. – 576 с.
24. Лидл, Р., Пильц, Г. Прикладная абстрактная алгебра. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 1996. – 744 с.
|
