2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Математика» относится к базовой части естественнонаучного цикла дисциплин (Б.2.1.3).
Для освоения дисциплины «Математика» обучающиеся используют знания и умения, сформированные в ходе изучения дисциплин по школьному курсу математики, физики. Знания, умения и навыки, приобретенные в ходе изучения дисциплины: Б.2.1.5 «Физика», Б.2.1.2 «Информатика».
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для формирования специальных компетенций в ходе последующего изучения дисциплин: Б.2.1.3 «Инженерная графика», Б.2.2.3 «Сопротивление материалов», Б.2.1.7 «Механика», Б.2.1.7.1 «Теоретическая механика», Б.2.1.7.2 «Техническая механика», Б.2.1.7.3 «Механика грунтов», Б.3.2.1 «Строительная механика».
3 Требования к результатам освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурных(ОК):
способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-1);
б) профессиональных(ПК):
владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом (ПК-1);
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
логические нормы математического языка, в частности, основные законы логики;
логические правила построения математических рассуждений (доказательств);
суть аксиоматического метода построения математических теорий и его компонентов: аксиом, теорем, определений, доказательств;
уметь:
логически грамотно конструировать математические предложения (в том числе теоремы) и определения, анализировать их логическое строение, записывать символически и, наоборот, переводить символическую запись на естественный язык;
распознавать, равносильны ли предложения и является ли одно следствием другого; преобразовывать отрицание предложений, опровергать общие утверждения с помощью контрпримеров;
переходить от безусловной формы теоремы к ее условной форме и наоборот; строить обратное предложение; формулировать теорему в терминах «необходимо», «достаточно»;
анализировать логическое строение элементарных рассуждений, распознавать правильные и неправильные рассуждения;
владеть:
языком теории множеств;
логическими нормами математического языка;
логическими методами доказательства.
Приобрести опыт деятельности: владения математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (ПК-4);
4 Содержание и структура дисциплины
4.1 Содержание разделов дисциплины ( модуля)
№ раздела
|
Наименование раздела
(модуля)
|
|
|
Содержание раздела(модуля)
|
Форма текущего контроля
|
1
|
2
|
3
|
4
|
1
|
Определители и матрицы
|
Определители второго и третьего порядка. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Понятие об
определителе n-го порядка. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
2
|
Аналитическая геометрия
|
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола
|
|
3
|
Введение в математический анализ
|
Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Множество вещественных чисел. Функция, область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними.
Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
|
|
4
|
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
|
Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.
|
|
5
|
Интегральное исчисление функции одной переменной.
|
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
6
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
Пространство Rn. Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связанные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.
Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл производных и дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Отображения множеств из пространства Rn в пространство Rm. Непрерывные и дифференциальные отображения. Функциональные определители. Условие независимости системы функции. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. Теорема об обратном отображении. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
7
|
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
|
Интегралы, зависящие от пара метра. Непрерывность. Диффе ренцирование и интегрирование по параметру. Несобственные ин тегралы, зависящие от параметра
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Двойной и тройной интегралы, их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратных. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные интегралы. Их свойства и вычисление. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
8
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Нормальная система дифференциальных уравнений.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Векторная запись нормальной системы, дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
|
9
|
Дискретная математика
|
Логические исчисления. Графы. Теория алгоритмов. Языки и грамматики. Автоматы.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
10
|
Теория вероятностей
|
Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Вероятность. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Элементарная теория вероятностей. Методы вычисления вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа. Дискретные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность вероятности случайной величины, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
1
|
2
|
3
|
4
|
11
|
Математическая статистика
|
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
12
|
Численные методы
|
Численные методы алгебры: Решение систем алгебраических уравнений, решение нелинейных уравнений методом Ньютона и методом итераций. Сходимость, оценка погрешности. Численные методы в теории приближений: интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, численное дифференцирование и интегрирование. Оценка погрешности. Численные методы решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение задачи Коши: методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса.
|
ДЗ,Т, К,ПК
|
|
