5 Образовательные технологии
В соответствии с требованием ФГОС ВПО по направлению подготовки (строительство) данная программа предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий.
5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Семестр
|
Вид занятия
(Л, ПР, ЛР)
|
Используемые интерактивные образовательные технологии
|
Количество
часов
|
1
|
Л
|
Проблемные лекции, лекция конференция.
|
17
|
ПР
|
Деловые игры, Тренинги
|
11
|
2
|
Л
|
Лекция конференция, Разработка проекта «Построение фигур ». Лекция «Мастер класс»
|
17
|
ПР
|
Деловые игры, Тренинги, компьютерные симуляции.
|
8
|
3
|
Л
|
Проблемные лекции, лекция конференция.
|
10
|
ПР
|
Деловые игры, Тренинги
|
7
|
итого
|
70
|
6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
6.1 Входной контроль
Входной контроль осуществляется в форме устного опроса основных положений перед изучением соответствующих разделов дисциплин.
Раздел 1. Линейная алгебра
Решение линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений.
Тригонометрические функции.
Преобразование тригонометрических выражений.
Раздел 3. Векторная алгебра
Вектор.
Действия над векторами.
Раздел 3. Аналитическая геометрия.
Система декартовых координат.
Координаты точки, делящей отрезок пополам.
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Взаимное расположение плоскостей.
Раздел 4. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной.
Производная и ее свойства.
Производные элементарных функций.
Дифференцирование элементарных функций.
Производные сложных функций.
Угловой коэффициент.
Уравнение касательной к кривой.
Первообразная.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Интегрирование элементарных функций.
Определенный интеграл и его свойства.
Раздел 5. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Классификация функций.
Предел функции одной переменной.
Теоремы о пределах функций одной переменной.
Два замечательных предела.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции одной переменной.
Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций одной переменной.
Понятие непрерывности функции одной переменной. Свойства.
Классификация точек разрыва функции одной переменной.
Понятие сложной и обратной функции одной переменной.
Дифференцирование функции одной переменной.
Правила дифференцирования. Производные элементарных функций одной переменной.
Понятие дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Основные теоремы дифференцирования функций одной переменной.
Касательная и нормаль к кривой.
Интегрирование функций одной переменной.
Раздел 6. Функция комплексной переменной.
Метод координат.
Полярная система координат.
Показательная функция и её свойства.
Правила дифференцирования.
Интегрирование функций.
Раздел 7. Дифференциальные уравнения.
Непосредственный метод интегрирования. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Разложение рациональной функции на сумму элементарных дробей.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование трансцендентных функций.
Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.
Последовательность.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Степенная функция и её свойства.
Тригонометрическая функция и её свойства.
Раздел 9. Теория вероятностей.
Вероятность.
Классическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности.
Раздел 10. Математическая статистика.
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства.
Вероятностный смысл математического ожидания.
Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Определение функции распределения. Свойства.
Определение плотности распределения. Свойства.
Вероятностный смысл плотности распределения.
6.2 Тематика текущего контроля
Текущий контроль знаний осуществляется в процессе выполнения контрольных заданий путём индивидуального и группового опроса, собеседования по основным вопросам рассматриваемой темы дисциплины. Результаты текущего контроля знаний учитываются при промежуточной аттестации студентов.
6.2.1 Контрольная работа по разделу «Линейная алгебра».
Задание 1. Найти матричный многочлен Р(А), если Р(х)=12х -1- 5х2+3х-4 и дана матрица  .
Задание 2. Решить системы линейных уравнений 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса.
6.2.2 Контрольная работа по разделу «Аналитическая геометрия»
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(2;3), В(-2;0), С(3;-2). Найти: 1) длины сторон; 2) длину и уравнение высоты, проведенной из вершины А и записать его в общем виде, с угловым коэффициентом и в отрезках. Выполнить чертёж.
Задание 2. Определить вид кривой 
Задание 3. Даны точки А(1;3;4), В(–1; 4; 0), С(0;–2;–3), D(5;–1;0). Найти: 1) уравнение прямой АВ; 2) объем пирамиды ABCD.
Задание 4. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: 1) расстояние между фокусами равно 6, а малая полуось равна 4;
2) большая полуось равна 6, а эксцентриситет равен 0,5; 3) расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет равен 1/5; 4) расстояние между фокусами равно 8, а  6.
6.2.3 Контрольная работа по разделу «Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной метрия»
Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
-
Задание 2. Найти производные  данных функций:
а)  ; б) ;
в)  ; г)  ; д)  ;
Задание 3. Вычислить неопределенные интегралы:
Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями /площадь области D/:
Задание 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L
 2. 
Задание 7. Вычислить несобственные интегралы (либо доказать расходимость).
а)  ; б)  .
6.2.4 Контрольная работа по разделу «Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных»
.Задание 1. Найти все частные производные первого и второго порядка функции нескольких переменных
а) u = x3 – 2x2y – y2 + 1;
б) u = x2 + xy2z3 – z;
|
а) u = y – 5x + 10y + 8;
б) u = z ln(x + y).
|
Задание 2. Исследовать на экстремум функции нескольких переменных.
а) u = – 2x2 + xy – 4y2 – x – 2y; б) u =  .
Задание 3. Изменить порядок интегрирования: 
Задание 4. Вычислить двойной интеграл. Область D изобразить на чертеже.
 ; 
|
Задание 5. Найти объемы пространственной области V с помощью тройного интеграла:
Задание 6. Вычислить криволинейный интеграл.
1.  , где дуга окружности  между точками А(5; 0) и В (0; 5) при положительном направлении обхода (против часовой стрелки).
6.2.5 Контрольная работа по разделу «Функция комплексного переменного».
Задание 1. Изобразить комплексные числа z1, z2 на комплексно плоскости. Произвести указанные действия над комплексными числами и записать результаты в тригонометрической форме: 1)  ; 2)  ; 3)  4)  , если  .
Задание 2. а) записать в показательной форме комплексное число  б) записать в тригонометрической форме комплексное число  .
6.2.6 Контрольная работа по разделу «Дифференциальные уравнения»
Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  при 
1)  , у = 1 при х = 2; 2)  ;
3) 
Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1)  ; 2) .
Задание 3. Найти общее решение систем дифференциальных уравнений.
6.2.7 Контрольная работа по разделу «Числовые и функциональные ряды»
Задание 1. Найти сумму ряда.
а)  ; б)  ; в)  .
Задание 2. Исследовать на сходимость числовой ряд  с помощью достаточных признаков сходимости.
а)  ; б)  .
Задание 3. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
 .
Задание 4. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд.
 .
Задание 5. К электрической цепи приложено несинусоидальное периодическое напряжение  на  , полученное в результате выпрямления синусоидального напряжения. Требуется выполнить следующие операции:
изобразить форму этого напряжения;
разложить напряжение источника  в ряд Фурье, ограничить число членов ряда постоянной составляющей и тремя первыми гармониками.
6.2.8 Контрольная работа по разделу «Теория вероятностей»
Задание 1. В первой урне 3 белых и 2 черных шара. Во второй 4 белых и 3 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, из второй 3. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары одного цвета; б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар.
Задание 2. В пирамиде стоят 15 винтовок, из них 8 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляющий из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,8, а стреляя из винтовки без оптического прицела с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Задание 3. В батарейной системе зажигания состоящей из аккумуляторной батареи (АБ), катушки зажигания (КЗ), распределителя зажигания (РЗ) и свечей зажигания (СЖ) вышли из строя два элемента. Найти вероятность того, что неисправны: 1) катушка зажигания и аккумуляторная батарея; 2) аккумуляторная батарея и распределитель зажигания; 3) катушка зажигания и распределитель зажигания; 4) аккумуляторная батарея и свечи зажигания;
5) распределитель зажигания и свечи зажигания; 6) Катушка зажигания и свечи зажигания, если известна вероятность отказа АБ, КЗ, РЗ, СЗ соответственно равна 0.3, 0.4, 0.2 , 0.5.
Задание 4. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 6 машин, а имеется их 9 . Вероятность невыхода каждой машины на линию равна 0.3. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.
Задание 5. Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 0.35 %. Найти наиболее вероятное число стандартных деталей в партии из 67 штук, отобранных наудачу.
Задача 6. Вероятность рождения мальчика равна 0,6. Найти вероятность того, что среди 85 новорожденных окажется 62 мальчика.
Задание 7. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,7. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятность 0,95 можно было ожидать, что не менее m опытов дадут положительный результат.
Задание 8. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 400 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,8. Найти с вероятностью 0,76 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.
Задание 9. Отказ элементов автомобиля записан в таблице. Определить среднюю наработку на отказ  , среднеквадратическое отклонение наработки на отказ  , коэффициент вариации V.
|
2,5
|
3
|
4
|
5
|
|
0,1
|
0,3
|
0,2
|
0,4
|
Задача 10. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0003. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно m; б) менее m; в) более m; г) хотя бы одно.
Задача 11. В качестве целевой функции стратегий принимают удельные затраты на единицу наработки (пробега) автомобиля. Для ремонтной стратегии удельные затраты составят  . Найти целевую функцию стратегий, если известна функция распределения вероятности наработки на отказ.
Задание 12. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами  (математическое ожидание) и  (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) написать плотность распределения вероятности и схематически изобразить ее график; б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (7; 10); в) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от 5 не больше, чем на 2.
6.2.9 Контрольная работа по разделу «Математическая статистика»
Задание 1. Построить: 1) эмпирическую функцию по данному распределению выборки; 2) полигон частот распределения: 3) гистограмму частот и относительных частот распределения.
варианты xi
|
2
|
6
|
10
|
14
|
частоты ni
|
12
|
15
|
17
|
30
|
Задание 2. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, если известны выборочная средняя  , объем выборки 256 и среднее квадратическое отклонение  .
Задание 3. Выборочная совокупность задана таблицей распределения
варианты xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
частоты ni
|
22
|
15
|
13
|
7
|
Найти выборочную дисперсию.
Задание 4. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве среднего балла по теории вероятностей и математике:
Теория вероятностей
|
4
|
5
|
4
|
4
|
5
|
5
|
4
|
2
|
4
|
4
|
3
|
2
|
4
|
4
|
5
|
5
|
Математика
|
4
|
5
|
2
|
3
|
4
|
3
|
5
|
2
|
4
|
3
|
4
|
3
|
4
|
3
|
5
|
2
|
6.3 Выходной контроль
Выходной контроль осуществляется в форме дифференцированного зачета в 1, 2 семестрах, экзамен в3 семестре.
6.3.1 В программу зачета в 1 семестре по дисциплине включены следующие вопросы:
Виды матриц. Действия над матрицами. Свойства действий с матрицами.
Определители первого и второго порядка.
Определители третьего порядка.
Определители n-го порядка.
Свойства определителей.
Минор матрицы.
Алгебраические дополнения матрицы.
Разложение определителя по элементам данного ряда.
Обратная матрица.
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы (с доказательством).
Несобственная матрица (доказательство)
Система n-линейных уравнений с переменными.
Ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы (теорема).
Произвольная система линейных уравнений (Теорема Кронекера-Копелли).
Система однородных линейных уравнений.
Решение системы n-линейных с m переменными (метод Гаусса).
Метод координат.
Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении.
Уравнение прямой линии не плоскости.
Угол между прямыми линиями.
Кривая второго порядка. Эллипс.
Кривая второго порядка. Гипербола.
Кривая второго порядка. Парабола.
Полярная система координат.
Векторное n-мерное пространство.
Вектор. Действия над векторами. Свойства. Длина вектора.
Скалярное произведение. Свойства.
Угол между векторами.
Векторное произведение. Свойства.
Смешанное произведение . Свойства.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Плоскость в трехмерном пространстве.
Прямая линия в трехмерном пространстве.
Последовательность. Арифметические действия над числовыми последовательностями.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства.
Сходящиеся последовательности. Свойства
Понятие функции. Способы задания функций. Классификация функций.
Предел функции.
Теоремы о пределах функций.
Два замечательных предела.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Понятие непрерывности функции. Свойства.
Классификация точек разрыва функции.
Понятие сложной и обратной функции.
Дифференцирование функции (теорема).
Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.
Понятие дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Основные теоремы дифференцирования.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.
Исследование поведения функции.
Касательная и нормаль к кривой.
Кривизна плоской линии.
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Непосредственный метод интегрирования. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Разложение рациональной функции на сумму элементарных дробей.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование трансцендентных функций.
Универсальные замены тригонометрических функций в неопределенном интеграле.
Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла.
Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценки интегралов. Теорема о среднем значении в определенном интеграле.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Площадь криволинейной трапеции.
Площадь криволинейного сектора.
Длина дуги кривой.
Объем тела вращения.
Площадь поверхности вращения.
Физические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы первого рода.
Несобственные интегралы второго рода.
Признак сходимости несобственных интегралов.
Приложение несобственных интегралов.
Приближенные вычисления определенных интегралов (формула парабол).
Приближенные вычисления определенных интегралов (формула трапеций).
6.3.2 В программу зачета во 2 семестре по дисциплине включены следующие вопросы:
Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных.
Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Свойства непрерывных функций.
Частные производные функции нескольких переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Производные сложных функций нескольких переменных.
Дифференциал сложной функции нескольких переменных.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.
Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных .
Метод наименьших квадратов.
Двойной интеграл. Случай прямоугольной области.
Двойной интеграл. Случай криволинейной области.
Замена переменных в двойном интеграле.
Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
Криволинейные интегралы. Вычисление криволинейных интегралов.
Криволинейные интегралы. Формула Грина.
Приложения криволинейных интегралов.
Тройные интегралы. Случай криволинейной области.
Тройные интегралы. Случай прямоугольной области.
Замена переменных в тройном интеграле.
Поверхностные интегралы. Формула Остроградского.
Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов.
Поверхностные интегралы. Формула Стокса.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрический смысл дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения в полных дифференциалах.
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
Основные понятия дифференциального уравнения второго порядка.
Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Основные понятия линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Основные понятия линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (f (x) = Pn(x)).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ( f (x) = e x Pn(x)).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными переменными (f (x) = a cos  x + b sin x).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными переменными ( f (x) = e x [Pn(x)cos x + Pm(x)sin x]).
Решение уравнения вида у + ру +qy = f1 (x) + f2 (x).
Нормальная система дифференциальных уравнений.
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Числовой ряд. Основные определения. Необходимое условие сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости ряда.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости.
Разложение функции в степенные ряды
Тригонометрический ряд. Свойства.
Ряд Фурье с периодом  .
Ряд Фурье с периодом  .
6.3.3 В программу экзамена в 4 семестре по дисциплине включены следующие вопросы:
Основные понятия теории вероятностей. Испытания и события.
Классическое определение вероятностей.
Аксиоматическое определение вероятностей.
Геометрическое определение вероятностей.
Статистическое определение вероятностей.
Основные формулы комбинаторики.
Теоремы сложения вероятностей.
Теоремы умножения вероятностей.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Формула полной вероятности.
Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Биноминальное распределение вероятностей.
Распределение Пуассона.
Простейший поток событий. Свойства.
Геометрическое распределение вероятностей.
Гипергеометрическое распределение вероятностей.
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства.
Вероятностный смысл математического ожидания.
Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Начальные и центральные теоретические моменты.
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
Определение функции распределения. Свойства.
Определение плотности распределения. Свойства.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Закон равномерного распределения вероятностей.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Нормальное распределение. Нормальная кривая.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Вычисление вероятности заданного отклонения.
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.
Распределение хи-квадрат ( ).
Определение показательного распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины.
Числовые характеристики показательного распределения.
Функция надежности.
Система нескольких случайных величин.
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
Свойства функции распределения двумерной случайной величины.
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Линейная корреляция. Нормальная корреляция.
Задачи математической статистики.
Генеральная и выборочная совокупности.
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.
Статистические оценки параметров распределения.
Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.
Статистическая проверка статистических гипотез.
|
; 
