Урока по теме «Исследование функции с помощью производной»

Методическая модель учебного занятия (на примере урока по теме «Исследование функции с помощью производной») Урок математики по теме: «Исследование функции с помощью производной» Цели урока: Ø Образовательные. Формировать: навыки прикладного использования аппарата производной; выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся. Ø Развивающие. Развивать: математическую речь учащихся, мышление, наблюдательность учащихся, развивать умение обобщать - умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции. Ø Воспитательные. Воспитывать: - познавательный интерес к математике; - информационную культуру и культуру общения; - самостоятельность, способность к коллективной работе. Вид урока: комбинированный. Распределение урока по времени. Организационный момент (2 мин.) Изложение нового материала (35 мин.) Закрепление новых знаний(40 мин.) Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.) Оборудование: Чертёжные инструменты, проектор. «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский Ход урока. 1) Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности кабинета и учеников к уроку. Выявление отсутствующих. 2) Изложение нового материала Общая схема исследования функции Область определения Чётность, нечётность; периодичность Точки пересечения графика с осями координат Промежутки знакопостоянства Промежутки возрастания и убывания Точки экстремума и значения f в этих точках Поведение функции в окрестности “особых” точек и при больших по модулю x. Необходимое условие возрастания и убывания функции Т е о р е м а. Если дифференцируемая функция f(x), хÎ(а;b), возрастает (убывает) на (а;b), то f `(x) ≥ 0 (f `(x) ≤ 0) для любого х из интервала (а;b). Достаточные условия возрастания и убывания функции Теорема Лагранжа. Если функция f(x), хÎ[а;b], непрерывна на отрезке [а;b] и дифференцируема на интервале (а;b), то найдётся точка сÎ(а;b) такая, что имеет место формула f(a) – f(b) = f `(c)(b – a) Правило нахождения интервалов монотонности 1) Вычисляем производную f `(x) данной функции f(x), а затем находим точки, в которых f `(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x) 2) Критическими точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f `(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности. 3) Определим знак f `(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f `(x) ≥ 0, то на этом интервале f(x) возрастает, если же f `(x) ≤ 0, то на таком интервале f(x) убывает. Исследование экстремумов функции Необходимое условие экстремума. (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x) = 0. Достаточные условия существования экстремума в точке Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f. Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции Т е о р е м а. Пусть функция f(x), хÎ(а;b), имеет первую и вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех хÎ(а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех хÎ(а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b). 3) Закрепление новых знаний Задание №1 По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум. Задание №2 Пример 1. Найти область определения функции y=lg (2x-3) y=lg(2x-3) D(y): 2x-3>0 2x>3 x>1,5 Ответ: D(y)=(1,5; +∞ ). Одним из понятий для исследования функции является нули функции. Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля. Пример 2. Найти нули функции y=x2-5x. y=x2-5x D(y)=R По определению : y=0, тогда x2-5x=0 x(x-5)=0 x=0 или x=5 Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5. Пример 3. Найти нули функции y=4x-8 y=4x-8 D(y)=R По определению: у=0, тогда 4х-8=0 4x=8 x=2 Ответ: нулями этой функции является точка х=2. Задание №3 Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график. y=x3+6x+9x 1) D(y)=R 2) Определим вид функции: y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x функция общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. Ox: y=0, x3+6x2+9x=0 x(x2+6x+9)=0 x=0 или x2+6x+9=0 D=b2-4ac D=36-36=0 D=0, уравнение имеет один корень. x=(-b+D)/2a x=-6+0/2 x=-3 (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. 4) Найдем производную функции: y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9 5) Определим критические точки: y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3 x2+4x+3=0 D=b2-4ac D=16-12=4 D>0, уравнение имеет 2 корня. x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2 x1=-1 x2=-3 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: 0 -4 + - + -3 -1 x=-4, y’=3*16-48+9=9>0 x=-2, y’=12-24+9=-3<0 x=0, y’=0+0+9=9>0 7) Найдем xmin и xmax: xmin=-1 xmax=-3 8) Найдем экстремумы функции: ymin=y(-1)=-1+6-9=-4 ymax=y(-3)=-27+54-27=0 9) Построим график функции: 10)Дополнительные точки: y(-4)=-64+96-36=-4 4) Подведение итогов урока и информирование о домашнем задании: Домашнее задание: П24, №296 (а), №297 (а)

Похожие:

	Исследование функций с помощью графика производной Графики производной... Систематизировать знания обучающихся по теме: «Производная функции», формирование у обучающихся базовой математической подготовки...		Л. Сердюкова, г. Сочи, Краснодарский край ~ ~ В8 Геометрический смысл производной. Ф. И. Часть 1 Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной
	Урок практикум Тема: «Исследование функции с помощью производной» Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии...		Конспект урока критические точки функции, ее максимумы и минимумы.... Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной
	Тема урока Количество уроков Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной		Конспект урока математики в начальной школе Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной
	Урок изучения нового материала с использованием метода работы в группах Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной		Урока «Производная и её применение» Форма урока Сегодня весь урок мы посвятим одному математическому понятию – производной, увидим, что с её помощью решаются не только алгебраические...
	Уроков Цели урока: Обобщить знания учащихся по теме «Исследование... Обобщить знания учащихся по теме «Исследование функции на монотонность и экстремумы» и выяснить степень готовности учащихся к контрольной...		Урока по теме: «Применение производной» ...
	Урока: Обобщающее повторение. Геометрический смысл производной Образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Закрепить знания о зависимости между значениями...		Составлено на основании Программы для общеобразовательных учреждений.... Цель урока: Создание условий для усвоения алгоритма исследования функции с помощью производной
	Урок в 10 классе по теме «Вычисление производных» Развивающая уметь находить производные функции; решать задачи с применением физического смысла, геометрического смысла; находить...		Конспект урока алгебры и начала анализа «Поговорим о производной».... Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей выполнения работы
	Решение задач по теме «Уравнение касательной к графику функции» Решение задач по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»		Урок. «Нахождение производной» Найти производную функции ( 1 – 4; 7; 8 ) Укажите абсциссу точки графика функции в которой угловой коэффициент касательной равен 2