Решение д Общий член последовательности имеет вид

Глава 3. Последовательности В этой главе вводится понятие числовой последовательности, изучаются основные способы задания числовой последовательности, главное внимание уделено рассмотрению двух видов числовых последовательностей — арифметической и геометрической прогрессий. В материалах для классов с углублённым изучением математики рассмотрена бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и метод математической индукции, используемый для доказательства математических утверждений. Цель изучения главы 3: добиться, чтобы учащиеся овладели понятиями: числовая последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, и научились пользоваться основными формулами для арифметичес­кой и геометрической прогрессий. Кроме того, в классах с углублённым изучением математики, надо научиться доказывать математические утверждения с помощью метода математической индукции. § 6(5). Числовой последовательности и их свойства Основная цель изучения шестого параграфа — научить школьников понимать, что такое числовая последовательность и каковы способы её задания. В этом параграфе сначала вводится понятие числовой последовательности, а затем изучаются её свойства. 6.1(5.1). Понятие числовой последовательности В данном пункте дано определение числовой последовательности, членов последовательности, её общего члена, приведены примеры числовых последовательностей. Для классов с углублённым изучением математики приведён пример рекуррентного способа задания последовательности. Решения и комментарии 409(591). Запишите формулу общего члена последовательности: д) 1, –1, 1, –1, 1, –1, ...; е) –1, 1, –1, 1, –1, 1, ... . Решение. д) Общий член последовательности имеет вид an = (–1)n + 1. е) Общий член последовательности имеет вид bn = (–1)n . 411(593). Найдите сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой общего члена: а) an = 3n + 2; б) an = (–1)n. Решение. По формуле общего члена последовательности найдём шесть членов последовательности, затем их сумму: а) a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11, a4 = 14, a5 = 17, a6 = 20; 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 75; б) a1 = –1, a2 = 2, a3 = –3, a4 = 4, a5 = –5, a6 = 6; –1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 = 3. 412(594). Числовая последовательность задана формулой общего члена xn = 10 + 2n. а) Найдите: x1, x10, x100. б) Запишите последующий и предыдущий члены для xn (n 2). в) Запишите член последовательности, имеющий номер n + 2. Решение. а) По формуле общего члена последовательности найдём x1 = 12, x10 = 30, x100 = 210. б) xn + 1 = 10 + 2(n + 1) = 12 + 2n; xn – 1 = 10 + 2(n – 1) = 8 + 2n. в) xn + 2 = 10 + 2(n + 2) = 14 + 2n. 414(596). Последовательность задана первыми членами: 1, 5, 9, ... . Запишите формулу её общего члена. Решение. Учитывая, что члены последовательности увеличиваются на 4, можно составить формулу общего члена так: xn = 1 + 4(n – 1), или xn = 4n – 3. По этой формуле запишем первые 5 членов последовательности 1, 5, 9, 13, 17. Однако, это не единственное решение. Заметим, что первый и третий члены — квадраты чисел 1 и 3 (номеров членов). Для этих членов подошла бы формула общего члена xn = n2. Чтобы не менять значения первого и третьего члена и увеличить второй член на 1, добавим в эту формулу слагаемое . Для n = 2 это слагаемое равно 1, для нечётных номеров n оно равно 0. Итак, формула общего члена с теми же тремя первыми членами имеет вид: xn = n2 + . По этой формуле запишем первые 5 членов последовательности 1, 5, 9, 17, 25. Две построенные последовательности различны, но три первые члена у них совпадают с тремя первыми членами заданной последовательности.. 415(597). а) Последовательность задана рекуррентным способом: a1 = 2, an + 1 = an + 3. Запишите пять первых её членов. Решение. Подставляя в формулу an + 1 = an + 3 вместо n числа 1, 2, 3, 4 и заменив a1 числом 2, получим члены последовательности со второго по пятый, выпишем первые 5 членов этой последовательности: 2, 5, 8, 11, 14. 416(598). Последовательность задана рекуррентным способом: a1 = 3, an + 1 = an + 2. Задайте последовательность формулой n-го члена, вычислите пять первых её членов. Решение. Подставляя в формулу an + 1 = an + 2 вместо n числа 1, 2, 3, 4 и заменив a1 числом 3, получим члены последовательности со второго по пятый, выпишем первые 5 членов этой последовательности: 3, 5, 7, 9, 11. Учитывая, что члены последовательности увеличиваются на 2, можно составить формулу её n-го члена: xn = 3 + 2(n – 1), или xn = 2n + 1. 419(601). Числовая последовательность задана формулой n-го члена: а) an = 5n; б) bn = . Задайте последовательность рекуррентным способом. Решение. а) Подставляя в формулу an = 5n вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим члены последовательности: 5, 10, 15, 20, ... . Так как каждый следующий член последовательности можно получить из предыдущего прибавлением числа 5, то последовательность можно задать рекуррентным способом: a1 = 5, an + 1 = an + 5. б) Подставляя в формулу bn = вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим члены последовательности: 9, 3, 1, , ... . Так как каждый следующий член последовательности можно получить из предыдущего умножением на , то последовательность можно задать рекуррентным способом: a1 = 9, an + 1 = . 420(602). а) Последовательность задана формулой n-го члена an = 177 – 3n. Сколько положительных членов у этой последовательности? Решение. Найдём все натуральные числа n, для каждого из которых an > 0. Для этого решим неравенство: 177 – 3n > 0. Это неравенство равносильно неравенству n < 59. Следовательно, у этой последовательности 58 положительных членов. 423(н). Исследуем. Найдите наименьший член последовательности, заданной формулой общего члена an = n2 – 19,8n + 113. Решение. Рассмотрим функцию y = x2 – 19,8x + 113 = (x – 9,9)2 +14,99 которая при натуральных значениях x принимает значения, совпадающие с членами данной последовательности. Эта функция достигает наименьшего значения в точке x0 = 9,9. Так как число 9,9 не натуральное и 9 < 9,9 < 10, то наименьшим членом последовательности будет или a9, или a10. Так как a9 = = 15,8, а a10 = = 15 и 15 < 15,8, то 15 — наименьший член последовательности. 424(н). Исследуем. а) Найдите все значения a, при каждом из которых последо­вательность, заданная формулой общего члена an = n2 – 20n + 100 – a, имеет единственный отрицательный член. Решение. а) Запишем формулу общего члена в виде an = (n – 10)2 – a. Для каждого значения a рассмотрим функцию y = (x – 10)2 – a, которая при натуральных значениях x принимает значения, совпадающие с членами данной последовательности. Отрицательные члены в этой последовательности будут только в случае, если будет выполнено неравенство (x – 10)2 – a < 0. Рассмотрим график функции y = (x – 10)2 – a, в следующих случаях: 1) a < 0 (рис. 37, а); 2) a = 0 (рис. 37, б); 3) 0 < a < 1 (рис. 37, в); 4) a = 1 (рис. 37, г); 5) a > 1 (рис. 37, д). Определим, что при натуральных значениях x функция имеет единственное отрицательное значение только в случаях 3) и 4). Следовательно, данная последовательность имеет единственный отрицательный член при 0 < a 1. Р ис. 37 Ответ. а) 0 < a 1. 426(605). Доказываем. а) Докажите, что для любых натуральных n последова­тельность чисел Фибоначчи {un} обладает свойством: u1 + u2 + ... + un = un + 2 – 1. (1) Доказательство. Последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентно следующим образом: u1 = u2 = 1, uk + 2 = uk + 1 + uk, (2) где k = 1, 2, 3, ... . Подставим в равенство (2) значения k от 1 до n, получим n равенств: u3 = u2 + u1, u4 = u3 + u2, u5 = u4 + u3, . . . . . . . . . . . . un + 1 = un + un – 1, un + 2 = un + 1 + un. Сложив эти n равенств и вычтя из обеих частей полученного равенства одинаковые слагаемые (они выделены коричневым цветом), получим верное равенство: un + 2 = u2 + u1 + u2 + u3 + ... + un – 1 + un. (3) Заменив в правой части равенства (3) число u2 на 1 и вычтя из обеих частей равенства (3) по 1, получим верное равенство: un + 2 – 1 = u1 + u2 + u3 + ... + un – 1 + un, что и доказывает равенство (1). 6.2(5.2). Свойства числовых последовательностей В данном пункте даны определения монотонной последовательности и ограниченной последовательности, приведены примеры монотонных и не монотонных последовательностей, а также примеры ограниченных последова­тельностей. Введено понятие конечной последовательности. Отметим, что любая последовательность бесконечна, но если рассматриваются только несколько её первых членов, то в этом случае говорят, что последовательность конечна и что у неё есть последний член. Изучение этого материала поможет общему развитию учащихся, а также облегчит понимание аналогичного материала для функций. Решения и комментарии 435(614). а) Последовательность задана формулой n-го члена an = . Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной. Решение. Для любого натурального n найдём члены последовательности с номерами n и n + 1: an = , an + 1 = . Вычислим разность: an + 1 – an = = – = . Так как для любого натурального n эта разность положительна, то an + 1 > an для любого натурального n, т. е. по определению эта последовательность возрастающая. Так как = для любого натурального n, то выполняется двойное неравенство 0 an < 1. Следовательно, последовательность является и ограниченной сверху, и ограниченной снизу, поэтому эта последовательность является ограниченной по определению. 438(617). Укажите все значения b, при которых последовательность, заданная формулой an = , является: а) возрастающей; б) убывающей. Решение. а) Так как для любого натурального n верны равенства an = и an + 1 – an = , то последовательность будет возрастающей, если an + 1 – an > 0, т. е. при b < 0; последовательность будет убывающей, если an + 1 – an < 0, т. е. при b > 0. Ответ. а) При b < 0; б) при b > 0. Промежуточный контроль. С–17.

Похожие:

	Тема Вид работы Работа с рисунками, учебником, памятками, составление последовательности построения рисунка		Докладчик Член Бюро Высшего Совета Партии «единая россия», член Совета Федерации фс рф, член Комитета сф по международным делам, координатор...
	2010 год Вид урока Вид урока: урок практического применения знаний по теме “ Решение заданий егэ по информатике ” в разных видах деятельности		Программа 23 ноября 2013 г. Вступительное слово Мгдд(Ю)Т, член Совета Союза краеведов России, академик и член Президиума моо «Академия детско-юношеского туризма и краеведения»,...
	Установление хронологической последовательности Установите в хронологической последовательности события. Запишите цифры, которыми обозначены события, в правильной последовательности...		Тип урока Определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, составление плана и последовательности действий;...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Трис т" туроператор по Мальте, член Мальтийского клуба, имеет блок мест на а/к "Air Malta"		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Мобу «Поярковская сош №1» самая крупная школа Михайловского района. Школа расположена в центре с. Поярково. Имеет удобное транспортное...
	Реферат. Рекомендации по написанию реферата: (соответствуют последовательности... Авторы: Авторы (фамилии и инициалы) указываются в последовательности, соответствующей заявлению (форма рп и формы рп/доп в соответствии...		Положение о 5 районной истоковской ярмарке «Земля наш общий дом» Программа «Истоки» имеет своей целью ввести в образовательное поле систему идеалов, ценностей и норм, лежащих в основе российской...
	Златоусте Кафедра «Социально-правовые и гуманитарные науки» Предмет имеет скорее просветительский, чем практический характер. Он знакомит студентов с развитием костюма в его исторической последовательности,...		Рабочая программа дисциплины Общий менеджмент Специальность 036401 «Таможенное дело» Дисциплина «Общий менеджмент» относится к дисциплинам базовой части профессионального цикла
	Вид. Одной из ос­новных таксономических категорий является вид (species).... Основные принципы классификации микроорганизмов. Понятие рода, вида, подвида, штамма		Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1)
	Памятка для студентов по направлению подготовки 270100 «Архитектура» Дисциплина «История архитектуры, градостроительства и дизайна» имеет общий объем 108 часов, в 3 семестре 41 часов (17 – лекционных...		Несимметрия напряжения Несимметрия напряжений трехфазной сети характеризуется коэффициентом обратной последовательности напряжений k2U, определяемым отношением...