Скачать 119.45 Kb.
|
Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации… Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования. Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений. Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ. Множества и операции над ними Одно из основных понятий математики – множество. Определение: Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов. Множество обозначают: M,N ….. m1, m2, mn – элементы множества. Символика A M – принадлежность элемента к множеству; А М – непринадлежность элемента к множеству. Примеры числовых множеств: 1,2,3,… множество натуральных чисел N; …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z. множество рациональных чисел а. I – множество иррациональных чисел. R – множество действительных чисел. K – множество комплексных чисел. Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В. А В – А подмножество В (нестрогое включение) Множества А и В равны, если их элементы совпадают. A = B Если А В и А В то А В (строгое включение). Множества бывают конечные и бесконечные. |М| - мощность множества (число его элементов). Конечное множество имеет конечное количество элементов. Пустое множество не содержит элементов: M = . Пример: пустое множество: 1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = . 2) множество , сумма углов которого 1800 пустое: M = . Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики … Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n. Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать:
Операции над множествами
А ВОтношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества. Объединение двух множеств О А Вбъединение системы множеств можно записать- объединение системы n множеств. Пример: объединение множеств, когда они заданы списком. A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h} Объединение трех множеств: AUB AUB 2 A CB A B ) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В. A BА АСВВ Пересечение прямой и плоскости
Пересечение системы множеств:
С = А \ В A \ B A \ B А А \ В В А В AB A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}. В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна; 2) не коммутативна, т.е. A\B B\A. 4) дополнение E – универсальное множество. -- дополнение Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми. Основные законы операций над множествами. Некоторые свойства , похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются. Основные свойства
1,2,3 – есть аналог в алгебре. 3.а) \ A = - нет аналога.
5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.
Прямые произведения и функцииПрямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аА, bB. С=AхВ, если А=В то С=А2. Прямыми «х» n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1A1,…, AnAn. Через теорию множеств введем понятие функции. Подмножество FMx x My называется функцией, если для каждого элемента хMx найдется yМу не более одного. (x;y)F, y=F(x). Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна: Мх My а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение) а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение) Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хMX соответствует 1 элемент yMY и обратное справедливо. Пример: 1) (х,у) в круге x=2 y=2 y=2 x=2..4 не взаимнооднозначное соответствие. 2 2 3 4 y X 2) x = sinx /2 -/2 R R Пусть даны две функции f: AB и g: BC, то функция y:AC называется композицией функций f и g. Y=f o g o – композиция. Способы задания функций:
Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры. Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n! Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств. Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие. Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n. Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел. Множество N2 – счетно. ДоказательствоРазобьем N2 на классы К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1) 1-ый элемент 1-го множества 1-ый элемент 2-го множества Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)} К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1} Каждый класс будет содержать i пар. Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а. Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2. Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk. Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным. ДоказательствоДопустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями. } 1 1 -я 0, a11, a12 …. 2-я 0, а21, a22 …. …………………. Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3 b 1 1 a11, b2 a22, … Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1]. Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум. Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора. ОтношениеПусть дано RMn – n местное отношение на множество М. Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b. Проведем отношение на множество N: А) отношение выполняется для пар (7,9) (7,7_ Б) (9,7) не выполняется. Пример отношения на множество R А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; 21) Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется. Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств. Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств. Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна
С= 101 010 001 Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства. Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1. Свойства отношений
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний рефлексивное < антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а b и b a ==> a=b
Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение u для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого Лекция: Элементы общей алгебры Р. Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций = {1,…, m}, т.е. система А = {М1;1,…, m} называется алгеброй. - сигнатура. Если M1M и если значения ( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;1,…, m} подалгебра A. Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись ab. 1. (ab)c=a(bc) – ассоциативная операция Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно 2. ab = ba – коммутативная операция Пр. +,x – коммутат. –; : – некоммут. умножение мат AB BA – некоммутативно. 3. a(bc) = (ab) (ac) –дистрибутивность слева (ab)c) = (aс) (bc) –дистрибутивность справа. Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа но не abc abac Р. Гомоморфизм и изоморфизмАлгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; I) и B=(M; I) – одинакового типа. Пусть отображение Г:KM при условии Г(I)= I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение I в В. Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В. Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1. Мощности изоморфных алгебр равны. Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры. |
Типология проектов. Их структурирование Итак, мы знаем, что такое... Поэтому, приступая к работе над проектами, важно ознакомиться с типологией проектов | Тексты лекций по дисциплине «Деловое общение» Ставрополь, 2014 Г. Тард; Б. Спиноза; Т. Гоббс; Дж. Локк; П. А. Гольбах; К. А. Гельвеция; ж-ж руссо; Вольтер; И. Кант; Л. Уорд; Ф. Г. Гиддингс; объект... | ||
Доклад Применение деловой игры как метод формирования инновационно-исследовательской компетенции Применение деловой игры как метод формирования инновационно-исследовательской компетенции | Рефератов по дисциплине «Информатика и математика» для студентов юридического факультета Математика как дедуктивная наука. Аксиоматический метод ее построения и связанные с ним проблемы (полнота, независимость, непротиворечивость... | ||
Коммуникативный метод обучения как фактор формирования базовой культуры личности В настоящее время важная роль отводится коммуникативной деятельности обучения, направленной на практическое овладение английским... | Реферат Записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников Алгебраическое уравнение, корни уравнения, число действительных корней уравнения, теорема штурма, метод лобачевского–греффе, метод... | ||
Метод проектов на уроках иностранного языка Мы рассматриваем в данном контексте технологии как совокупность приемов, позволяющих в определенной их последовательности, диктуемой... | Лабораторная работа Учитель орагнизует деятельность и помогает в осуществлении задания. Так же используется частично-поисковый метод, метод проблемного... | ||
Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Статья «Метод творческого чтения как средство раскрытия способностей каждого ученика» | Тема урока: «Моделирование лифа путем перевода нагрудной вытачки» Методы обучения: метод мозговой атаки, метод контрольных вопросов, частично проблемно-поисковый, метод упражнений | ||
Итоги работы третьего этапа городской экспериментальной площадки... Итоги работы третьего этапа городской экспериментальной площадки «Метод проектов как средство развития познавательной активности... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Метод интеграции как средство компетентностного подхода в обучении. Интегрированный урок /литература – изобразительное искусство/... | ||
Компьютерные презентации как средство усовершенствования традиционных... Наиболее распространенная трактовка понятия «инновация» звучит так: «Это процесс освоения новшества». При этом под новшеством понимается... | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Метод учебных проектов как оптимальное условие формирования саморазвивающейся личности | ||
Зачем нужна литература в школе? Что такое культура, зачем она нужна? (2)Что такое культура как система ценностей? (З)Какова цель того широкого гуманитарного образования,... | Патология речевого высказывания Анализ мозговой основы психической деятельности располагает, как известно, двумя основными методами. Первым из них является сравнительно-эволюционный... |