На правах рукописи
Чистякова Татьяна Алексеевна
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭФФЕКТОВ В ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Таганрог – 2010
Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ).
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Сухинов Александр Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Куповых Геннадий Владимирович,
доктор физико-математических наук,
профессор Илюхин Александр Алексеевич
Ведущая организация: Южно-Российский государственный технический университет.
Защита состоится 6 июля 2010 г. в 14.20 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.208.22 ТТИ ЮФУ
по адресу: 347928, г. Таганрог, Некрасовский пер., 44.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.
Автореферат разослан 3 июня 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета А.Н. Целых
Общая характеристика работы.
Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью применения ультразвуковых волн в следующих медицинских и технических сферах:
1) Ультразвуковая медицинская томография – метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Эта область, предполагающая развитие методов томографирования и их приложение к медицинской диагностике, с каждым годом привлекает все большее внимание. Остро стоит проблема выявления патологически измененного участка органа человека на самой ранней стадии развития болезни, когда лечение является еще сравнительно легким и эффективным. Так, желательно обнаружение злокачественной опухоли, когда ее размеры составляют около 1мм или даже доли миллиметра. Диагностика с помощью ультразвука, согласно современным медицинским стандартам, безвредна (в отличие от рентгеновской томографии), а акустические медицинские приборы намного дешевле ЯМР-томографов (которые не превзойдены в настоящее время по качеству, однако крайне дороги и потому малодоступны).
2) Ультразвуковая терапия – метод, основанный на действии на ткани высокочастотных звуковых колебаний. Ее эффективность обусловлена совокупным влиянием механических, химических и тепловых факторов. Принцип методики заключается в направленном воздействии на биологические ткани высокочастотных волн. Они вызывают ограниченное движение и изменение объема клеток, в результате которого массаж происходит на микроскопическом уровне. Это улучшает проницаемость клеточных мембран, ускоряет обменные процессы, способствует рассасыванию уплотнений. Изменения на клеточном уровне вызывают повышенный синтез ферментов и гиалуроновой кислоты, следствием которого является рассасывание рубцовых и спаечных образований. Ускоряются окислительно-восстановительные процессы, образование биологически активных веществ. Клетки начинают ускоренно делиться, и ткани быстрее обновляются. Ультразвук обладает тонизирующим, противовоспалительным, обезболивающим и спазмолитическим действием. Благотворное действие ультразвуковой терапии применяют при лечении аллергических реакций, заболеваний кожи и суставов.
3) Ультразвуковой неразрушающий контроль – хорошо отработанная технология обеспечения качества продукции. Ультразвуковые волны позволяют измерять толщину материалов, определять степень их монолитности и исследовать их другие физические свойства. Используя методы ультразвукового неразрушающего контроля, можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Одной из самых важных областей применения ультразвукового контроля является измерение остаточной толщины стенок металлических труб, резервуаров или баллонов, подверженных коррозии с внутренней стороны.
Закономерности распространения волновых пучков большой амплитуды отличаются от законов линейного распространения, поэтому любые приложения интенсивных звуковых полей требуют уточнения физической и математической модели эволюции волновых возмущений конечной амплитуды.
Нелинейные процессы в ультразвуковых пучках вследствие отсутствия физической дисперсии в большинстве звукопрозрачных сред представляют собой сложные пространственно-временные явления, описываемые квазилинейными уравнениями со степенным характером нелинейных членов. В большинстве практически важных случаев решение модельных уравнений не может быть получено аналитическими методами. Единственной возможностью изучения и применения нелинейных волновых процессов является математическое моделирование.
Несмотря на большое количество математических моделей в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике.
Основной научной целью данной работы является построение прецизионной (второго порядка погрешности аппроксимации) консервативной конечно-разностной модели для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, и исследование пространственных нелинейных эффектов в полях волн конечной амплитуды.
Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:
обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков;
разработка комплекса дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде повышенного порядка точности;
выполнение программной реализации модели;
проведение вычислительного эксперимента по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.
Научная новизна состоит в следующем:
Построена конечно-разностная модель повышенного порядка точности (второго) для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде.
Доказана консервативность, устойчивость и сходимость построенной модели.
Выполнены вычислительные эксперименты, на основе которых установлен эффект существования в квадратично-нелинейных средах без физической дисперсии явлений компрессии и декомпрессии звуковых импульсов.
С помощью построенной модели выполнен численный эксперимент и доказана возможность существования фокусировки звуковых пучков.
Практическая значимость исследования состоит в том, что построен комплекс программ для представленной модели, и на его основе могут быть выполнены высокоточные расчеты для взаимодействия ультразвуковых пучков в нелинейно-диссипативных средах в задачах медицинской диагностики и терапии (ультразвуковая терапия, ультразвуковая томография), а также неразрушающего контроля и других областях.
Апробация результатов исследования. Результаты работы обсуждались на VI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (26-28 февраля 2008, Томск); IX Всероссийской научной конференции «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2008); Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов» (8-12 сентября, 2008, Таганрог); V Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1 – 5 июня, 2009, Ростов – на Дону). По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, из них 1 статья – в отечественном реферируемом журнале, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК.
Структура диссертационной работы.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Диссертация изложена на 138 страницах, включает в себя 29 иллюстраций, 4 таблицы и список из 61 использованных источников.
II. Основное содержание исследования.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются основная цель и задачи диссертационного исследования, научная новизна и раскрывается практическая значимость работы.
Первая глава посвящена обзору непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. В §1.1. приводится вывод уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова, на котором основывается непрерывная математическая модель распространения звуковых пучков, а также уравнения Бюргерса и Хохлова-Заболотской (частные случаи уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова). Далее введением новых переменных осуществляется переход к безразмерному уравнению Хохлова-Заболотской-Кузнецова:
 ,
где  – величина скорости частиц среды,  – диссипативный параметр,  – время в сопровождающей системе координат,  – нормированное расстояние,  – параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейной и дифракционной длин волны,  поперечный лапласиан.
На основе полученного уравнения Заболотской Е.А., Бахваловым Н.С. и Жилейкиным Я.М. была предложена следующая краевая задача:
 ,
 ,
 ,
 ,
для решения которой предлагается метод расщепления по физическим процессам, согласно которому исходное уравнение записывается в виде:
 , где  ,  .
Пусть решение задано на пространственном слое  . Если заменить полученное уравнение на 2 уравнения, одно из которых учитывает нелинейность и дисперсию, а второе – диссипацию:
 ,
 ,
то для гладких решений справедливо равенство:
 .
Последовательное решение двух полученных уравнений является более легкой задачей, чем непосредственное решение исходного уравнения. Предложенная модель обладает порядком погрешности аппроксимации  , т.е. первым порядком по переменной  , что и является ее недостатком. В §1.2. приводится прецизионная дискретная математическая модель для квазилинейного уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Модель строится на основе метода расщепления по физическим процессам. Исходная задача представлена уравнением Хохлова-Заболотской-Кузнецова в обезразмеренном виде:
(1)
с начальным условием:
и граничными условиями:
– условие периодичности сигнала:
 ,
 ,
– условие симметричности:
 ,
– условие отсутствия энергии в бесконечно удаленной точке:
 ,
где – величина скорости частиц среды, – диссипативный параметр, – время в сопровождающей системе координат, – нормированное расстояние, – параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейной и дифракционной длин волны, поперечный лапласиан в полярной системе координат  .
Расчетная область по пространственным направлениям  представляет собой цилиндр (рис.1).
  
Рис.1. Расчетная область
Для построения решения разностной схемы вводится равномерная сетка:
 , где
 , , – индексы по направлениям  соответственно;
 , , – шаги по направлениям соответственно;
 , , – количество узлов сетки по направлениям соответственно;
, – высота и радиус цилиндра соответственно.
После аппроксимации уравнения (1) по переменной и введения новых переменных
 ,
где  – значение поля  на промежуточном пространственном слое, ,
 , , ,
 – значения поля на некотором пространственном слое,
исходная задача разбивается на две подзадачи, одна из которых учитывает эффекты нелинейности и диссипации среды:
 , (2)
 ,
 ,
а другая – диффузию энергии в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны:
 , (3)
 ,
 .
Далее строится дискретная модель (4) – (5):
 ,
 ,
 ,
 , (4)
 ,  ,
 ,
 ,  ,
 ,  , (5)
 ,  .
Задача (4) получена путем аппроксимации задачи (2) при помощи интегро-интерполяционного метода с использованием схем с весами. При этом оператор нелинейности аппроксимирован таким образом, чтобы его дискретный аналог был линеен и имел второй порядок точности, что соответствует погрешности аппроксимации, свойственной схемам с весами. Задача (5) получена при помощи интерполирования тригонометрическими полиномами  и последующим взятием частных производных по переменной  . Таким образом, переход между временными слоями осуществляется согласно следующим формулам:
 .
В §1.2.1. для полученных подзадач проводится построение дискретной модели, основанной на явных схемах. В этом случае трудоемкость составляет  арифметических операций, где и – количество узлов сетки по переменным  и соответственно. В §1.2.2. проводится построение дискретной модели, основанной на неявных схемах, что требует  арифметических операций. В §1.2.3. проводится построение дискретной модели, основанной на схемах с весами. Трудоемкость в этом случае составляет  арифметических операций. В §1.3. осуществляется построение дискретной модели вторым способом – на основе метода гармоник. Данный способ является менее предпочтительным по сравнению с методом расщепления по физическим процессам, поскольку его трудоемкость составляет  арифметических операций.
Во второй главе проводится исследование построенной прецизионной модели. В §2.1. определяется погрешность аппроксимации используемых схем для модели распространения звуковых пучков. В §2.1.1. определяется точность явных схем, в §2.1.2 – неявных схем. В этом случае получаем второй порядок по переменным и и первый порядок по переменной . В §2.1.3 определяется точность схем с весами. В этом случае получаем второй порядок по всем переменным ,, . В §2.2 исследуется устойчивость построенных математических моделей распространения звуковых пучков. В §2.2.2., §2.2.3. и §2.2.4. на основе метода Фурье проводится исследование устойчивости моделей, основанных на явных схемах, неявных схемах и схемах с весами соответственно. Модель, основанная на явных схемах, является неустойчивой. Модели, основанные на неявных схемах и схемах с весами, являются абсолютно устойчивыми. В §2.3. проводится сравнение предложенных схем с точки зрения устойчивости и порядка погрешности аппроксимации. Сравнение показало, что для решения задачи распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде целесообразно использовать схемы с весами. В §2.4 проверяется консервативность схем с весами для задач распространения волновых пучков. Показано, что при распространении звуковых пучков только лишь приграничные узлы являются стоками поля, что соответствует непрерывному физическому процессу. Другие источники и стоки отсутствуют. Другими словами, данная дискретная модель соответствует ее непрерывному аналогу с точки зрения баланса энергии и является консервативной.
В третьей главе проводится описание программной реализации математической модели. Программа выполняет расчет функции скорости частиц среды и коэффициентов ряда Фурье функции скорости частиц среды, и содержит следующие блоки:
– управляющий блок (в данном блоке осуществляются следующие действия: выделение памяти для используемых переменных, ввод начальных условий, задание вспомогательных массивов для быстрого преобразования Фурье; и вызываются функции: расчет скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков, расчет коэффициентов ряда Фурье для функции скорости частиц среды, расчет скорости частиц среды с учетом дисперсии скорости распространения волновых пучков, расчет функции скорости частиц среды по коэффициентам ряда Фурье, функции вывода данных и удаления массивов);
– блок расчета скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков;
– блок построения сеточных уравнений для расчета скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков;
– блок прямого хода быстрого преобразования Фурье (в данном блоке в матрице скоростей для каждой строки как для вектора применяется быстрое преобразование Фурье, и полученные векторы заносятся в матрицу коэффициентов Фурье  );
– блок обратного хода быстрого преобразования Фурье (в данном блоке в матрице коэффициентов Фурье для каждой строки выполняется комплексное сопряжение и как для вектора применяется быстрое преобразование Фурье, затем полученные векторы заносятся в матрицу скоростей );
блок быстрого преобразования Фурье;
– блок расчета методом прогонки СЛАУ с комплексной матрицей;
– блок расчета расчет скорости частиц среды с учетом дисперсии скорости распространения волновых пучков;
– блок расчета СЛАУ методом циклической прогонки.
Схема алгоритма программы представлена на рис.2.
В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов, осуществляется верификация построенной математической модели. В §4.1.(рис.3, рис.4, рис.5) рассматриваются пучки с начальным гауссовским распределением:  . На рис.3 черным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды, а цветной поверхности соответствует функция скорости частиц при следующих параметрах:   ,  . На рис.4 представлены исходная функция скорости и функция скорости при  .
Рис. 2. Схема алгоритма программы
Рис.3. Функции скорости частиц среды при  и 
|
Рис.4. Функции скорости частиц среды при и
|
На рис.5 приведена функция двух переменных  при фиксированных значениях : . При этом вертикальная ось соответствует переменной , а горизонтальная – переменной . С ростом положительный и отрицательный фронты сближаются. Из рис.3, рис.4 и рис.5 видно, что с ростом интенсивность сигнала уменьшается и исходный гауссовский пучок расширяется вдоль координаты .
|
|
|
|
Рис.5. Функция двух переменных при фиксированных значениях
| |
