Рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применения»

Рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применения» на ступени среднего общего образования ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» разработана для учащихся 11 классов. Составлена в соответствии с требованиями Федерального компонента Государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике на базовом уровне, на основе методического пособия к элективному курсу С. А. Гомонова«Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование (в той степени строгости, которая соответствует уровню школьной математики) методов их получения, а также выход на приложения изученного теоретического материала. Таковыми вначале будут решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств, встречающихся на вступительных экзаменах в вузы, а к завершению освоения курса — рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием. Задачи: изучить избранные классы неравенств с переменными; изучить научное обоснование методов их получения на уровне школьной математики; решать примеры на установление истинности простейших числовых неравенств, встречающихся на вступительных экзаменах в ВУЗы; научиться проводить рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным Данная программа не предусматривает изменений. Учебно-методический комплект: 1. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 – 11 кл.: учебное пособие / С. А. Гомонов.- 2-е изд., стереотип. - М. : Дрофа, 2006. 2. Замечательные неравенства: методические рекомендации к элективному курсу С. А. Гомонова «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» / С. А. Гомонов – М.: Дрофа, 2005. 3. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика»/Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров – М.: Вита-Пресс, 2004. Место элективного курса в программе Согласно действующему Базисному учебному плану рабочая программа для 11-го класса предусматривает обучение элективному курсу «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» в объёме 1 часа в неделю (школьный компонент учебного плана), всего 34 часа в год. Плановых уроков контроля успеваемости по годам обучения: 11 класс – 3: Стартовая работа – 1, тематическое (рубежное) тестирование – 3, итоговая работа – 1, Формы организации занятий: лекции, семинары, дискуссии, диспуты, доклады-отчеты об осуществлении «поисковой» работы в книжно-журнальных областях, подсказанных учителем и в Интернете. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ В результате изучения математики на профильном уровне в старшей школе ученик должен Знать/понимать значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики; значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности; различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике; вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира. Уметь решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, иррациональные и тригонометрические неравенства,, их системы; доказывать несложные неравенства; решать текстовые задачи с помощью составления неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи; изображать на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем. решать неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной; Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПО ИНФОРМАТИКЕ № п/п № урока в теме (разделе) Наименование раздела и тем Часы учебного времени Замечательные неравенства. 13 1 1 Числовые неравенства и их свойства. 1 2 2 Основные методы установления ис­тинности числовых неравенств. 1 3 3 Основные методы установления ис­тинности числовых неравенств. 1 4 4 Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Стартовая работа. 1 5 5 Частные случаи нера­венства Коши, их обоснование и при­менение. 1 6 6 Частные случаи нера­венства Коши, их обоснование и при­менение. 1 7 7 Метод математической индукции и его применение к доказательству нера­венств. 1 8 8 Метод математической индукции и его применение к доказательству нера­венств. 1 9 9 Неравенство Коши для произ­вольного числа переменных. 1 10 10 Неравенство Коши для произ­вольного числа переменных. 1 11 11 Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач. 1 12 12 Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач. 1 13 13 Неравенства подсказывают методы их обоснования. 1 Средние величины: их свойства и применение. 22 14 1 Средние степенные величины, соот­ношения между ними и другие источ­ники замечательных неравенств. 1 15 2 Средние арифметическое, гео­метрическое, гармоническое и квад-ратическое в случае двух параметров. 1 16 3 Геометрические интерпретации. 1 17 4 Среднее арифметико-геометри-ческое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое. 1 18 5 Симметрические средние. Кру­говые неравенства. 1 19 6 Среднее арифметическое взве­шенное и его свойства. 1 20 7 Средние степенные и средние взвешенные степенные. 1 21 8 Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева: про­стейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотон-ной последовательности. 1 22 9 Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и нера­венство Коши—Буняковского. 1 23 10 Генераторы замечательных нера­венств. Свойства квадратичной функции; гео­метрические модели. 1 24 11 Генераторы замечательных нера­венств. Свойства квадратичной функции; гео­метрические модели 1 25 12 Свойства одномонотонных по­следовательностей — источник заме­чательных неравенств. 1 26 13 Свойства одномонотонных по­следовательностей — источник заме­чательных неравенств. 1 27 14 Свойства одномонотонных по­следовательностей — источник заме­чательных неравенств. 1 28 15 Свойства одномонотонных по­следовательностей — источник заме­чательных неравенств. 1 29 16 Неравенство Иенсона 1 30 17 Выпуклые фигуры и выпуклые функции. 1 31 18 Свойства центра масс конечной системы мате­риальных точек. 1 32 19 Исследование функции на вы­пуклость и вогнутость средствами ма­тематического анализа. Итоговая работа. 1 33 20 Неравенства Коши—Гельдера и Минковского. 1 34 21 Применение неравенств. Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оп­тимизацию. 1 35 22 Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замеча­тельных неравенств. 1 СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ I. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Введение. Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики. Средние величины и неравенство Коши. О задачах школьных математических олимпиад. Глава 1. Числовые неравенства и их свойства. Понятие положи-тельного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпре-тация и свойства. Понятия «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства. Тема для дискуссии: «Легко ли определить знак числа или найти наибольшее из двух данных чисел, если числа заданы как значения некоторых числовых выражений?». Простейшие свойства числовых неравенств. Монотонность функций и числовые неравенства. Задания для самостоятельной работы: 1. а) Приведите примеры положительных и отрицательных действительных чисел. б) Вспомните символическую запись основных законов сложения и умножения действительных чисел. в) Попробуйте ответить, какими будут значения следующих числовых выражений (положительными, отрицательными числами или числом нуль): (-3)1000; sin 600°; Щ- 45; log ^5; sin(10017T -1); е* - тс«. 2. Выясните, какие из следующих утверждений истинны, а какие ложны: 2100 > 350; tg1000° > 0; sin(1017I – 1) > 0; V2 + V3 > 2; Глава 2. Основные методы установления истинности числовых неравенств. Сравнение двух чисел - значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры. Тема для дискуссии: «Можно ли использовать вычислительную технику (микрокалькулятор) для сравнения значений числовых выражений? Ожидания и заблуждения». Задания для самостоятельной работы: В журнале «Квант» (или «Математика в школе») (в номерах, вышедших за определенный период) найти и решить задачи на сравнение значений числовых выражений (акция «Допишем учебник»). Решить цикл задач из раздела «Задачи для самостоятельного решения» (номера задач и их количество определит учитель). Глава 3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать) неравенства с параметрами. Банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей востребо­ванности. Неравенство-следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры. Тема для дискуссии: «Самое лучшее из решений. За и против». (Одно и то же неравенство может быть установлено несколькими способами. Какой из способов лучше и почему? Каждый из участников «защищает» «свой» способ решения задачи, критикует другие решения.) Задания для самостоятельной работы: разобрать (по указанной учителем литературе) один из вариантов обоснования конкретного неравенства с переменными и подготовить сообщение в защиту данного способа установления этого неравенства Глава 4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью срав­нения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Задание для самостоятельной работы: доказать две вышеуказанные теоремы, используя метод математической индукции. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Исторический экскурс. Функциональное доказательство неравенства Коши. Примеры. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши. Тема для дискуссии и самостоятельной работы: «Какое из доказательств лучше и почему?». (Существуют десятки вариантов доказательства неравенства Коши, некоторые из них приведены в рекомендованной литературе; учащимся можно поручить разобрать самые яркие и интересные из них, чтобы потом провести дискуссию на указанную выше тему с учетом того, что «лучшее» можно понимать по-разному.) В разделе «Задачи для самостоятельного решения» данной главы содержится более 60 задач (есть и со «звездочкой»), что позволит учителю предложить индивидуальные домашние задания многим учащимся с последующей проверкой и оцениванием этих работ. Глава 5. Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач. Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши—Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Примеры. Геометрическая интерпретация неравенства Коши—Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства. Тема для обсуждения или дискуссии: «Как ввести понятие величины угла между векторами?». Задания для самостоятельной работы: Решить указанные учителем задачи из раздела «Задачи для самостоятельного решения». Придумать и доказать теоремы, обобщающие утверждения задач из указанного выше раздела (можно в рамках коллективной работы «Допишем учебник»). Глава 6. Неравенства подсказывают методы их обоснования. а) Метод Штурма. Примеры. б) Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства. в) Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника. Дополнительным разделом как источником тренировочных задач для развития навыков преобразования выражений является раздел «Условные тождества». Тема для обсуждения или дискуссии: «Многообразие метода подстановки». Задание для самостоятельной работы: решить указанные учителем задачи из статей соответствующей тематики журналов «Квант» или «Математика в школе». Часть II. Средние величины: их свойства и применение Введение. «Средние» в средней школе. Многообразие средних величин. Глава 7. Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств. Введение. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних». а) Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции. Тема для обсуждения или дискуссии: «Сохранится ли соотношение между средними величинами (арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратическим), если позволить входящим в них параметрам принимать произвольные действительные значения?». б) Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметикогармоническое, их существование и свойства. в) Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Круговые неравенства и методы их доказательства. Задание для самостоятельной работы: изучить такие темы, как «Методы опровержения круговых неравенств», «Теорема Мюрхеда и ее применение». г) Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Коорди- наты центра масс конечной системы материальных точек. д) Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши—Буняковского с по­ мощью тождества Лагранжа. Задания для самостоятельной работы: Написать реферат на тему «Разные способы доказательства неравенства Коши—Буняковского». (Эта же тема может стать предметом обсуждения на уроке, проводимом в форме беседы, или стать основой для дискуссии.) Решить цикл задач со «звездочкой» из завершающего главу раздела «Задачи для самостоятельного решения». (Помощь учителя, скорее всего, будет необходима, так как решения «звездных» задач представляют собой настоящие небольшие математические исследования. Найти решения этих задач — трудное индивидуальное задание на дом. Результаты такой работы могут быть доложены на уроке в виде доклада.) Поручить нескольким учащимся (тем, кто математически послабее) подготовить выступления-содоклады к лекции учителя. Например, предложить учащимся подготовить для изложения на уроке доказательства некоторых свойств х-нормы. Глава 8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения. Введение. Исторический экскурс. П.Л.Чебышев и его научное наследие. а) Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобще-ние, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Одномонотонная последовательность как результат обобщения понятия монотонных последовательностей и обнаружения некото­рой «симметричности» выражений, составляющих левую и правую части неравенства Чебышева. б) Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши—Буняковского. Задания для самостоятельной работы: написать реферат и подготовить доклад на тему «П.Л.Чебышев и его научное наследие». Глава 9. Генераторы замечательных неравенств. Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, причем как ранее уже изученные (идет повторение ранее пройденного), так и совершенно новые. а) Свойства квадратичной функции — источник простейших неравенств. Тема для обсуждения: «Три доказательства неравенства Коши— Буняковского. Сходства и различия». б) Неравенство треугольника. Тема для обсуждения или дискуссии: «Варианты введения понятия расстояния между двумя точками». в) Свойства одномонотонных последовательностей — источник замечательных неравенств: 1) Свойства двучленных и трехчленных одномонотонных по­ следовательностей. Примеры. Свертка двух последовательностей. Задание на дом: по данному учебному пособию самостоятельно разобрать доказательства свойств двучленных и трехчленных одно-монотонных последовательностей и отчитаться о выполнении этой работы перед учителем (в послеурочное время). 2) Свойства одномонотонных последовательностей произволь­ ной длины и их применение. Примеры. Задание для самостоятельной работы: используя материал дан-ного пособия, самостоятельно разобрать доказательства свойств одномонотонных последовательностей и отчитаться в выполнении этой работы перед учителем (в послеурочное время). 3) Одномонотонность нескольких последовательностей, их свой- ства и применения. Примеры. 4) Обобщения. Итоги. Применения изученных понятий и их свойств к получению новых замечательных неравенств. Неравен- ства, обобщающие одновременно и неравенство Коши—Буняковско- го, и неравенство Чебышева. Творческое задание для самостоятельной работы: исследовать предложенную математическую «проблему»: «Если в теореме о свойстве свертки нескольких одномонотонных последовательностей отказаться от требования положительности их членов, то сохранится ли теорема?» (Подобные вопросы могут быть поставлены учителем перед учащимися и по поводу ряда других ранее рассмотренных теорем. Однако теоретический материал данной час-ти главы весьма сложен и сформулированное выше задание можно предложить лишь самым упорным и любознательным ученикам. Возможно, учителю стоит существенно сократить изучение дан­ной главы, отказавшись от проведения ряда громоздких доказательств.) г) Неравенство Иенсона. Введение. Историческая справка. Крат- кий обзор результатов. Выпуклый анализ — раздел современной математики. Свойства центра масс конечной системы материальных точек. Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и под-график функции. Неравенство Иенсона и его доказательство. Про­стейшие примеры применения. Задание для самостоятельной работы: ответить на следующие вопросы из пособия: Упражнение 1. Придумайте десять примеров выпуклых и десять примеров невыпуклых фигур. Упражнение 2. Докажите, что пересечение нескольких вы-пуклых фигур есть выпуклая фигура. Верно ли, что объединение нескольких невыпуклых фигур есть фигура невыпуклая? Каков будет результат, если пересекать невыпуклые, а объединять выпуклые фигуры? Упражнение 3. Выясните, является ли одноточечное множество выпуклой фигурой. Какая версия ответа наиболее предпочтительна? Теорема о связи свойств выпуклости надграфика или подграфика функции с ее выпуклостью или вогнутостью. 3) Выпуклость фигур и свойства центра масс конечной системы материальных точек. Задание для самостоятельной работы: сформулировать и доказать неравенство Иенсона для случая выпуклости подграфика функции с использованием свойств координат центра масс конечной системы материальных точек. (Данное задание на дом может быть выполнено в виде стендового доклада.) 4) Исследование функций на выпуклость и вогнутость средства- ми математического анализа. Неравенство Коши—Гельдера и неравенство Минковского. Достаточные условия вогнутости и выпуклости функции, заданной на указанном промежутке, в терминах ее производных пер­вого и второго порядка (две основные теоремы разной степени общности и «тонкости»). Примеры (таблица) функций, чья выпуклость или вогнутость устанавливается вышеуказанными теоремами. Конкретные виды неравенства Иенсона, порожденные функциями из таблицы. Неравенство Коши—Гельдера. Неравенство Минковского и другие примеры. Задание для самостоятельной работы: по указанной учителем литературе продолжить таблицу выпуклых (вогнутых) функций с рассмотрением соответствующих этим функциям видов неравенства Иенсона (работа в рамках акции «Допишем учебник»). Замечание. Теоретический материал данной главы достаточно труден для изучения учащимися, поэтому учитель вполне может ограничиться рассмотрением лишь части данного материала, опираясь на наглядность и очевидность соответствующих свойств графиков конкретных функций и записав именно для них неравенство Иенсона с конкретным количеством параметров и конкретными значениями весов. Например, он может это сделать для логарифмической функции с выходом на получение неравенства Коши. Глава 10. Применение неравенств. Задача Дидоны (упрощен­ный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств. Темами для дискуссий и докладов (в том числе и стендовых) могут стать решения «знаменитых» задач на поиск наибольших и наименьших значений функций. С наиболее интересными сообщениями учащиеся могут выступить и на межшкольных и даже междуго­родных конференциях (типа Всероссийской научно-практической конференции одаренных школьников Интел-Авангард). ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ 1.С.А.Гоманов Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения Дрофа. Москва 2006 Учебное пособие 2. С.А.Гоманов Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения Дрофа. Москва 2007. Методические рекомендации Материально-техническое обеспечение образовательного процесса Наименования объектов и средств материально-технического обеспечения ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ Электронный учебник справочник. Аудиторная доска с магнитной поверхностью Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, циркуль. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ Мультимедиа проектор Интерактивная доска Аудиторная доска с магнитной поверхностью СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ УЧЕБНАЯ МЕБЕЛЬ Компьютерный стол Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, циркуль.

Похожие:

	Рабочая программа Жиленковой Нины Николаевны по элективному курсу... Мбоу «Ржавецкая средняя общеобразовательная школа» и составлена на основе авторской программы А. Н. Землякова: Элективный курс «Замечательные...		Рабочая программа элективного учебного предмета «Уравнения и неравенства.... Рабочая программа по элективному учебному предмету составлена на основе авторской программы элективного учебного предмета «Уравнения...
	Программа элективного курса по алгебре для 9 класса «Уравнения, неравенства и их системы» Программа данного элективного курса рассчитана на 16 часов и предназначена для учащихся 9 класса		Паспорт рабочей программы элективного курса стр. 4 Структура и содержание элективного курса Рабочая программа элективного курса Введение в профессию является частью образовательной программы спо, входящей в состав укрупненной...
	Рабочая программа элективного курса в 9 классе «Графический дизайн. Adobe Photoshop» Требования к минимально необходимому уровню знаний учащихся, необходимых для успешного изучения элективного курса 6		Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов
	Рабочая программа элективного курса составлена на основе программы... Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №8 С. Тахта ипатовского района ставропольского...		Рефератов для студентов I курса Обоснование лечебного применения физических упражнений. Противопоказания к применению лечебной физкультуры
	Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств Наибольшую сложность представляют задания с модулем, с параметром, иррациональные неравенства и умение их решать во многом предопределяют...		Темы рефератов для студентов I курса, временно Обоснование лечебного применения физических упражнений. Противопоказания к применению лечебной физкультуры
	Пояснительная записка рабочая программа профориентационного элективного... Рабочая программа профориентационного элективного курса «Человек и профессия» составлен в рамках предпрофильной подготовки обучающихся...		Основная образовательная программа высшего профессионального образования Элективный курс по электротехнике – Знакомство с элективными курсами. Даётся краткий анализ составления элективного курса «Электротехника»....
	Николай иванович лобачевский Он высказал замечательные мысли, что геометрические свойства должны находиться в зависимости от движения материи и действующих сил....		Рабочая программа элективного курса по географии «Роль географии в познании мира» Рабочая программа элективного курса «Роль географии в познании мира» предназначена для учащихся 10-11 классов общеобразовательных...
	Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ		Рабочая программа элективного курса «Содержание и языковой анализ текста» Рабочая программа элективного курса «Содержание и языковой анализ текста» для 9 класса является авторской. Программа составлена на...