Методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий
Скачать 1.09 Mb.
|
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики
к изучению дисциплины и варианты заданий для контрольных работ
специальностей 160901, 160903, 160905 заочного обучения
Рецензент доц. кафедры высшей математики к.ф.м.н. Дементьев Ю.И. В.С. Козлова, Г.Н. Радковский, А.А. Савченко, В.А. Ухова. Математика. Пособие к изучению дисциплины и варианты заданий для контрольных работ. – М.: МГТУ ГА, 2008.- 48 с. Данное пособие издаётся в соответствии с учебной программой для студентов второго курса специальности 160901, 160903, 160905 заочного обучения. Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры высшей математики 30.08.2007 г. и методического совета г.
Пособие содержит рабочую программу по высшей математике, разбитую на разделы, которые изучают на втором курсе, список рекомендуемой литературы, методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий. На втором курсе студенты должны изучить следующие разделы курса высшей математики:
Указанные разделы определяют содержание трёх контрольных работ (№5, №6, №7), которые нужно выполнить на втором курсе. Каждый студент должен решить задачи своего варианта. Номер варианта совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента.
1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Частное и общее решения. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. 3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 4. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Структура общего решения. 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. 2. Числовые ряды 6. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 7. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 3. Функциональные ряды 9. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. 10. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближённым вычислениям. 4. Ряды Фурье 11. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости функции в ряд Фурье. 5. Теория вероятностей 12. Случайные события. Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Классическое и статистическое определение вероятности. 13. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 14. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. 15. Определение случайной величины. Функция распределения и её свойства. Непрерывные и дискретные случайные величины. Примеры распределений: биномиальное, пуассоновское, нормальное, равномерное, показательное. 16. Числовые характеристики случайных величин. Их свойства. 17. Законы распределения и числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции. 18. Закон больших чисел. 6. Математическая статистика 19. Выборка и способы её записи. Графическое представление выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещённости оценок. Доверительные интервалы. 20. Статистическая проверка гипотез. Литература
Следующие пособия, изданные кафедрой высшей математики МГТУ ГА, помогут Вам выполнить контрольные работы:
Методические указания к выполнению контрольной работы №5 «Дифференциальные уравнения» 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнение, в котором содержится независимая переменная, искомая функция и её производные или дифференциалы, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: (уравнение первого порядка в неявной форме), или ( уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной), или (дифференциальная форма). Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение получается тождество. Решение дифференциального уравнения называется общим решением, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка имеет вид , оно зависит от одной произвольной постоянной С и является решением уравнения при любом допустимом С. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, получаемое из общего решения при каком – либо определённом значении произвольной постоянной С. Соотношение вида Φ (x, y, C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка. Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом дифференциального уравнения. Задача нахождения частного решения по начальным условиям называется задачей Коши. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ставится следующим образом: Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию , где заданные значения независимой переменной x и искомой функции y. График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Графиком общего решения является семейство интегральных кривых. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2.1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде: или . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только x, а в другую только y и затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее x и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Пример1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выделить интегральную кривую, проходящую через точку М (1,0). Решение. Разделим переменные: . Интегрируем: , получаем , или, обозначив 2 через , будем иметь - общий интеграл. Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиуса С. Для решения задачи Коши подставим в общий интеграл начальные условия : ,откуда , а тогда искомое частное решение (частный интеграл)- окружность с центром в начале координат радиуса 1. Это интегральная кривая, проходящая через точку М (1,0). 2.2.ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Однородные уравнения могут быть записаны в виде: . Для решения однородного дифференциального уравнения применяется подстановка или , где u – функция от x, подлежащая определению; при этом . Пример 2. Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения: . Решение. Разделив обе части уравнения на dx, приведём его к виду или . Применив подстановку , найдём: . Разделяем переменные и интегрируем: ; . Учитывая, что , получим: . Это – общий интеграл. Кроме того, – интеграл данного уравнения. Ответ: ; . 2.3 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Общий вид линейного уравнения . Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций. Полагаем y=u(x)v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные функции от x, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя в уравнение , после преобразования получаем . (*) Определяем из условия , выбирая в качестве одно из частных решений этого уравнения. Затем из уравнения (*) находим функцию u(x, С) и общее решение линейного уравнения y=u(x, С)v(x). Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Ищем общее решение уравнения в виде , тогда и данное уравнение примет вид или . (**) Полагаем , откуда , . Интегрируя последнее уравнение, получаем v=sin x. Подставляя v=sin x в уравнение (**), получим уравнение относительно u(x): . Разделяя переменные, находим или . Интегрируя это уравнение, получаем u= - ctg x +C. Итак, общее решение заданного уравнения имеет вид y=u v= =( - ctg x+C) sin x= - cos x+C sin x. Ответ: y= - cos x+C sin x. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков называются дифференциальными уравнениями высших порядков. Рассмотрим эти уравнения на примере уравнений второго порядка. Общий вид уравнения второго порядка или в виде, разрешённом относительно старшей производной, . Общее решение (общий интеграл) этого уравнения имеет вид ( ). Задача Коши для уравнения второго порядка: найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее начальным условиям . Подставляя начальные условия в общее решение, получим систему уравнений для определения значений произвольных постоянных . Если затем найденные значения произвольных постоянных подставить в общее решение, получим искомое частное решение. 3.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка. А) Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции, то есть уравнение вида , с помощью подстановки , преобразуется в уравнение первого порядка . Б) Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной x, то есть уравнение вида , с помощью подстановки сводится к уравнению первого порядка . Пример 4. Решить дифференциальные уравнения А) ; Б) . Решение. А) Данное уравнение не содержит искомой функции y. Положим , тогда и уравнение примет вид . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: , откуда получаем , то есть или . Разделяя переменные в последнем уравнении, получим . Интегрируя, находим общее решение . Решая уравнение, мы делили его на p, поэтому могли потерять решение , то есть . Но это решение может быть включено в общее решение, если считать, что может принимать значение 0. Ответ: . Б) Это уравнение не содержит независимой переменной x. Положим , тогда , и данное уравнение преобразуется к виду или (где ). Интегрируя полученное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, находим: , или . Заменяя p на , имеем: или , откуда находим общий интеграл данного уравнения: . При получаем особое решение . Ответ: ; . 3.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, где p и q действительные числа. При f(x)=0 уравнение (1) называется однородным. Общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого – либо частного решения данного неоднородного уравнения, то есть . (2) Однородные линейные уравнения Однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение . (3) Общее решение этого уравнения имеет вид , где - линейно независимые частные решения этого уравнения, а - произвольные постоянные. Для отыскания общего решения уравнения (3) составляется алгебраическое уравнение , (4) которое называется характеристическим уравнением. Это алгебраическое уравнение получается из уравнения (3) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями k, причём сама функция y заменяется единицей. В зависимости от вида корней характеристического уравнения общее решение уравнения (3) будет иметь разный вид. Возможны три случая: 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то частными решениями уравнения (3) будут функции . Общее решение уравнения (3) имеет вид . 2. Если действительные и равные, то . Общее решение уравнения (3) имеет вид . 3. Если корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые числа , тогда частными решениями уравнения (3) будут . Общее решение уравнения (3) имеет вид . Неоднородные линейные уравнения Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид (1). Общее решение этого уравнения задаётся формулой (2), в которой способ получения функции уже описан. Теперь задача сводится к отысканию частного решения неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование уравнения (1) можно осуществить методом вариации произвольных постоянных. Если же правая часть уравнения (1) имеет специальный вид, то находят методом неопределённых коэффициентов. Укажем вид частного решения для некоторых частных случаев правой части f(x). 1. Пусть , где - некоторый многочлен степени n, тогда а) если корни характеристического уравнения , то частное решение ищется в виде . Здесь - многочлен с неопределёнными коэффициентами той же степени, что и многочлен . б) если один из корней характеристического уравнения равен нулю, например, , то . в) если оба корня характеристического уравнения равны нулю , то . Для того чтобы определить коэффициенты многочлена , частное решение подставляют в дифференциальное уравнение (1) и уравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. 2. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид . Тогда а) если а не является корнем характеристического уравнения, то есть , то частное решение ищется в виде . б) если один из корней характеристического уравнения равен а, например, , то . в) если оба корня характеристического уравнения равны а, то есть , то . 3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид , где - многочлены степени n и m. Тогда а) если корни характеристического уравнения не равны , то частное решение ищется в виде , где - многочлены s степени с неопределёнными коэффициентами (s наибольшая из степеней n и m ). б) если корни характеристического уравнения , то частное решение имеет вид . Пример 5. Найти частное решение уравнения, , удовлетворяющее начальным условиям . Решение. Решим соответствующее однородное уравнение . Для его решения составим характеристическое уравнение . Его корни , следовательно, . Частное решение исходного уравнения согласно П. 3. а) ищем в виде , так как . Находим , . Подставляя в исходное уравнение, получим . Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений: - 3А - 15В=0, 15А - 3В= - 78. Решая систему, найдём: А= -5, В=1, то есть частное решение имеет вид . Значит, общее решение заданного уравнения будет иметь вид = . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, найдём производную = . Подставим начальные условия в общее решение и в его производную: - 5=0 = +3=0. Откуда получаем . Таким образом, искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получится из общего решения при найденных значениях произвольных постоянных: Ответ: = . 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих независимую переменную, искомые функции и их производные. Например, в системе двух дифференциальных уравнений (1) искомые функции; - производные этих функций по независимой переменной t, t – независимая переменная. Решить систему – значит найти функции , удовлетворяющие каждому уравнению системы. Система (1) называется линейной неоднородной системой первого порядка. Если в ней , то система называется линейной однородной системой первого порядка. Если каждое уравнение системы содержит только одну производную, искомые функции и независимую переменную, то такая система называется нормальной. Она имеет вид: (2) Решение системы (2) сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере, как это делается. Пример 6. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям : (3) Решение. Сначала систему (3) приведём к виду (2), т. е. к нормальной форме. Для этого нужно поочерёдно исключить из уравнений системы и . Умножив обе части 1-го уравнения на (–1) и сложив со вторым, исключим . Затем, умножая 1-ое уравнение на 2 и прибавляя ко 2-му, исключим . Получим: или (4) Выразим далее, например, y из 2-го уравнения системы (4): , (5) отсюда . Подставим в 1-ое уравнение системы, будем иметь: . Решая это уравнение, получим: . Тем самым, одна из неизвестных функций найдена. Продифференцируем её: . Затем подставим в (5), откуда найдём y: . Таким образом, пара функций , есть общее решение данной системы. Учитывая начальные условия, подставим в общее решение , , . Получим систему алгебраических уравнений для определения , : , откуда , . Таким образом, искомое частное решение: , . 5. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Будем называть функцию действительной переменной t оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: а) и её производная на любом конечном интервале оси t имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода; б) = 0 при t < 0; в) существуют такие положительные числа M и , что для всех t выполняется неравенство: . Изображением функции-оригинала будем называть функцию комплексного переменного , определяемую интегралом . Операцию перехода от оригинала к изображению называют преобразованием Лапласа функции и обозначают символически = или , или = L{ }. Если функция является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится при . В дальнейшем при записи функции–оригинала будем иметь в виду, что эта запись соответствует t , а при t<0 функция равна нулю. Необходимо выучить следующие основные формулы соответствия: 1) , 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Пусть = , , . Тогда ТеоремаОригиналИзображение1) линейности A, B=const 2) подобия 3) смещения 4) запаздывания – положит. число 5)дифференцирова- ние изображения 6)дифференцирова-ние оригинала 7)дифференцирова-ние оригинала Пример 7. Найти изображение функции . Решение. Так как , то по теореме смещения . Кроме того, , . Используя теорему линейности, получаем: . Пример 8. Найти оригинал по его изображению . Решение. Разложив рациональную дробь F(p) на простейшие дроби и применяя затем формулы 3), 5), теорему линейности и теорему смещения, найдём Ответ: . Пример 9. Найти частное решение системы из примера 6 методом операционного исчисления. Решение. Так же, как описано в решении примера 6, приводим систему к нормальному виду: Будем предполагать, что искомые функции x(t) , y(t) и их производные являются оригиналами. Пусть x(t)=X(p); y(t)=Y(p). По теореме о дифференцировании оригинала будем иметь . Пользуясь свойством линейности изображений, перейдём в уравнениях системы к изображениям: . Это алгебраическая система линейных уравнений, из которой найдём X и Y: , , , или , . Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомое частное решение: ; . Ответ: ; . Методические указания к выполнению контрольной работы №6 по теме «Ряды» 1.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел Тогда выражение (1) называется числовым рядом, а сами числа членами ряда. Чтобы задать ряд, надо задать формулу n-го (общего) члена ряда . Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается . (2) 2. Если существует предел S бесконечной последовательности чисел , то есть , (3) то этот предел называется суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае называют сходящимся. Если же предел не существует, то ряд (1) называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если , то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму. 3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии (4) есть сходящийся числовой ряд, если |q|<1. Сумма ряда (4) равна в этом случае . В случае ряд (4) расходится. 4. Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при , то есть . 5. Обратное утверждение неверно. Из того, что , сходимость ряда (1) не следует. Для сходимости ряда общий член ряда должен не просто стремиться к нулю, но делать это достаточно быстро. Например, ряд , (5) называемый гармоническим, расходится, в то время как . 6. Если для ряда (1) , то ряд (1) расходится. (Это следствие из необходимого признака сходимости). 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ Рассмотрим числовые ряды с положительными членами: (6) (7) 7. Первый признак сравнения. Если, начиная с некоторого N для всех выполняется неравенство , то 1) ряд (6) сходится, если сходится ряд (7). 2) ряд (7) расходится, если расходится ряд (6). 8. Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (6) и (7) или оба сходятся или оба расходятся. При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто сравнивают или с бесконечной геометрической прогрессией или с гармоническим рядом. Можно сравнивать и с другими известными рядами. 9. Признак Даламбера. Пусть для ряда (6) с положительными членами существует конечный предел . Тогда: 1) ряд (6) сходится, если q<1; 2) ряд (6) расходится, если q>1; 3) в случае q=1 ряд (6) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. 10. Признак Коши. Пусть для ряда (6) с положительными членами существует конечный предел Тогда: 1) ряд (6) сходится, если q<1; 2) ряд (6) расходится, если q>1; 3) в случае q=1 ряд (6) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым. 11. Интегральный признак . Если f(x) непрерывная невозрастающая функция при x>0, причём , то ряд (6) сходится или расходится одновременно с интегралом . Замечание 1. Нижним пределом интегрирования может быть не 1, а любое другое положительное число α >1. Замечание 2. С помощью интегрального признака легко доказывается, что ряд , называемый рядом Дирихле, сходится при p>1 и расходится при p≤1. Примеры Выяснить, сходятся или расходятся следующие ряды: а) , б) , в) . Решение. а) Сравним данный ряд с рядом , который является рядом Дирихле при p=3/2>1. Такой ряд сходится (см. Замечание 2). Применяем второй признак сравнения и используем первый замечательный предел sin α ~α при α→0: . По второму признаку сравнения из сходимости ряда Дирихле следует сходимость данного ряда. б) Ряд исследуем с помощью интегрального признака. Составим функцию и вычислим интеграл Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится. в) Ряд исследуем с помощью признака Даламбера. . Применяем признак Даламбера: . Получили q=0<1. По признаку Даламбера ряд сходится. 3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Числовой ряд, содержащий как положительные так и отрицательные члены, называется знакопеременным. 12. Пусть ряд (8) является знакопеременным. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (9) Если ряд (9) сходится, то и ряд (8) тоже сходится. Ряд (8) при этом называется абсолютно сходящимся. 13. Если ряд (9) расходится, то из этого не следует, что и (8) расходится, ряд (8) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Возможен случай, когда ряд (8) сходится, а (9) расходится. Тогда ряд (8) называется условно (неабсолютно) сходящимся. 14. Знакопеременный ряд вида называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, начиная с некоторого номера N, 1)монотонно убывают по абсолютной величине и 2) стремятся к нулю , то ряд сходится, сумма его положительна и не превышает первого члена ряда. 15. При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой его первых n членов ( ) абсолютная величина совершённой ошибки не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда: . Пример. Ряд , называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время, ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница - условно (неабсолютно) сходящийся ряд. 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 16. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от x. Совокупность всех значений х, при которых этот ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функционального ряда S(x) есть функция от х. 17. Степенным рядом называется функциональный ряд вида , (1) где (n = 0, 1, …) – числа, называемые коэффициентами ряда. При a = 0 ряд принимает вид (2) 18. Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число R (0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости ряда (2). Радиус сходимости может быть вычислен по формулам (3) или (4) Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = –R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно. 19. Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале (a–R; a+R). 20. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Пример. Найти интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда в концах интервала: . Решение. Применим формулу (3) для нахождения радиуса сходимости. При этом . = . Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри интервала и расходится вне этого интервала. Исследуем точки и : При ряд принимает вид = . Это гармонический ряд, известно, что он расходится. При ряд принимает вид = . Это ряд Лейбница, он сходится условно (см. 15.). Следовательно, область сходимости данного ряда . 5. РЯД ТЕЙЛОРА 21. Формула Тейлора. Пусть функция имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно, а точка a находится внутри этого отрезка. Тогда для любого x из этого отрезка имеет место формула Тейлора: , (1) где остаточный член может быть записан в виде (2) (форма Лагранжа), причём c лежит между a и x. 22. Если функция имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку x = a, и выполняется условие (3) для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда: (4) Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. Говорят, что функция разложена в ряд Тейлора на этом отрезке. В случае a = 0 ряд Тейлора принимает вид (5) Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции. 23. При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций: (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) В скобках указаны промежутки, на которых верны указанные разложения. Пример 1. Вычислить интеграл с точностью . Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение (6) подставим ( ) вместо x: . Этот ряд можно интегрировать в любых конечных пределах, т. е. = = = = Полученный числовой ряд есть ряд знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Следовательно, чтобы вычислить интеграл с точностью , достаточно взять всего два члена ряда, при этом ошибка будет меньше 3-го члена: . Таким образом, с требуемой точностью ≈ = ≈ 0,2448. Пример 2. Найти первые 4 члена разложения в ряд решения уравнения , удовлетворяющее начальному условию y=1/2 при x=0. Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена . Найдём выражения для трёх последовательных производных, дифференцируя данное уравнение: , , . Вычислим значения этих производных при x=0, принимая во внимание начальное условие: , , . Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем ответ . 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 24. Рядом Фурье функции f(x), определённой на отрезке [-l, l], называется ряд , (1) коэффициенты которого определяются по формулам: ; ; ; (n=1,2,3,……..) (2) При этом пишут (3) В формуле (3) вместо знака соответствия ~ ставят знак равенства, если функция f(x) удовлетворяет определённым условиям (см. 25). 25. Теорема Дирихле. Если функция f(x) на отрезке [-l, l] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то её ряд Фурье сходится во всех точках отрезка [-l, l]. Если S(x) – сумма ряда Фурье функции f(x), то во всех точках непрерывности этой функции S(x)=f(x), а во всех точках разрыва S(x)= . 26. Нетрудно видеть, что сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом 2l. Пример. Разложить в ряд Фурье в интервале (-π‚π) функцию . Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на отрезке [-π‚π]. Формула (3) при l=π принимает вид , где коэффициенты вычисляются по формулам (2) при l=π: = = . = =0, т.к. sin πx=0, cos πx=cos (-πx). Теперь вычислим коэффициенты = = = = = = = . Ответ: . Методические указания к выполнению контрольной работы №7 по теме теория вероятностей и математическая статистика. В учебнике [2] списка литературы содержатся необходимые указания по изучению темы «Теория вероятностей и математическая статистика». См. также подробное решение примерного варианта контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 Дифференциальные уравнения Внимание Студенты специальности 160903 (М) должны выполнить задания 1, 2, 3, 4, 5. Студенты специальности 160901 (РС) и 160905 (АК) должны выполнить задания 1, 2, 3, 4, 5, 6. Замечание. Перед решением задач 1-6 контрольной работы №5 полезно воспользоваться теоретическими и практическими рекомендациями, приведенными в книге [1]. Задание 1. стр.330-332; Задание 2. стр.332-337; Задание 3. стр.346-349; Задание 4. стр.354-362; Задание 5. стр. 367-369 (спец. М) и стр. 594-598 (спец. РС и АК) Задание 6. стр. 572-590 (спец. РС и АК) ЗАДАНИЕ 1 Решить дифференциальное уравнение, построить интегральные кривые, выделить на рисунке кривую, проходящую через точку М (0; -1), записать уравнение этой кривой. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 ЗАДАНИЕ 2 Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциальных уравнений а) и б): 2.1 а) б) 2.2 а) б) 2.3 а) б) 2.4 а) б) 2.5 а) б) 2.6 а) б) 2.7 а) б) 2.8 а) б) 2.9 а) б) 2.10 а) б) ЗАДАНИЕ 3 Найти общее решение дифференциального уравнения: 3.1 а) б) 3.2 а) б) 3.3 а) б) 3.4 а) б) 3.5 а) б) 3.6 а) б) 3.7 а) б) 3.8 а) б) 3.9 а) б) 3.10 а) б) ЗАДАНИЕ 4 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . 4.1 4.2 , 4.3 , 4.4 , 4.5 , 4.6 , 4.7 , 4.8 , 4.9 , 4.10 . ЗАДАНИЕ 5 Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Внимание. Студентам специальности 160903 (М) решить систему методом исключения. Студентам специальностей 160901 (РС) и 160905 (АК) решить систему методом операционного исчисления. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 ЗАДАНИЕ 6 Задание а): Найти изображение по данному оригиналу. Задание б): Найти оригинал по данному изображению. 7.1 а) б) 7.2 а) б) 7.3 а) б) 7.4 а) б) 7.5 а) б) 7.6 а) б) 7.7 а) б) 7.8 а) б) 7.9 а) б) 7.10 а) б) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6 Ряды ЗАДАНИЕ 1 Исследовать сходимость числового ряда . 1.1 a) б) 1.2 a) б) 1.3 а) б) 1.4 а) б) 1.5 а) б) 1.6 а) б) 1.7 а) б) 1.8 а) б) 1.9 а) б) 1.10 а) б) ЗАДАНИЕ 2 Найти интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость на концах интервала. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 ЗАДАНИЕ 3 Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и затем интегрируя его почленно. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 . 3.7 3.8 3.9 3.10 ЗАДАНИЕ 4 Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 ЗАДАНИЕ 5 Разложить данную функцию в ряд Фурье в указанном интервале (a; b). 5.1 в интервале (-1; 1). 5.2 в интервале (-2; 2). 5.3 в интервале (-3; 3). 5.4 в интервале (-π~π). 5.5 в интервале (-1; 1). 5.6 в интервале (-π~π). 5.7 в интервале (-π~π). 5.8 в интервале (-π~π). 5.9 в интервале (-2~2). 5.10 в интервале (-π~π). |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Методические указания по выполненю контрольных работ выполнение контрольных... Тематика контрольных работ и рефератов для студентов первого курса заочного отделения факультета мировой экономики и торговли |  | Методические указания по выполнению контрольных работ Направление... В методических указаниях излагаются цель и задачи выполнения контрольных работ, дана тематика с примерным кругом вопросов по всем... |
| Методические указания по изучению курса и выполнению контрольных работ Для студентов зф Автоматизированные системы бронирования и продажи авиационных услуг: Методические указания по изучению курса и выполнению контрольных... | | Методические указания по изучению курса и выполнению контрольных... География воздушного транспорта : Методические указания по изучению курса и выполнению контрольных работ/ Университет га. С. – Петербург,... |
| Методические указания по темам курса для очной и заочной форм обучения... Под общей редакцией заведующего кафедрой «Общей экономической теории» д э н., проф. Иохина В. Я | | Методические указания и тематика контрольных работ для студентов... Культурология: Методические указания и тематика контрольных работ / Сост. Н. Д. Михайлова. Новосиб гос аграр ун-т. Новосибирск, 2007.... |
| Методические указания по подготовке контрольных работ с. 37 Тематика контрольных работ с. 39 Программа предназначена для студентов второго курса заочного отделения исторического факультета кгу и призвана познакомить их с особой... | | В россии XIX начала XX веков методические указания, планы семинарских... Методические указания, планы семинарских занятий, темы контрольных и курсовых работ |
| Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине “ Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине “Основы внешнеэкономической деятельности” для студентов экономических... | | Методические рекомендации по написанию и оформлению контрольных работ... «процессуальные особенности рассмотрения и разрешения отдельных категорий гражданских дел» |
| Тематика контрольных работ и методические указания по их выполнению Перед изучением каждой темы рекомендуется сначала внимательно ознакомиться с выделенными в Программе основополагающими вопросами.... | | Вопросы к экзамену 5 Задания для контрольных работ 6 Методические... Дисциплина «Методы оптимальных решений» является обязательной частью цикла математических и естественнонаучных дисциплин подготовки... |
| Литература; русский язык Контрольная работа по иностранному языку (английскому) Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий и оформлению контрольных работ | | Методические указания по выполнению контрольных работ №1,2 Для самостоятельной... Английский язык. Методические указания по выполнению контрольных работ №1, 2 для самостоятельной работы студентов-заочников первого... |
| Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных... Педагогика: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ /Университет га. С. – Петербург, 2012 | | Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Правовые основы российского государства» для студентов по специальности... |
