Методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий

ЗАДАНИЕ 4

• ЗАДАНИЕ 5

1. 
   Проверка изделий на высшее качество – это независимые испытания с вероятностью успеха p =0,8 (80% всех изделий имеют высшее качество). Поэтому для вычисления вероятностей событий A, B и C можно применить формулу Бернулли. Обозначим S_n число успешных испытаний (количество изделий высшего качества) в серии из n независимых испытаний. Вероятность p{S_n = k} того, что среди n изделий равно k имеют высшее качество, обозначают P_n(k) и вычисляют по формуле
   p{S_n = k} = - это и есть формула Бернулли.
   Следовательно:
   ; .
   
2. 
   Использование формулы Бернулли для вычисления вероятности p{380  S₅₀₀  410} очень трудоемко. В этом случае применяют приближенную формулу Муавра-Лапласа (интегральную):
   p{k₁  S_n  k₂}  ,
   где - функция Лапласа,
   Для функции Лапласа составлены таблицы значений [2; Приложение 2]. Пользуясь таблицей, необходимо учитывать, что:
   а) ₀(x) нечетная функция, т.е. ;
   в) ₀(x) возрастает;
   c)
   d) при x  4 можно считать, что
   Формулу Муавра-Лапласа применяют, если выполнено неравенство npq  10.
   В нашей задаче n = 500, p=0,8, q = 1-p = 0,2 и npq = 5000,80,2 = 80.
   Следовательно, , и p{380  S₅₀₀  410}  .
   
3. 
   В следующем вопросе речь идет о бракованных изделиях, вероятность появления которых очень мала и равна p=0,002. Выражение npq = 5000,0020,998= 0,998 < 10 и применение формулы Муавра-Лапласа не обосновано. В этой ситуации для вычисления вероятностей Бернулли используют формулы Пуассона, а именно
   где a= np, m= 0, 1, 2….
   В нашем случае a = 5000,002 = 1 и