Методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий

ЗАДАНИЕ 8

1. 
   X\Y01210,150,30,2520,050,10,15
   Надо знать: [2; гл. 3.1; 3.5 – 3.8; примеры 3.6 и 3.8].
   

1. 
   XY0124P0,20,30,350,15
   

1. 
   Построить гистограмму и полигон относительных частот [2; пример 7.6].
   
2. 
   Вычислить численные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение [2; гл.7.5, пример 7.7].
   
3. 
   Предполагая, что исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой) [2; гл. 8.1].
   
4. 
   Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости =0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с.в. X [2; гл. 8.6, пример 8.8].
   
5. 
   Найти с надежностью (доверительной вероятностью) =0,95 интервальную оценку математического ожидания случайной величины X [2; гл. 8.3, 8.4]
   

1. 
   Объем выборки, по которой построен статистический ряд, равен n = 4+15+38+58+50+26+8+1= 200 - получают суммированием частот из второй строки таблицы.
   Относительные частоты вычисляем по формуле Внесем полученные данные в таблицу (третья строка Таблицы).
   

1. 
   Параметрами нормальной случайной величины являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Оценки для них - это выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение Таким образом, если исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, то это закон с параметрами a = 21 и  = 5,4 т.е. X~N(21; 5.4). В этом случае плотность X имеет вид Для построения графика плотности (см. задание 8) найдем значения f(x) в точках и x=21 – точка максимума f(x). При вычислении воспользуемся таблицей значений функции [2, Приложение 1]. Очевидно, что где . В итоге получаем (воспользовались четностью функции (x)
   Аналогично находим остальные значения:
   
   
   
   
   
   
   
   
   Все вычисления проведены с точностью до третьего знака после запятой. Нанесем полученные точки на чертеж с гистограммой и соединим их гладкой кривой. Получили график плотности X (график выравнивающей кривой). Видно, что график выравнивающей кривой хорошо согласуются с гистограммой, что подтверждает предположение о нормальном законе распределения X.
   

1. 
   
   [x_i, x_i+1)[6; 14)[14; 18)[18; 22)[22; 26)[26; 30)[30; 38)
   
   n_i19385850269
   Проверим гипотезу о нормальном распределении X по критерию Пирсона [2, гл. 8.6, пример 8.8]. Вернемся к Таблице из пункта (1) решения. Частоты (эмпирические) в крайних интервалах таблицы меньше 5, поэтому крайние интервалы надо объединить с соседними (см. [2, стр. 250]). Получим ряд распределения:
   
   Всего осталось m=6 маленьких интервалов.
   Для каждого интервала найдем теоретические частоты (сколько наблюдений должно было бы попасть в i-ый интервал, если верно, что случайная величина X ~ N (21, 5,4)).
   Сначала вычисляем вероятности p_i попадания случайной величины X на интервал [x_i; x_i+1]. Так как X ~ N(21; 5,4), то , где ₀(x) – функция Лапласа и ее значения представлены в Приложении 2 учебника (см. стр. 101).
   Для первого и последнего интервалов вероятности вычисляют иначе: Оставшиеся вероятности равны:
   После чего находим теоретические частоты по формуле Полученные результаты сведем в таблицу:
   
   
   

1. 
   
   [x_i, x_i+1)(-; 14)[14; 18)[18; 22)[22; 26)[26; 30)[30; )
   
   n_i19385850269
   
   n_i’19,3638,1857,5449,6825,749,5
   Применение критерия включает следующие шаги.
   Вычисляем наблюдаемое значение величины²: 200,04-200=0.04.
   Находим число степеней свободы по формуле k = m–r-1, где m=6 – число интервалов в уточненной таблице распределения, а r=2 – количество оцениваемых параметров распределения X – у нас это и .
   Получаем k=6–2–1=3.
   По заданному уровню значимости =0,05 и k=3 находим в Таблице 3 [2, Приложение 3] критическое значение .
   Сравниваем наблюдаемое и критическое значение величины ². У нас Это означает, что гипотеза не противоречит опытным данным. Следовательно, нет основания отвергать проверяемую гипотезу, и мы принимаем гипотезу о нормальном распределении случайной величины X.
   
2. 
   После пункта (4) мы вправе считать, что наша выборка произведена из случайной величины X, распределенной по нормальному закону, параметры которого (M[X] и неизвестны.
   В этом случае доверительный интервал для математического ожидания имеет вид [2, гл.8.4, формула (8.9)]
   , где - выборочное среднее, - исправленное среднее квадратическое отклонение, t_ - критическая точка (квантиль) распределения Стьюдента [2, Приложение 4], найденное по уровню значимости  = 1- = 1-0,95=0,5 и числу степеней свободы k=n-1=200-1=199.
   В нашем случае:
   Следовательно, доверительный интервал для математического ожидания M[X] равен (21-0,76; 21+0,76) = (20,24; 21,76).
   Это означает, что с надежностью (доверительной вероятностью) =0,95 можно утверждать, что M[X] принадлежит интервалу (20,24; 21,76).
   Замечание 1. Критическую точку t_=1,98 из Приложении 4 мы взяли для k=120. Видно, что для больших k критические значения практически не изменяются (изменяются от 1,98 до 1,96).
   Замечание 2. При больших n (n>30) доверительный интервал можно искать по более простой формуле [2, гл.8.4, формула 8.5]. В этой формуле  заменяем оценкой S, а критическую точку находим из условия . Получаем t_=1,96 и интервал (20,25; 21,75), который практически не отличается от интервала, найденного по точной формуле.