Методические указания по темам курса, задачи контрольных работ (десять вариантов) и примеры решения контрольных заданий

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №6

1. 
   Исследовать сходимость числового ряда:
   

1. 
   Найти интервала сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость на концах интервала.
   
2. 
   Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и затем интегрируя его почленно.
   
3. 
   Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию
   
4. 
   Разложить данную функцию в ряд Фурье в промежутке ( : ).
   

• ПРИВЕДЕМ РЕШЕНИЕ ЭТИХ ЗАДАЧ

• ЗАДАНИЕ 1

• ЗАДАНИЕ 2

• ЗАДАНИЕ 3

1. 
   В коробке лежат девять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 9. Последовательно наугад вынимают две карточки и кладут их рядом – получают двухзначное число. Например, вынули карточки 1 и 3 и получили число 13 (вынули 3 и 1 – получили 31). Найдите вероятность события А.
   
2. 
   Из колоды, содержащей 36 карт (все масти от шестерки до туза), наугад вынимают 5 карт. Используя формулы комбинаторики запишите и вычислите вероятности событий А и В.
   
3. 
   В урне лежат шары двух цветов – а черных и b белых шара. Наугад вынимают два шара. Используя формулы вероятности суммы и произведения событий, найдите вероятности событий: А – «вынули два белых шара», В - «вынули хотя бы один белый шар», С - «вынули ровно один белый шар».
   
4. 
   Из шести вероятностей событий: p(A), p(B), p(A|B), p(B|A), p(A+B) и p(AB) заданы три. Найдите три оставшиеся вероятности и определите, зависимы ли события А и В.
   
5. 
   В большой партии изделий r% изделий высшего качества и b% бракованных.
   Наугад отобрали m изделий. Найдите вероятности событий: А – «среди отобранных изделий ровно два высшего качества», В – «не более двух высшего качества», С – «хотя бы одно изделие высшего качества».
   Магазин взял на реализацию 500 изделий.
   Найдите вероятности событий: количество изделий высшего качества лежит в промежутке [5r –20, 5r +10]; среди этих изделий не более двух бракованных. Обоснуйте применение формул Муавра-Лапласа и Пуассона.
   
6. 
   В коробке лежат купюры трех номиналов: K купюр по 1$, M - 5$ и N - 10$. Наугад вынимают две купюры. Случайная величина S – это вынутая сумма. Найдите ряд распределения этой случайной величины, постройте график функции распределения и найдите математическое ожидание и дисперсию S.
   
7. 
   Случайная величины X задана функцией распределения F(x). Найдите плотность f(x). Постройте графики функции распределения и плотности. Найдите математическое ожидание M и дисперсию D случайной величины X. Найдите вероятность события {X > M}.
   
8. 
   X ~N (m, ) – нормальная с.в. с параметрами m и . Найдите характеристики и плотность распределения с.в. Y = aX+b, постройте эскиз графика плотности.
   
9. 
   Задано совместное распределение двух случайных величин Х и Y. Найдите:
   
10. 
    вероятность события X>Y;
    
11. 
    распределение компонент X и Y и условный закон распределения с.в. X при условии, что Y=0;
    
12. 
    корреляционный момент K_XY и коэффициент корреляции r_XY.
    
13. 
    Данные наблюдений с.в. X представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы наблюдавшихся значений с.в. X, вторая – соответствующие им частоты. Требуется:
    
14. 
    Построить гистограмму и полигон относительных частот.
    
15. 
    Вычислить численные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.
    
16. 
    Предполагая, что исследуемая с.в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой).
    
17. 
    Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости =0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с.в. X.
    
18. 
    Найти с надежностью (доверительной вероятностью) =0,95 интервальную оценку параметра a=M[X] случайной величины X.
    

1. 
   ВАРИАНТ 1А – «Число является полным квадратом»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт две пики и три черви», В – «Среди этих карт нет тузов».
   
3. 
   а = 5, b = 4.
   
4. 
   p(A+B) = 0,6; p(A) = 0,5; p(B|A) = 0,7
   
5. 
   r =40% (=0,4), b = 0,2% (=0,002), m = 5.
   
6. 
   K = 1, M = 3 и N = 4.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и  = 1.
   Y = -2X –1
   

1. 
   
   X\Y012
   
   -20,20,150,35
   
   20,10,050,15
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(5; 12)(12; 19)(19; 26)(26; 33)(33; 40)(40; 47)(47; 54)(54; 61)
   
   Частоты2927495537165
   ВАРИАНТ 2А – «Число делится на пять»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт ровно два короля», В – «Все карты черной масти».
   
3. 
   а = 4, b = 6.
   
4. 
   p(A) = 0,3; p(AB) = 0,1; p(A+B) = 0,8
   
5. 
   r =50% (=0,5), b = 0,4% (=0,004), m = 4.
   
6. 
   K = 2, M = 5 и N = 1.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -2 и  = 2.
   Y = 2X +1
   

1. 
   
   X\Y-112
   
   00,250,050,1
   
   20,150,150,3
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(3; 8)(8; 13)(13; 18)(18; 23)(23; 28)(28; 33)(33; 38)(38; 43)
   
   Частоты1420536641132
   ВАРИАНТ 3А – «Число меньше 45»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт нет ни дам ни королей», В – «Среди этих карт ровно три семерки».
   
3. 
   а = 2, b = 7.
   
4. 
   p(A+B) = 0,6; p(AB) = 0,3; p(B|A) = 0,6
   
5. 
   r =60% (=0,6), b = 0,3% (=0,003), m = 6.
   
6. 
   K = 4, M = 1 и N = 3.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = 1 и  = 0,5.
   Y = 2X –1
   

1. 
   
   X\Y-202
   
   10,30,250,15
   
   20,10,150,05
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(10; 20)(20; 30)(30; 40)(40; 50)(50; 60)(60; 70)(70; 80)(80; 90)
   
   Частоты132259703681
   ВАРИАНТ 4А –«Сумма цифр числа равна восьми»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт ровно две пики», В – «Нет карт черной масти».
   
3. 
   а = 3, b = 5.
   
4. 
   p(A) = 0,5; p(A+B) = 0,8; p(A/B) = 0,7
   
5. 
   r =70% (=0,7), b = 0,2% (=0,002), m = 4.
   
6. 
   K = 1, M = 6 и N = 3.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = 3 и  = 0,25.
   Y = 2X -5
   

1. 
   
   X\Y124
   
   20,050,10,15
   
   30,350,10,25
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(1; 5)(5; 9)(9; 13)(13; 17)(17; 21)(21; 25)(25; 29)(29; 33)
   
   Частоты1421506342154
   ВАРИАНТ 5А –«Число не содержит четных цифр»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт две пики и три карты красной масти», В – «Среди этих карт нет карт старше десятки».
   
3. 
   а = 6, b = 2.
   
4. 
   p(AB) = 0,4; p(A+B) = 0,7; p(B|A) = 0,8
   
5. 
   r =80% (=0,8), b = 0,2% (=0,002), m = 5.
   
6. 
   K = 6, M = 1 и N = 1.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и  = 2.
   Y = Ѕ X +3
   

1. 
   
   X\Y012
   
   -10,250,10,05
   
   20,050,40,15
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(2; 8)(8; 14)(14; 20)(20; 26)(26; 32)(32; 38)(38; 44)(44; 50)
   
   Частоты3830515624226
   ВАРИАНТ 6А –«Цифры числа различаются на единицу»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт два короля и три дамы», В – «Среди карт нет шестерок и семерок».
   
3. 
   а = 4, b = 7.
   
4. 
   p(A) = 0,6; p(A+B) = 0,9; p(A/B) = 0,4
   
5. 
   r =40% (=0,4), b = 0,2% (=0,002), m = 6.
   
6. 
   K = 3, M = 1 и N = 4.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -1 и  = 0,25.
   Y = -4X -3
   

1. 
   
   X\Y-112
   
   10,1 0,350,05
   
   30,10,150,25
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(5; 9)(9; 13)(13; 17)(17; 21)(21; 25)(25; 29)(29; 33)(33; 37)
   
   Частоты31233555331103
   ВАРИАНТ 7А –«Сумма цифр числа больше 12»
   
2. 
   А – «Все пять карт одной масти», В – «Среди этих карт есть хотя бы один туз».
   
3. 
   а = 5, b = 6.
   
4. 
   p(A) = 0,8; p(AB) = 0,5; p(A|B) = 0,8
   
5. 
   r =50% (=0,5), b = 0,2% (=0,002), m = 5.
   
6. 
   K = 1, M = 4 и N = 3.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -3 и  = 1.
   Y = 2X +4
   

1. 
   
   X\Y-2-11
   
   -10,150,20,35
   
   10,150,10,05
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(4; 7)(7; 10)(10; 13)(13; 16)(16; 19)(19; 22)(22; 25)(25; 28)
   
   Частоты4184359482151
   ВАРИАНТ 8А –«Одна из цифр числа равна единице»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт есть ровно три черви», В – «Среди карт нет шестерок».
   
3. 
   а = 7, b = 5.
   
4. 
   p(B) = 0,1; p(A+B) = 0,4; p(B/A) = 0,1
   
5. 
   r =60% (=0,6), b = 0,1% (=0,001), m = 5.
   
6. 
   K = 5, M = 2 и N = 1.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = 2 и  = 4.
   Y = -ј X + Ѕ
   

1. 
   
   X\Y135
   
   20,050,150,1
   
   40,350,250,1
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(20; 26)(26; 32)(32; 38)(38; 44)(44; 50)(50; 56)(56; 62)(62; 68)
   
   Частоты1420456044215
   ВАРИАНТ 9А –«Первая цифра числа больше второй»
   
2. 
   А – «Среди этих карт ровно один туз и нет шестерок», В – «Среди этих карт нет червей».
   
3. 
   а = 6, b = 4.
   
4. 
   p(A) = 0,4; p(AB) = 0,32; p(B) = 0,8
   
5. 
   r =70% (=0,7), b = 0,2% (=0,002), m = 6.
   
6. 
   K = 4, M = 1 и N = 2.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -2 и  = 0,6.
   Y = 3X +3
   

1. 
   
   X\Y-114
   
   10,30,150,05
   
   40,20,050,25
   
   
2. 
   

1. 
   
   Интервалы(3; 7)(7; 11)(11; 15)(15; 19)(19; 23)(23; 27)(27; 31)(31; 35)
   
   Частоты1525536239123
   ВАРИАНТ 10А – «Число делится на девять»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт ровно три туза», В – «Среди карт есть хотя бы одна шестерка».
   
3. 
   а = 3, b = 7
   
4. 
   p(AB) = 0,4; p(A+B) = 0,8; p(A/B) = 0,6
   
5. 
   r =55% (=0,55), b = 0,2% (=0,002), m = 5.
   
6. 
   K = 2, M = 1 и N = 5.
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -1 и  = 2.
   Y = 2 X + 3
   

1. 
   
   X\Y014
   
   20,10,050,25
   
   30,20,250,15
   
   
2. 
   

1. 
   А –«Первая цифра числа в два раза больше второй»
   
2. 
   А – «Среди вынутых карт нет семерок и восьмерок», В – «Ровно две карты младше восьмерки».
   
3. 
   а = 8, b = 4.
   
4. 
   p(A+B) = 0,8; p(AB) = 0,2; p(A|B) = 0,5
   
5. 
   r =80% (=0,8), b = 0,2% (=0,002), m = 6
   
6. 
   M = 6, N = 2 и K = 1
   
7. 
   
   
8. 
   - нормальная с.в. с параметрами m = -0,5 и  = 1
   Y = 2X –1
   
9. 
   
   

1. 
   X\Y-10110,150,30,2520,050,10,15