Тема “Логистическая кривая” Порядок работы
Выбрать задачу в соответствии со своим номером.
Написать математическую модель, указав экономический смысл всех переменных.
Подготовить данные в Excel и провести расчет задачи.
Проанализировать полученный результат.
1. Однофакторная функция спроса от дохода
Рассмотрим построение однофакторной функции спроса от дохода, предполагая, что цены фиксированы. Такая функция спроса широко используется на практике при исследовании спроса в различных потребительских группах, принадлежность к которым определяется, в частности, уровнем дохода.
Определяя спрос на некоторый товар как предъявляемую на рынке потребность Х=Х(М), рассмотрим коэффициент эластичности спроса от дохода:
Е = E(Х, M)= (M/X)X/(M),
Таким образом, коэффициент эластичности представляет собой показатель, который отражает реакцию населения на увеличение дохода. Этой реакцией является склонность населения, как правило, увеличивать спрос с ростом дохода. Поэтому обычно Е(Х,М)>0.
Заметим, что в уравнении функции спроса, рассмотренной в Лабораторной работе №2 “Моделирование поведения потребителя”, спрос пропорционально увеличивался при увеличении дохода, и поэтому коэффициент эластичности этой функции спроса равен единице.
О днако в действительности при увеличении доходов рост спроса на многие товары начинает замедляться и, в конце концов, останавливается на некотором фиксированном уровне. Поэтому для многих видов потребительских товаров можно утверждать, что в более обеспеченных потребительских группах населения, где более высокий уровень удовлетворенного спроса, склонность населения увеличивать потребление данного товара при одном и том же относительном приросте доходов будет ниже, чем в малообеспеченных группах населения.
Другими словами, при одинаковом доходе коэффициент эластичности в группах с более высоким значением удовлетворенного спроса увеличивается меньше, чем в группах с низким уровнем удовлетворенного спроса (в точке А на коэффициент эластичности ниже, чем в точке В). Формально это означает, что частная производная коэффициента эластичности по спросу отрицательна, т.е. ЕX<0.
При этом в различных потребительских группах при одинаковом уровне потребления (точки А и С) реакция на изменение дохода будет также различной: в более обеспеченной группе реакция на рост дохода может оказаться более сильной, поскольку потребление одинаково, но у более обеспеченной группы более широкие возможности расширять потребление данного товара (в точке С коэффициент эластичности выше, чем в точке А). Это означает, что частная производная коэффициента эластичности по доходу положительна, т.е. ЕM>0.
1. Наиболее простой зависимостью, удовлетворяющей условиям ЕX<0 и ЕM>0, является E = kM(C – X), где k и С - положительные постоянные. Первая из них определяет скорость реакции населения данной потребительской группы на изменение дохода, вторая - предельное значение уровня спроса. Используем формулу для эластичности, получаем дифференциальное уравнение, решение которого должно удовлетворять начальному условию.
Уравнение вида (2.24) в математической биологии называется уравнением Ферхюльста-Перла. Его решение (логистическая кривая, кривая с насыщением) получается следующим.
Мо М Рис. 2.11. Логистическая кривая
(2.25)
(2.26)
dХ/dМ = kХ(C - Х) Х(М0) = Х0
X = X0C/(X0 + (C – X0)Exp(-С(M – M0))).
Как видим, значение функции X = 0.5C, при котором график меняет направление выпуклости, достигается тем раньше, чем больше C, причем при X = 0.5C наклон логистической кривой тем выше, чем больше C.
Значения логистической функции, которую в общем случае можно записать в виде Х=А/(В + Се-bм), при неограниченно больших значениях Х стремятся к значению А/В, а при Х=0 эта функция принимает значение А/(В+С).
Монотонно возрастающая функция широко применяется при решении различных практических задач маркетинга, поскольку для многих товаров функция спроса обладает свойством "насыщения" - существования горизонтальной асимптоты Х=А/В.
2. Отметим, что ограничение роста спроса может быть задано иначе. Например, можно предположить, что увеличение доходов приводит к росту коэффициента эластичности лишь в области "умеренных" доходов. Достигнув при некотором заданном значении потребления Х максимального значения, при дальнейшем росте дохода коэффициент эластичности начинает падать и при неограниченном росте доходов он устремляется к нулю.
Используя эти соображения, а также предположение ЕХ<0, можно записать следующую зависимость коэффициента эластичности от дохода и потребления (удовлетворенного спроса):
E = kM/X(a + M)2 где k>0.
Уравнению соответствует дифференциальное уравнение dХ/dМ = k/(а+М)2, решением которого являются гиперболы X = C – k/(a + M)
Здесь константа интегрирования С также равна предельному уровню спроса, а область определения функции находится из условия X>0.
Гиперболы используются в маркетинге при моделировании спроса на различные группы потребительских товаров. Обычно рассматривают три группы товаров: "предметы первой необходимости" ; "предметы второй необходимости" и "предметы роскоши".
К ривые вида (X = C – k/(a + M) называют в этом случае "кривыми Торнквиста" по имени шведского экономиста, использовавшего их для анализа процесса потребления. Их графики представлены на рисунке.
3. Можно использовать также и другие способы представления коэффициента эластичности при условии выполнения сформулированных для последнего случая гипотез. Например, Е=kМе-aM/a, где константы а и k положительны. В этом случае получаем такое уравнение функции спроса: Х = С- kе-aM/а.
З десь константа интегрирования С равна предельному уровню спроса. График полученной кривой (Х>0) и графики кривых Торнквиста качественно мало отличаются.
4. Сделаем два важных замечания. Первое связано с тем, что из любой полученной в этом параграфе функции спроса от дохода можно получить функцию спроса, аргументом которой является и цена данного товара.
Для этого вернемся к предыдущей работе, в которой были выведены уравнения для функций спроса. В этих уравнениях доход М делится на цену р, что совершенно естественно: спрос зависит от реального дохода, который определяется именно отношением М/р. Поэтому в функциях спроса, полученных выше, под М следует понимать реальный доход, т.е. отношение роМ/р, где р0 - базовое значение цены, р - текущая цена. В результате, например, последнее уравнение примет вид: X = C – bExp(-qM/p), где C, b и q - постоянные.
При фиксированных доходах М это уравнение задает монотонно убывающую зависимость спроса от цены, причем областью изменения спроса является интервал (С—b;С).
2. Постановка задачи
Используем рассмотренную выше логистическую кривую для аппроксимации экспериментальных данных по объему спроса на конкретный товар в зависимости от уровня дохода.
Пусть для некоторых значений дохода имеются данные по объему спроса на конкретный товар. Xexper(Mi) , i = 1,.. , 8. В примере выполнения в ячейках E11-E18 значения дохода, а в ячейках F11-F18 – объем соответствующего этому спросу дохода.
Для аппроксимации данных используем формулу логистической кривой:
Xteort(Mi)= A/(1 + Bexp(-CMi/P)), i = 1,.. , 8
Неизвестные параметры A, B, C, P определяются из решения задачи нелинейной оптимизации:
Min((Xexper(Mi) - A/(1 + B*exp(-CMi/P)))2) A≥0, B≥0, C≥0, P≥0,00001
Последнее ограничение возникло, чтобы исключить деление на нуль в ходе расчета.
Разместим оценки параметров A, B, C, P в ячейках H10-K10 соответственно. В качестве целевой функции выберем сумму квадратов отклонений наблюдений от аппроксимации (Xexper(Mi) - A/(1 + B*exp(-CMi/P)))2.
Внесем функцию =F11-$H$10/(1+$I$10*EXP(-$J$10*E11/$K$10)), описывающую отклонение наблюдения (в ячейке F11) от аппроксимирующего значения A/(1 + B*exp(-CMi/P)), ссылающегося на аргумент в ячейке E11 и параметры в ячейках H10-K10. Протащите функцию до 18 строки. В ячейку I11поместите функцию =СУММКВ() и сошлитесь на диапазон G11:G18.
При решении задачи воспользуйтесь в меню “Сервис” опцией “Поиск решения”. Сошлитесь на I16 как на целевую ячейку, установите поиск минимального значения, сошлитесь на ячейки H10-K10 в качестве изменяемых, внесите ограничения >=0 для ячеек H10-J10 и >=0.00001 для ячейки K10. Выполните поиск и сохраните результат.
После решения задачи оптимизации следует вычислить значения аппроксимирующей функции спроса для равномерного более подробного набора значений М, нарисовать график, на котором также показать экспериментальные точки. Для этого воспользуйтесь столбцами B и D. В столбце B разместите арифметическую прогрессию значений дохода с шагом 0.5 от 0 до 31. В столбце D разместите функцию $H$10/(1+$I$10*EXP(-$J$10*E11/$K$10)). На рис.1 постройте график спроса от дохода.
Следует отметить, что фактически параметры С и Р входят в формулу только в виде отношения, поэтому в ходе поиска параметров модели, устойчиво можно определить только параметры А, В и отношение С к Р. Для демонстрации это следует провести расчет параметров дважды, существенно изменив начальные значения параметров С и Р. Убедится при этом, что отношение С/Р находится устойчиво.
Скопируйте функцию из столбца в столбец, и затем измените ссылу на строку параметров с 10 на 8. В восьмой строке разместите значения
Постройте график этих двух функций (на рис.2). Разместите функцию =СУММКВРАЗН() в ячейке I12 и сошлитесь на диапазон C11:C37;D11:D37.
Воспользуйтесь ячейкой I12 в качестве целевой функции при решении задачи “Поиск решения”, сохраните результат и посмотрите как изменился график на втором рисунке.
Приведенное выше соотношение можно использовать для описания зависимости спроса от цены P =CM/ln[BX/(A-X)] .
Введите формулу =$J$10*$I$10/LN(ABS(($I$10*J16/($H$10-J16)))), ссылающуюся на значения параметров в ячейках H10-J10, в ячейку K16. Рассчитайте зависимость спроса от цены в диапазоне значений спроса от 0.16 до 0.31 с шагом 0.01. Результаты расчета зависимости спроса от цены выведите на график (рис.3.).
3. Пример таблицы
-
|
Аппроксимация спроса функцией X=A/(1+B*Exp(-CM/P))
|
|
|
|
|
|
Параметры модели
|
A
|
B
|
C
|
P
|
|
|
Расчеты
|
Результаты аппроксимации
|
M
|
Xteor
|
M
|
Xexpr
|
Xexpr-Xteor
|
1,07295
|
6,202767
|
0,307317
|
2,07078
|
0
|
0,090909
|
1
|
0,1
|
-0,0690413
|
Z=
|
0,010932
|
deltaZ=
|
0,01307
|
0,5
|
0,101781
|
2
|
0,2
|
0,00873552
|
|
|
|
|
1
|
0,113791
|
5
|
0,3
|
0,02860085
|
|
|
|
|
1,5
|
0,127018
|
10
|
0,5
|
0,05409781
|
|
|
|
|
2
|
0,141537
|
15
|
0,6
|
-0,0426487
|
|
|
|
|
2,5
|
0,157416
|
20
|
0,8
|
-0,0135727
|
|
|
|
|
3
|
0,174713
|
25
|
0,95
|
0,01845752
|
|
|
|
|
4
|
0,21373
|
30
|
1
|
-0,0006278
|
|
|
|
|
4. Вопросы к лабораторной работе
Что такое эластичность?
Какими свойствами должна обладать функция эластичность спроса по доходу.
Опишите свойства функции спроса от доходов, если эластичность спроса описывается функцией E = kM(C – X).
Опишите свойства функции спроса от доходов, если эластичность спроса описывается функцией E = kM/X(a + M)2.
Опишите свойства функции спроса от доходов, если эластичность спроса описывается функцией Е=kМе-aM/a
Как изучать зависимость спроса от цены, если известна зависимость спроса от дохода.
5. Исходные данные
Вариант 1
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,11
|
0,16
|
0,2
|
0,5
|
0,8
|
0,9
|
0,92
|
1
|
Вариант 2
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,11
|
0,15
|
0,22
|
0,5
|
1
|
0,9
|
0,92
|
1
|
Вариант 3
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,09
|
0,16
|
0,22
|
0,55
|
0,8
|
0,9
|
0,94
|
1
|
Вариант 4
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,09
|
0,16
|
0,25
|
0,6
|
0,8
|
0,88
|
0,94
|
1
|
Вариант 5
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
Вариант 6
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,21
|
0,25
|
0,65
|
0,7
|
0,85
|
0,9
|
1
|
Вариант 7
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,21
|
0,3
|
0,65
|
0,8
|
0,85
|
1
|
1
|
Вариант 8
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,08
|
0,18
|
0,3
|
0,5
|
0,8
|
0,85
|
0,95
|
1
|
Вариант 9
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,18
|
0,25
|
0,5
|
0,8
|
0,85
|
0,95
|
1
|
Вариант 10
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,25
|
0,25
|
0,5
|
0,8
|
0,75
|
0,95
|
1
|
Вариант 11
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,1
|
0,25
|
0,5
|
0,5
|
0,75
|
0,95
|
1
|
Вариант 12
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,15
|
0,25
|
0,5
|
0,6
|
0,75
|
0,95
|
1
|
Вариант 11
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,11
|
0,16
|
0,2
|
0,5
|
0,8
|
0,9
|
0,92
|
1
|
Вариант 12
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,11
|
0,14
|
0,22
|
0,5
|
1
|
0,91
|
0,92
|
1
|
Вариант 13
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,08
|
0,16
|
0,22
|
0,57
|
0,8
|
0,9
|
0,94
|
1
|
Вариант 14
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,09
|
0,152
|
0,25
|
0,62
|
0,8
|
0,88
|
0,94
|
1
|
Вариант 15
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,11
|
0,2
|
0,3
|
0,62
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
Вариант 16
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,22
|
0,25
|
0,63
|
0,7
|
0,85
|
0,9
|
1
|
Вариант 17
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,22
|
0,3
|
0,63
|
0,8
|
0,85
|
1
|
1
|
Вариант 18
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,08
|
0,19
|
0,3
|
0,5
|
0,8
|
0,82
|
0,95
|
1
|
Вариант 19
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,18
|
0,24
|
0,5
|
0,8
|
0,86
|
0,95
|
1
|
Вариант 20
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,24
|
0,25
|
0,5
|
0,8
|
0,77
|
0,95
|
1
|
Вариант 21
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,15
|
0,25
|
0,5
|
0,5
|
0,70
|
0,95
|
1
|
Вариант 22
M
|
1
|
2
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
Xexpr
|
0,1
|
0,20
|
0,25
|
0,5
|
0,85
|
0,75
|
0,95
|
1
|
Лабораторная работа №4 |
