Тема “Моделирование поведения потребителя” Порядок работы
Выбрать задачу в соответствии со своим номером.
Написать математическую модель, указав экономический смысл всех переменных.
Подготовить данные в Excel и провести расчет задачи.
Проанализировать полученный результат.
1. Функция полезности
Задачей модели потребления является установление оптимальных объемов потребления данных товаров при заданных ценах и расходах. Одним из центральных понятий рассматриваемой модели является функция полезности U = U(x1, …, xn), которая определяет отношение потребителя к данному набору товаров.
Важное значение в теории потребления имеет предельная полезность МUi, товара i-го вида, которую можно определить как частную производную функции полезности по соответствующей переменной:
МUi = ∂U/∂xi.
Рассмотрим множество точек в пространстве товаров, для которых значения полезности постоянны. Это множество задается уравнением U(х1,..., xп) = сопst, которому в n-мерном пространстве Х соответствует гиперповерхность безразличия (гиперповерхность уровня функции п переменных).
Множество таких кривых образует карту кривых безразличия, которая отражает возрастание полезности наборов товаров при переходе с более низкой кривой безразличия на более высокую. Отметим, что кривые безразличия выпуклы вниз.
1.2. Модель поведения потребителя
Перейдем теперь к рассмотрению модели поведения потребителя на рынке двух товаров. Пусть цена товара i-го вида равна Рi и не зависит от покупателя.
Предполагая, что потребитель может израсходовать на приобретение рассматриваемых товаров не более М денежных единиц, для бюджетных ограничений получаем в случае двух товаров: P1x1 + P2x2 ≤ M
Значение параметра М равно максимально возможным расходам потребителя на приобретение данного набора товаров; для краткости его часто называют доходом потребителя, или просто доходом.
В качестве гипотезы о поведении потребителя на рынке примем допущение, согласно которому потребитель при заданных доходе М и векторе цен Р, выбирает наиболее предпочтительный (наиболее "ценный") набор товаров.
Это означает, что потребитель стремится максимизировать значение функции полезности на бюджетном множестве, поскольку отношение покупателя к любому набору товаров определяется с помощью именно этой функции. Решение задачи о максимизации полезности на бюджетном множестве определяет спрос потребителя на данные товары.
В силу выпуклости гиперповерхностей безразличия, заданных уравнением U(x1, x2) = соnst, максимум функции полезности достигается на бюджетной гиперповерхности. Поэтому задача сводится к нахождению условного экстремума функции п переменных U(x1, x2) при выполнении бюджетного ограничения. Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа
L(x1, x2) = U(x1, x2) + λ(M – Р1x1 - Р2x2).
Получаем: MU1/р1 = MU2/р2 поскольку предельные полезности равны частным производным функции полезности.
Решение системы определяет координаты точки спроса Q = (x1,...,xп). Так как это решение зависит от дохода М и вектора цен Р=(Р1,...,Pп), то спрос Q представляет собой вектор-функцию, которая задается уравнением Q = Q(Р, M). При этом если предложение товаров превышает спрос, то эта вектор-функция задает и объемы потребления.
В точке максимума полезности происходит касание бюджетной прямой и линии безразличия, т.е. при выполнения условия MU1/MU2 = р1/р2.
Решение системы уравнений:
MU1/MU2 = р1/р2 Р1x1 + Р2x2 = M
определяет кривые “доход-потребление”, т.е. зависимость спроса на каждый из товаров как функцию цен и дохода.
В качестве модели функции полезности рассмотрим функцию
U = aLnX1 + bLnX2 с параметрами: 0< (a, b) <1.
Перейдем теперь к построению функций спроса для рассматриваемой модели.
Получим: Х1=аМ/((a+b)Р1), X2= bМ/((a+b)Р2).
Рассмотрим влияние небольшого изменения (уменьшения) цены первого продукта на оптимальное поведение потребителя. При этом будем по-прежнему считать, что доход М и цена второго товара Р2 фиксированы.
Из уравнений следует, что спрос на первый из двух покупаемых товаров растет при увеличении количества денег, которые потребитель готов потратить на приобретение этих товаров, и падает при увеличении его цены.
При этом, однако, рост цены первого товара при неизменных прочих условиях уже не оказывает никакого влияния на спрос на второй товар.
Таким образом, если все параметры, кроме цены первого товара, фиксированы, то полученные здесь функции спроса можно записать в общем виде так: Q = D(р) (D'(р)<0).
Данная задача позволяет установить еще одно важное свойство функции спроса: ее график проходит через вершины линий постоянной полезности. Точка максимума полезности при заданном бюджетном ограничении и есть точка максимума линии постоянной полезности, рассматриваемой как функция цены этого товара.
Для получения этого вывода введем обозначения P = P1 и Q = Х1, после чего построим на плоскости Q0P линию постоянной полезности. Запишем уравнение линии безразличия в виде
Рис. 2.9 Линии постоянной полезности и кривая спроса
(2.17)
U = а1пQ + b1пX2 = b1пС,
где С=сопst (так заданное значение полезности позволяет упростить выкладки). Из уравнения следует X2 = С/Qa/b.
Подставив это выражение в бюджетное ограничение PQ + Р2X2 = М, для линии постоянной полезности получим:
P = (M – P2C/Qa/b)/Q = M/Q – P2C/Q(a+b)/b
Функция постоянной полезности при Q = Q* достигает своего максимального значения: Q* = ((a + b)P2C/(bM))b/a, Р* = (М - Мb/(a + b))/Q* = аМ/((a+b)Q *).
Из последнего уравнения следует, что оптимальные значения Q* и Р* удовлетворяют уравнению функции спроса Q* = аМ/((a+b)Р*). При этом, увеличение полезности (параметра С) приводит к росту значения спроса Q* и соответствующему снижению значения цены Р*.
2. Порядок работы
Заполним расчетные таблицы в Excel.
1) В ячейку G7 – объем средств на приобретение товаров, в ячейки G8-G9 введем коэффициенты функции полезности, в ячейки G10-G11 вводим начальные цены продуктов
Вначале построим кривые “доходы-потребление”. В ячейку B11 введем 10, в ячейку B12 = B11+10, т.е. бюджетное ограничение изменяется с шагом 10, далее копируем вниз до 30 строки. В ячейку C11 введем формулу X1i= аМi/((a+b)Р1 =$G$8*B11/($G$10*($G$8+$G$9)), в ячейку D11 введем формулу X2i= аМi/((a+b)Р2=$G$9*B11/($G$11*($G$8+$G$9)). Обе формулы копируем вниз до строки 36. Строим графики оптимальных планов потребления в зависимости от суммы дохода (на рис.1.).
Проанализировать влияние на уровни потребления параметров функции полезности и цен товаров. Описать результаты.
Дополним результаты расчета графиками линий уровня полезности:
при трех уровнях полезности и графиком линии спроса:
P = аМ/((a+b)Q)
В ячейки I6, J6, K6, введем значения полезности U.
В ячейки I7 введем формулу для значения С =EXP(I6/$G$9) при значении U. Формулу протяните до столбца К.
В столбце H расположим аргумент, т.е. количество потребляемого продукта. В ячейку H9 введем начальное значение для переменной Х равное 1, в ячейку H10 введем формулу = H9+0,6, которую и продолжим до 29 строки.
Введем формулы:
в ячейку I9 =$G$7/H9-$I$7*$G$11/H9^(($G$8+$G$9)/$G$9),
в ячейку J9 =$G$7/H9-$J$7*$G$11/H9^(($G$8+$G$9)/$G$9),
в ячейку K9 =$G$7/H9-$K$7*$G$11/H9^(($G$8+$G$9)/$G$9),
в ячейку L9 =$G$8*$G$7/(H9*($G$8+$G$9)).
Последние четыре формулы копируем до 29 строки.
Выделив ячейки I8: L29 строим график, тип - ХУ-точечный, тип 6, строим график линий безразличия (полезности) и кривой спроса (на рис.2.).
Подобрать значения уровней полезности и шаг для переменной Х так, чтобы линия спроса проходила через максимумы линий уровней полезности.
Поскольку отрицательная стоимость бессмысленна, то красивее выглядит график, построенный с использованием логической функции, отсекающей на графике отрицательные значения стоимости.
3. Пример таблицы
|
|
Моделирование поведения потребителя
|
|
|
|
|
Степенная функция полезности
|
M=
|
150
|
С=
|
20,086
|
29,9641
|
44,701
|
|
U = aLn(X) + bLn(Y), 0 |
a=
|
0,615
|
Q
|
P(U=1,5)
|
P(U=1,7)
|
P(U=1,9)
|
Спрос
|
Доходы-потребление
|
|
b=
|
0,5
|
1
|
-50,855
|
-149,64
|
-297,01
|
82,74
|
Mi
|
Xi
|
Yi
|
|
P1=
|
16
|
1,5
|
18,68
|
-21,316
|
-80,982
|
55,16
|
10
|
0,34473
|
0,44843
|
|
P2=
|
10,00
|
2
|
32,186
|
11,1289
|
-20,284
|
41,37
|
15
|
0,5171
|
0,67265
|
|
|
|
2,5
|
33,97
|
21,1675
|
2,0688
|
33,09
|
20
|
0,68946
|
0,89686
|
|
|
|
3
|
32,666
|
24,1405
|
11,422
|
27,58
|
25
|
0,86183
|
1,12108
|
|
|
|
3,5
|
30,565
|
24,5201
|
15,501
|
23,64
|
Вопросы к лабораторной работе № 2
Что такое функция полезности?
Чем определяется поведение потребителя на рынке?
Приведите математическую модель определения оптимального потребления в зависимости от цены при фиксированных финансах.
Что такое кривая “доходы-потребности”.
Как проходит график функции спроса в плоскости QOP? Проведите расчеты для рассмотренной модели.
4. Исходные данные
Вариант
|
М
|
a
|
b
|
P1
|
P2
|
1
|
150
|
0.45
|
0.35
|
16
|
10
|
2
|
140
|
0.35
|
0.45
|
15
|
11
|
3
|
130
|
0.5
|
0.35
|
14
|
12
|
4
|
120
|
0.45
|
0.5
|
13
|
13
|
5
|
110
|
0.55
|
0.3
|
16
|
10
|
6
|
100
|
0.35
|
0.55
|
15
|
11
|
7
|
110
|
0.5
|
0.4
|
14
|
12
|
8
|
120
|
0.4
|
0.5
|
13
|
13
|
9
|
130
|
0.5
|
0.35
|
16
|
10
|
10
|
140
|
0.45
|
0.5
|
15
|
11
|
11
|
150
|
0.55
|
0.3
|
14
|
12
|
12
|
160
|
0.35
|
0.55
|
13
|
13
|
13
|
150
|
0.45
|
0.5
|
13
|
13
|
14
|
140
|
0.55
|
0.3
|
16
|
10
|
15
|
130
|
0.35
|
0.55
|
15
|
11
|
16
|
120
|
0.5
|
0.4
|
14
|
12
|
17
|
110
|
0.55
|
0.3
|
16
|
10
|
18
|
100
|
0.45
|
0.5
|
13
|
13
|
19
|
110
|
0.55
|
0.3
|
16
|
10
|
20
|
120
|
0.35
|
0.55
|
15
|
11
|
21
|
130
|
0.5
|
0.4
|
14
|
12
|
22
|
140
|
0.45
|
0.5
|
15
|
11
|
Лабораторная работа №3 |
