Средняя часовая выручка магазина В = 100 д.е. Среднее квадратическое отклонение часовой выручки уВ = 25 д.е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Определите вероятность получения в течение одного часа выручки в размере от 70 до 110 д.е.
На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них - 0,002. Число отказов станков ЁC случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Требуется определить вероятность безотказного функционирования всех элементов.
На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них - 0,001. Число отказов станков ЁC случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Требуется определить вероятность безотказного функционирования всех элементов.
В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней: одного мальчика, двух мальчиков.
Определите математическое ожидание и моду числа остановок автобуса перед светофорами на маршруте, если случайная величина Ч ЁC число остановок ЁC задана следующей таблицей распределения:
xi012345P(xi)0,050,050,20,50,10,1Определите математическое ожидание и моду числа остановок автобуса перед светофорами на маршруте, если случайная величина Ч ЁC число остановок ЁC задана следующей таблицей распределения:
xi012345P(xi)0,030,030,150,30,10,1Определите среднее квадратическое отклонение числа отказов оборудования, если случайная величина Х ЁC число отказов оборудования ЁC задана следующей таблицей распределения:
xi0123456P(xi)0,30,10,050,10,20,20,05
Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов»
В моменты времени t1, t2, t3 производится осмотр ЭВМ. Возможны следующие состояния ЭВМ: S0 ЁC полностью исправна; S1 ЁC незначительные неисправности, которые позволяют эксплуатировать ЭВМ; S2 ЁC существенные неисправности, дающие возможность решать ограниченного число задач; S3 ЁC ЭВМ полностью вышла из строя.
Матрица переходных состояний имеет вид
µ §
Постройте граф состояний. Найдите вероятность состояний ЭВМ после одного, двух, трех осмотров, если в начале (при t = 0) ЭВМ была полностью исправна.
Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт эксплуатации этих марок автомобилей свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрица переходных вероятностей, соответствующие состояниям «работает хорошо» (состояние 1) и «требует ремонта» (состояние 2):
Автомобиль марки А µ §
Автомобиль марки В µ §
Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля.
Требуется определить марку автомобиля, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование (по результатам двухлетней эксплуатации).
Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находится в одном из двух состояний: исправном (S1) или неисправном (S2). В результате массовых наблюдений за работой автомобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:
µ §
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан µ §.
Требуется определить вероятность состояний автомобиля через четыре дня.
Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания»
Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока л = 0,5 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора µ §. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.
В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров. Простейший поток задач, поступающих на вычислительный центр, имеет интенсивность л = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания.
На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности л = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находится не более 5 автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности л = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находится сколько угодно автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.
В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время обслуживания подчинено экспоненциальному закону распределения. Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.
Пост диагностики автомобилей представляет собой трехканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику л = 0,6 автомобилей в час. Средняя продолжительность диагностики µ §. Все потоки событий в системе простейшие. Определите в установившемся режиме вероятностные характеристики системы.
Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях»
По 7 областям региона известны данные за 200__ год. Требуется для характеристики зависимости доли расходов на покупку продовольственных товаров от доходов рассчитать параметры линейной функции. Найти показатели тесноты связи по каждой модели. Оценить модель через F-критерий Фишера.
Номер регионаРасходы на покупку продовольственных товаров, % к общему объему расходов, yСреднемесячная заработная плата 1 работающего, тыс. руб., x168,84,5258,35,9362,65,7452,17,2554,56,2657,16,0751,07,8
По 8 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли (тыс. руб.) y от выработки продукции на одного человека (единиц) x по данным, представленным в таблице. Построить линейное уравнение парной регрессии. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
Номер предприятияПрибыль предприятия, тыс. руб., yВыработка продукции на одного человека, x11638921951063139674158885154736161877159768175115
Имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость y от х: y = 8 ЁC 7x + e. Известно также, что rxy = -0,5; n = 20.
Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели: с вероятностью 90%; с вероятностью 99%.
Проанализируйте результаты, полученные в п.1 и поясните причины их различий.
Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция»
Задачу решить с помощью инструментария MS Excel в режиме «Анализ данных».
Рассчитать основные показатели описательной статистики и сделать соответствующие выводы (режим работы «Описательная статистика»);
Определить параметры уравнения линейной регрессии и провести его анализ (режим работы «Регрессия»);
По выборочным данным требуется установить наличие взаимосвязи между указанными показателями (режимы работы «Ковариация» и «Корреляция».
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 году.
№ п/пЧистый доход, млрд долл. США, yОборот капитала, млрд долл. США, x1Численность служащих, тыс. чел., x212,418,88223,035,310334,271,922542,793,667551,610,043,862,431,5102,373,336,710581,813,84992,464,850,4101,630,4480
По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции y (млн руб.) от численности занятых на предприятии x1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн руб.):
Коэффициент детерминации???Множественный коэффициент корреляции0,85Уравнение регрессииy = ??? + 0,48x1 + 20x2Стандартные ошибки параметров2 0,06 ???t-критерий для параметров1,5 ??? 4
Восстановить пропущенные характеристики.
С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
Проанализируйте результаты регрессионного анализа.
Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:
Y = 21,1 ЁC 6,2x1 + 0,95x2 + 3,57x3; R2 = 0,7
(1,8) (0,54) (0,83)
где y ЁC цена объекта, тыс. долл.;
х1 ЁC расстояние до центра города, км;
х2 ЁC полезная площадь объекта, кв. м.;
х3 ЁC число этажей в доме, ед.;
R2 ЁC коэффициент множественной детерминации.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.
Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.
Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.
Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.
Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии b1, b2, b3 в генеральной совокупности одновременно равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).
Поясните причины расхождения результатов, полученных в п. 1, 2 и 3, с результатами, полученными в п. 4.
Задачи по теме «Линейное программирование»
6.1. Решить задачу линейного программирования графическим методом:
µ §
µ §
Решить задачу линейного программирования графическим методом:
µ §
µ §
При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:
Питательные веществаКоличество единиц питательных веществ на 1 кгКорма 1Корма 2Белки31Углеводы12Протеины16
Стоимость 1 кг корма первого вида ЁC 4 д.е., второго ЁC 6.д.е.
Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.
Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа ЁC 3 т, проволоки ЁC 18 т. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д.е., второго ЁC 4 д.е.
Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
Заводы № 1, 2, 3 производят однородную продукцию в количестве соответственно 500, 400 и 510 единиц. Себестоимость производства единицы продукции на заводе № 1 составляет 25 д.е., на заводе № 2 ЁC 20 д.е., на заводе № 3 ЁC 23 д.е. Продукция отправляется в пункты А, В, С, потребности которых равны 310, 390 и 450 единицам. Стоимости перевозок 1 ед. продукции заданы матрицей
µ §
Составьте оптимальный план перевозок продукции при условии, что коммуникации между заводом № 2 и пунктов А не позволяют пропускать в рассматриваемый период более 250 единиц продукции.
Решите задачи линейного программирования симплекс-методом:
µ §
µ §
µ §
Решите задачи линейного программирования симплекс-методом:
µ §
µ §
µ §
Задачи по теме «Транспортные задачи»
Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
bj
ai25030020020020098313507106440023812
Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой таковы:
bj
ai80120160120120134216045832002367
Решить транспортную задачу методом потенциалов:
bj
ai551010553465135527610109522615944951046234
Решить транспортную задачу методом потенциалов:
bj
ai5510105534641256376101010522615944951066234
Имеются три пункта поставки однородного груза ЁC А1; А2; А3 и пять пунктов потребления этого груза ЁC В1; В2; В3; В4; В5. В пунктах А1; А2; А3 находится груз а1; а2; а3 соответственно. Груз необходимо доставить в пункты В1; В2; В3; В4; В5 в количестве b1; b2; b3; b4; b5 соответственно. Расстояния между пунктами в км заданы матрицей ||D||. Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей, используя параметры, представленные ниже. Элементы матрицы ||D|| помещены в таблицу.
АТ = (а1; а2; а3) = (250; 200; 200)
BТ = (b1; b2; b3; b4; b5) = (120; 130; 100; 160; 110)
273635312922232632353542383239
Задачи по теме «Теория игр»
Дана платежная матрица 3 х 4, которая определяет выигрыши игрока А. Вычислить нижнюю и верхнюю цены заданной игры.
1041177682062111
Решите игру с платежной матрицей ||А||.
23651-2555430
Решите игру с платежной матрицей ||А||.
23651-2735430
При выборе стратегии Rij (µ §) каждому возможному состоянию природы Si (µ §) соответствует один результат (исход) Vji (µ §; µ §).Элементы Vji, являющиеся мерой дохода при принятии решения, приведены ниже в таблице (д.е.):
СтратегииСостояние природыS1S2S3S4R12658R23414R35162Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при б = 0,5)
При выборе стратегии Rij (µ §) каждому возможному состоянию игры Si (µ §) соответствует один результат (исход) Vji (µ §; µ §). Элементы Vji, являющиеся мерой выигрышей при принятии решения, приведены ниже в таблице:
СтратегииСостояния игры S1S2S3S4R121050R234,596R3-53-2-4R485-3-5Выберите оптимальное решение в соответствии с критерием Гурвица с условием, что внешняя среда находится в выгодном состоянии с вероятностью 50%.
Задачи по теме «Типовые модели управления»
Затраты на защиту информации в условиях угроз различной степени составляют R0 = 0 (защита не предпринимается); R1 = 15; R2 = 25; R3 = 35. Убытки от событий, связанных с кражей и несанкционированным доступом к информации составляют S0 = 0 (событие не произошло); S1 = 6; S2 = 11; S3 = 16 . Считается, что противодействие Ri способно предотвратить все неприятности Sj такие, что i >=j и совсем не способно уменьшить неприятность Sk при i < k. Составить платежную матрицу, матрицу рисков, определить целесообразный размер затрат на защиту информации с помощью критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (q = 0,25).
Максимальная месячная стоимость продукции и материальных ресурсов, хранимых на складах, составляет: b1 = 155, b2 = 120, b3 = 110 тыс. руб (здесь b1 ЁC стоимость готовой продукции на первом складе, а b2 и b3 ЁC стоимость материальных ресурсов на втором и третьем складах). Складам угрожает кражей криминальная структура. Предполагается, что вероятность незащищенности объектов-складов составляет 50%. Составить платежную матрицу, игру для игрока 2 (предприятие), антагонистическую игру для игрока 1 (криминальная структура). Найти оптимальные векторы и цены этих игр.
Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца: µ §
Какую часть дохода получают 12% наиболее низко оплачиваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.
Объем продаж при цене в 15 тыс. руб. составляет 1500 штук товара, при цене в 16 тыс. руб. ЁC 1400 штук. Издержки на единицу товара составляют 12 тыс. руб. (при цене 15 тыс. руб.). Увеличение цены на 100% ведет за собой увеличение издержек на 20%. Зависимость между спросом и ценой на товар линейная. Найти объем производства, при котором прибыль максимальна.
Для сборки первых 50 CD-плейеров (1 единица продукции) потребовалось 70 человеко-часов. В последующем для сборки любой единицы продукции ЁC 50 плейеров ЁC требовалось меньшее время в соответствии с формулой обучения f(x) = 70x-0,24. Найти время, которое потребовалось для производства 5 единиц продукции (250 CD-плейеров) после того, как 2 единицы уже были произведены.
Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имею следующий вид:
5p + 2x = 50; 5p ЁC 6x = 10
Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид p = 150/(2x + 5). Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 90.
Функция совокупных издержек производства некоторой продукции имеет вид C(x) = 1000 + 2x + 0,04x2. Найти среднее значение издержек при изменении объема производства от 100 до 200 единиц.
Ольга Анатольевна Цуканова
Математические методы моделирования экономических систем
Учебное пособие
В авторской редакции
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Зав. редакционно-издательским отделом Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99
Подписано к печати ____________
Тираж ____ экз. Заказ № ___
µ §
Редакционно-издательский отдел
Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики
197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49
|
