Цуканова Ольга Анатольевна

1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем
Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и функциях

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным. Совокупность условий, в которых рассматривается данное собы­тие, называют комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике - испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие (U), которое наступает каж­дый раз при реализации данного комплекса условий.

Невозможным называется событие (µ §, которое никогда не насту­пает при реализации данного комплекса условий.

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить.

Элементарное событие ЁC это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Сово­купность или множество их составляют пространство элементар­ных событий.

В общем случае пространство элементарных событий может быть любой природы: конечным и бесконечным, дискретным и не­прерывным. Пространство элементарных событий является сино­нимом достоверного события, так как один из его элементов не­пременно наступит.

Пустое мно­жество ЁC это множество, не содержащее элементарных событий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозмож­ного события.

При изучении случайных событий в ходе системного анализа и моделирования информационных процессов и систем используется группа событий, между которыми сущест­вуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни со­бытия через другие.

Рассмотрим эти соотношения:

Событие А содержится в событии В(А µ § В). Если при каж­дом испытании, при котором происходит событие А, непременно происходит и событие В, то говорят, что событие А содержится в событии В или принадлежит событию В;

Тождественные события (А = В). Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии А, то говорят, что события А и В тождественны или равносильны;

Произведение событий (µ §). Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном на­ступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит элементы, принадлежащие множествам А и В (µ §);

Несовместные события (А * В = µ §. События А и В называются несовместными, если их совместное появление при испытании невоз-
можно;

Сумма событий (µ §) . Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Множество С содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В;

Полная группа событий (µ §. События А и В составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса условий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий есть событие достоверное;

Противоположное событие. Два события А и А (читается «не А») называются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию µ §.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):

µ §

Вероятность и частота (µ §события тесно связаны между собой. Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испы­таний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать, что

µ §

Такой способ определения вероятности события Р(А) называет­ся статистическим.

Частота случайного события А находится в интервале [0;1]:

µ §

Частота достоверного события равна единице. Частота невозможного события равна нулю.

Свойства вероятностей событий:

Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. µ §;

Для любого события А вероятность противоположного собы­тия В равна µ §;

Если событие А влечет за собой событие В, т. е. А В, то µ §;

Вероятность события А заключена между нулем и единицей, т.е. µ §;

Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: µ §.

Вероятность события определяется при условии реализации не­которой совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме упомянутых условий, при вычислении вероятности Р(А) не налага­ется, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ря­де случаев приходится находить вероятности событий при условии, что произошло некоторое событие B, имеющее положительную ве­роятность. Такие вероятности называются условными и обознача­ются Р(А/В).

Событие А называется независимым от другого события В, если вероятность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет. В противоположном случае событие А называется зависи­мым от события В. Следовательно, если события А и В независи­мые, то Р(А/В) = Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность дру­гого при условии, что первое произошло:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р{А/В}

Вероятность произведения независимых событий равна:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В)

Вероятность произведения n случайных событий равна произ­ведению вероятности одного из них на условные вероятности ос­тальных, вычисленных при условии, что все предшествующие со­бытия произошли.

Правило сложения вероятностей двух событий гласит, что вероятность наступления хотя бы од­ного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Если события несовместны, то правило сложения вероятностей принимает вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Если несовместные события составляют полную группу, т. е.

А1 + А2 + ... + Ап = µ § и Аi * Аj = µ §, i Ѓ‚ j, то

µ §.

Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Случай­ной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое имен­но. Если повторять испытания, то результатом каждого будет ка­кое-либо одно значение случайной величины из множества воз­можных.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непре­рывные.

Множество значений дискретной случайной величины конечно или счетно, например: количество отказов автомобилей автопредприятия в течение ра­бочей смены; число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение од­ного часа получать заработную плату, и т. д.

Множество значений непрерывной случайной величины пред­ставляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-ли­бо интервалу числовой оси, например: расход топлива на километр пробега; время безотказной работы автомобиля и т. д.

Кроме дискретной и непрерывной случайных величин встреча­ются случайные величины смешанного типа, для которых наряду с участками непрерывных значений имеются отдельные, изолиро­ванные значения.

Закон распределения случайной величины представляет собой соотношение, позволя­ющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале.

Основными формами закона распределения являются: ряд рас­пределения, функция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой пере­числены возможные значения случайной величины и соответству­ющие им вероятности:

XiX1X2X3ЎK.XnPiP1P2P3ЎK.PnВ таблице Xi - i-е значение случайной величины Х; Pi - вероят­ность появления i-го значения случайной величины X. При этом µ §

Эмпирический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены наблюдаемые значения (фактические реали­зации) случайной величины и соответствующие им частоты:

XiX1X2X3ЎK.Xnmim1m2m3ЎK.mnВ таблице xi ЎЄ i-я фактическая (наблюдаемая) реализация случай­ной величины Х; mi ЎЄ количество появлений (частота) величины хi.

Ряды распределения, образованные из значений случайной ве­личины, характеризующей качественный признак, называются ат­рибутивными. Ряды распределений, образованные из значений слу­чайной величины, характеризующей количественный признак яв­ления (события), называются вариационными.

Ряд распределения не может служить характеристикой непре­рывной случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечислить, так как множество их несчетно. Кроме того, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величи­ны равна нулю.

Для характеристики непрерывной случайной величины опреде­ляют вероятность появления значения случайной величины мень­шего x, где x ЎЄ текущая переменная, т. е. определяют вероятность события X < х. Вероятность этого события зависит от x, т. е. явля­ется функцией х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = Р(Х < х)

Таким образом, функцией распределения случайной величины X называется функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина X примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [а, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:

µ §.

Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в от­дельных случаях функция может иметь скачки ЎЄ разрывы. Функ­цию распределения дискретной случайной величины можно опре­делить, зная ее ряд распределения, по формуле:

µ §.

где суммирование распространяется на значения хi которые меньше х.

Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя ис­пользовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления слу­чайной величины в пределах малого интервала [х, х + Дх), примы­кающего к x. Разделив эту вероятность на длину интервала Дх, на­ходят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который явля­ется плотностью распределения в точке х:

µ §.

Плотность распределения f (х) есть предел отношения вероятно­сти попадания случайной величины на малый участок и длины это­го участка при ее неограниченном уменьшении.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок [a, b) равна:

µ §.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, т. е.

µ §.

Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность достоверного события - попадания случайной величины на участок от - Ѓ‡ до Ѓ‡, а значит, ра­вен единице.

График плотности распределения называется кривой распределе­ния, лежащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице (рис. 1.1).


Рис. 1.1. График плотности распределения (кривая распределения)
Вероятность попадания на участок [а, b) равна площади огра­ниченной кривой распределения, опирающейся на участок [а, b).

Плотность распределения есть производная функции распреде­ления. С другой стороны:

µ §

откуда µ §.

Величину F (x) называют интегральной функцией распределения X. Величина f (x) ЁC дифференциальная функция распределения случайной величины X. Для оценки особенностей законов распределения случайных величин определяют числовые характеристики этих велчин.
Пример 1.1. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение

Пусть А ЁC событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката; В ЁC событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.

Вероятность события А: Р(А) = 5/100 = 0,05

Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем условную вероятность: Р(В/А) = 4/99 = 0,04.

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий: Р(АВ) = (5/100) *(4/99) = 1/495 = 0,002.