средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
µ §
среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
µ §
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
µ §
Пример 1.11. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность µ § = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик: вероятности состояний системы (поста диагностики); среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди); среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди); среднее число автомобилей в очереди на обслуживании; среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
Решение
Параметр потока обслуживания µ § и приведенная интенсивность потока автомобилей µ §определены в примере 1.10:
µ §= 0,952; µ § = 0,893.
Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P0 = 1 - µ § = 1- 0,893 = 0,107;
P1 = (1-µ §) •µ § = (1 - 0,893) • 0,893 = 0,096;
P2 = (1-µ §) • µ § = (1 - 0,893) • µ § = 0,085;
P3 = (1-µ §) • µ § = (1 - 0,893) •µ § = 0,076;
P4 = (1-µ §) • µ § = (1 - 0,893) • µ § = 0,068;
P5 = (1-µ §) • µ § = (1 - 0,893) • µ § = 0,061 и т. д.
Следует отметить, что P0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как P0= 0,107.
Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
µ §
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе (час):
µ §
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
µ §
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди (час):
µ §
Относительная пропускная способность системы:
q = 1
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность:
µ §
В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока µ §, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/µ §. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.3
µ §µ §µ §µ §µ §µ §
µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §
µ §µ §µ §µ §µ §µ §
Рис. 1.15. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 ЎЄ все каналы свободны;
S1ЎЄ занят один канал, остальные свободны;
ЎKЎKЎKЎKЎK.
Sk ЁC заняты ровно k каналов, остальные свободны;
ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK
Sn ЁC заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.
Начальные условия решения системы таковы:
P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = ЎK = Pk(0) = ЎK = Pn(0) = 0
Стационарное решение системы имеет вид:
µ §
где µ §
Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами Эрланга.
Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:
вероятность отказа (заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Pотк характеризует полноту обслуживания входящего потока):
µ §
вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же ЎЄ относительная пропускная способность системы q) дополняет Pотк до единицы:
µ §
абсолютная пропускная способность:
µ §
среднее число каналов, занятых обслуживанием (µ §) следующее:
µ §
Величинаµ § характеризует степень загрузки СМО.
Пример 1.12. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность µ § = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания µ § = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Требуется вычислить финальные значения: вероятности состояний ВЦ; вероятности отказа в обслуживании заявки; относительной пропускной способности ВЦ; абсолютной пропускной способности ВЦ; среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Решение
1. Определим параметр µ § потока обслуживаний:
µ §
2. Приведенная интенсивность потока заявок:
µ §
3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:
µ §µ §
4. Вероятность отказа в обслуживании заявки:
µ §
5. Относительная пропускная способность ВЦ:
µ §
6. Абсолютная пропускная способность ВЦ:
µ §
7. Среднее число занятых каналов ЎЄ ПЭВМ:
µ §
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех ЎЄ остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P3ЎЄ 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных µ § и µ § можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями µ § и µ § соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/µ.
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений, решение которой имеет вид:
µ §µ §
µ §
µ §где
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:
вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам:
µ §µ §
µ §
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
µ §
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
µ §
µ §средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
µ §
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример 1.13. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, ЎЄ пуассоновский и имеет интенсивность µ § = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно µ § = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы: вероятности состояний системы; среднее число заявок в очереди на обслуживание; среднее число находящихся в системе заявок; среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди; среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
µ §Определим параметр потока обслуживаний:
µ §Приведенная интенсивность потока заявок:
при этом µ §
Поскольку µ §, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:
µ §
µ §
µ §
Вероятность отсутствия очереди у мастерской:
µ §
Среднее число заявок и очереди ни обслуживание:
µ §
Среднее число находящихся в системе заявок:
µ §
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание (суток): µ §
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (суток):
µ §
Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Статистические показатели. Средние величины и изучение вариации
Статистический показатель ЁC это обобщающая характеристика какого-то свойства совокупности, группы. Этим он отличается от индивидуальных значений, которые называются признаками (например, средняя продолжительность ожидаемой жизни родившегося поколения в стране ЁC статистический показатель, а продолжительность жизни конкретного человека ЁC признак). Статистический показатель имеет указание на территориальные границы объекта и границы во времени.
Объектами статистического исследования могут быть самые разнообразные явления и процессы. Поэтому чрезвычайно велико и разнообразие статистических показателей.
Показатели конкретных свойств изучаемого объекта ЁC это, например, средний возраст работников предприятия, объем реализованной продукции предприятия, валовой внутренний продукт государства и т.д. Особенностью этих показателей является то, что они формируются не только статистикой. В построении этих показателей их качественное содержание определяется конкретной предметной наукой: показатель рождаемости ЁC демографией, показатель внутреннего валового продукта ЁC теорией экономики.
Качественный экономический анализ должен быть основан не на отдельных показателях, а на системе показателей. При этом нужно следовать определенным принципам их построения. Особые сложности возникают, когда показатель должен обобщить разнонаправленные значения (положительные, отрицательные, нулевые).
Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.
Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным (например, средняя заработная плата, средний доход и т.д.). Формула средней арифметической величины имеет вид:
µ §,
где µ § ЁC средняя величина;
n ЁC численность совокупности.
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной (µ §кв). Ее формула такова:
µ §
Пример 2.1. Имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: Х1 = 100м, Х2 = 200 м, Х3 = 300 м. Найти среднюю длину участка.
Решение
Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+200+300)/3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна 3*(200 м)2 = 120 000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (100м)2+(200м)2+(300м)2 = 140000м2. Правильный ответ дает квадратическая средняя:
µ §
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменными произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:
µ §
Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста.
Пример 2.2. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Каков средний темп роста цены за год?
Решение
Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в (2+3)/2 = 2,5 раза, то за два года цена возросла бы в 2,5*2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: µ § раза.
Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.
Пример 2.3. Максимальный размер выигрыша в лотерее составляет 1 000 000 руб., а минимальный ЁC 100 руб. Какую величину выигрыша можно считать средней?
Решение
Средняя арифметическая явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и 1 000 000 руб., крупный, никак не средний выигрыш ЁC он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: µ §
Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Формула ее такова:
µ §
Пример 2.4. Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком со скорость 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?
Решение
Пусть расстояние перевозки составляло S км. Никакой роли при расчете средней скорости величина S не играет. При замене индивидуальных значений скорости Х1 = 60 и Х2 =40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время, затраченное на обе поездки.
Время поездок есть S/X1 + S/X2. Итак, S/Xср + S/Xср = S/X1 + S/X2. Сократив все члены равенства на S, получим: 1/Xср + 1/Xср = 1/X1 + 1/X2 , т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя Х1 и Х2, получаем Хср = 48 км/ч
Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, так как приводит к другому времени движения, чем на самом деле.
Существует следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:
µ §
Индексы
В статистике индексы пользуются в качестве показателей изменений. Индекс ЁC это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов). Индексы измеряют изменения сложных явлений. С их помощью можно не только дать обобщенную оценку изменения, но и выявить роль отдельных факторов.
|
