Рис. 2.2. Зависимость удойности от затрат на содержание коров
Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограниченной совокупности (по выборке), являются лишь оценками той или иной статистической закономерности, поскольку в любом параметре сохраняется элемент не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значения признаков. Поэтому необходима статистическая оценка степени точности и надежности параметров корреляции. Под надежностью здесь понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не включает в себя величины противоположных знаков.
Вероятностная оценка параметров корреляции проводится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии bсредняя ошибка оценки вычисляется как:
µ §,
где µ § - расчетные значения результативного признака для i-й единицы;
n-2 ЁC число степеней свободы (теряются 2 степени свободы, поскольку линейная парная регрессия имеет два параметра).
Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии можно вычислить вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интервал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью находится отношение коэффициента к его средней ошибке, т. е.t-критерий Стъюдента
µ §.
Расчетное значение t-критерия Стъюдента сравнивается с табличным (таблицы в справочной литературе «Значения t-критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10; 0,05; 0,01»).
Если полученное (расчетное) значение критерия намного больше табличного, то вероятность нулевого значения коэффициента регрессии меньше 10%, 5% или 1 % (в зависимости от выбранного уровня значимости), и, соответственно, в сконструированной регрессионной модели влияние фактора-аргумента х на фактор-результат y существенно.
Пример 2.7. На основе данных из примера 2.6 вычислим среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии:
µ §
Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии, вычислим вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интерал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью найдем соотношение коэффициента к его средней ошибке, т.е. t-критерий Стъюдента:
µ §
Табличное значение t-критерия Стьюдента при 16-2 степенях свободы и уровне значимости 0,01 (см. таблицы «Значения t-критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10; 0,05; 0,01») составляет 2,98. Полученное значение критерия намного больше, следовательно, вероятность нулевого значения коэффициента регрессии менее 0,01. Гипотезу о несущественности этого коэффициента можно отклонить: данные табл. 2.2 надежно говорят о влиянии вариации затрат на 1 корову на вариацию надоя молока от коров.
Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии
Уравнение регрессии применимо и для прогнозирования возможных ожидаемых значений результативного признака. При этом следует учесть, что перенос (экстраполяция) закономерности связи, измеренной в варьирующей совокупности в статике на динамику не является, строго говоря, корректным и требует проверки условий допустимости такого решения, которое выходит за рамки статистики и может быть сделано только специалистом, хорошо знающим объект (систему) и возможности его развития.
Ограничением прогнозирования на основе регрессионного уравнения, тем более парного, служит условие стабильности или по крайней мере малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится «внешняя среда» протекающего процесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака потеряет свое значение.
При таком прогнозировании следует соблюдать еще одно ограничение: нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличающиеся от входящих, в базисную информацию, по которой вычислено уравнение регрессии. При качественно иных уровнях фактора, если они возможны в принципе, параметры уравнения были бы другими. Можно рекомендовать при определении значений факторов не выходить за пределы 1/3 размаха вариации как минимального, так и максимального значения признака-фактора, имеющегося в исходной информации.
Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значением средней ошибки прогноза, или доверительным интервалом прогноза, с достаточно большой вероятностью. Средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при значении факторного признака, равном xk, вычисляется следующим образом:
µ §
где µ § - средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при x=xk;
µ § ЁC оценка среднего квадратического отклонения результативного признака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации;
xk ЎЄ ожидаемое значение фактора;
µ § ЁC среднее значение фактора по совокупности;
n ЎЄ объем выборки.
µ §
Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента (табличное значение при различных степенях свободы и уровне значимости).
Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза положения линии регрессии и среднего квадратического отклонения индивидуальных значений от линии регрессии (остаточной вариации), т.е.
µ §
Главным источником ошибки (неопределенности) прогноза индивидуальных значений является не столько неопределенность прогноза линии регрессии, сколько значительная вариация надоев за счет других факторов, кроме входящих в уравнение регрессии.
Пример 2.8. Рассчитать точечный прогноз и доверительные границы прогноза индивидуальных значений надоя молока на 1 корову при расходе 2200 руб. на 1 голову (по данным примера 2.6).
Прогнозируемое значение результативного показателя получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины факторного признака. Так, если подставить в уравнение µ §= 0,0347x - 20,49 расход средств на одну корову, равный 2200 руб., то получим ожидаемый надой молока от коровы, равный 55,85 ц.
Сопроводим полученный точечный прогноз доверительным интервалом прогноза. По данным табл. 2.2 находим µ §:
µ §.
При xk = 2200 руб. на 1 голову имеем:
µ §
Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента. При 14 степенях свободы и доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) значение t-критерия равно 2,14. Получаем доверительные границы: 55,85 ± 2,629 *2,14, или от 50,22 до 61,48 ц от 1 коровы. Интервал довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии связана с малым объемом выборки. При объеме совокупности, равном 400, и той же вариации надоев ошибка прогноза была бы в 5 раз меньше и доверительный интервал был бы уже.
Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения:
µ §
Доверительные границы прогноза индивидуальных значений надоя молока на 1 корову при расходе 2200 руб. на 1 голову составляют с вероятностью нахождения внутри границ, равной 0,95:
55,85 ± 4,568 *2,14, или от 46,07 до 65,63 ц.
Нелинейная регрессия
Если между общественными и экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.
Различают два класса нелинейных регрессий:
регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:
полиномы разных степеней: µ §;
равносторонняя гипербола: µ §.
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
степенная µ §
показательная µ §
экспоненциальная µ §
Нелинейная регрессия по включенным параметрам не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени
µ §,
заменив переменные х=х1, х2=х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:
µ §,
для оценки которого используется метод наименьших квадратов.
Соответственно, для полинома третьего порядка
µ §
при замене х=х1, х2=х2, х3=х3, получим трехфакторную модель линейной регрессии
µ §.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях ЁC полином третьего порядка. Ограничения в применении полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, меньше однородность совокупности по результативному признаку.
Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:
µ §.
Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемы, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.
При b>0 и c<0 кривая симметрична относительно высшей точки, т.е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста ЁC с увеличение возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дельнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается максимум.
Пример 2.9. Потребление товара А (единиц) в зависимости от уровня дохода семьи (тыс. руб) характеризуется уравнением вида µ §. Найдем величину дохода, при котором потребление максимально.
Приравняем к нулю первую производную µ §. Отсюда x=3 (тыс. руб).
При b<0 и c>0 парабола второго порядка симметрична относительно своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т.е. снижение на рост. Например, зависимость от объема выпуска продукции затрат на производство, зависимость урожайности от количества внесенных удобрений.
Ввиду симметричности кривой параболу второй степени не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной.
В классе нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, хорошо известна равносторонняя гипербола µ §. Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микро-, но и на макроуровне. Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y: µ §.
Если в уравнении равносторонней гиперболы заменить µ § на z, получим линейное уравнение регрессии µ §, оценка параметров которого может быть дана МНК.
При b > 0 имеем обратную зависимость, которая при xЎжµ § характеризуется нижней асимптотой, т.е. минимальным предельным значением y, оценкой которого служит параметр a. Так, для кривой Филлипса µ § величина параметра а, равная 0,00679 означает, что с ростом безработицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соответственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором заработная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.
При b < 0 имеем повышающуюся функцию с верхней асимптотой при хЎжµ §, т.е. максимальным предельным уровнем y, оценку которого в уравнении дает параметр a. Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривой Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность ЁC с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно, с увеличением дохода доля расходов на непродовольственные товары будет возрастать. Однако этот рост не беспределен, ибо сумма долей на все товары не может быть больше 100%, а на отдельные непродовольственные товары данный предел может соответствовать величине параметра a для уравнения вида
µ §,
где µ § - доля расходов на непродовольственные товары;
х ЁC доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).
Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно возможной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г. Лизер для этих целей применили полулогарифмическую кривую
µ §.
Заменив µ § на z, вновь получим линейное уравнение µ §. Данная функция линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей переменной х. Оценка параметров a и b может быть найдена МНК.
Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко используется степенная функция
µ §,
где y ЁC спрос (количество);
х ЁC цена;
µ § - случайная ошибка.
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приводит его к линейному виду: µ §
Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены МНК.
Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей итеративной процедуры.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция µ §. Это связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т.е. является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида µ §, то, следовательно, с увеличением цена на 1% спрос снижается в среднем на 1,12%.
|
