В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:
µ §.
Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению µ §+b*µ §.
Уравнение вида µ § характеризует прямую зависимость результативного признака от фактора. Оно целесообразно при очень медленном повышении уровня результативного признака и росте значений фактора.
Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
Множественная регрессия и корреляция
Спецификация модели. Отбор факторов для построения модели
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Вместе с тем исследователь никогда не может быть уверен в справедливости данного предположения. Например, для того, чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.
Общий вид многофакторного уравнения регрессии следующий:
µ §,
где k ЁC число факторных признаков (независимых переменных).
Коэффициенты условно чистой регрессии bj ЁC частные производные потребления y по соответствующим факторам xj:
µ § , µ §
в предположении, что все остальные xj постоянны.
Свободный член уравнения вычисляется по формуле:
µ §.
Термин «коэффициент условно-чистой регрессии» означает, что каждая из величин bj измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора хj ЁC от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях (не изменяются, не варьируют).
Таким образом, в отличие от коэффициента парной регрессии коэффициент условно-чистой регрессии измеряет влияние фактора, абстрагируясь от связи вариации этого фактора с вариацией остальных факторов. Если было бы возможным включить в уравнение регрессии все факторы, влияющие на вариацию результативного признака, то величины можно было бы считать мерами чистого влияния факторов.
Включить все факторы в уравнение регрессии невозможно, так как: 1) часть факторов может быть неизвестна современной науке, познание любого процесса всегда неполное; 2) по части известных теоретически факторов нет информации либо таковая ненадежна; 3) численность изучаемой совокупности (выборки) ограничена, что позволяет включить в уравнение регрессии ограниченное число факторов.
Факторы, включаемые в уравнение множественной регрессии, должны отвечать следующим требованиям:
быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то нужно придать ему количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модель стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости: районы могут быть проранжированны);
не должны быть коррелированны между собой и тем более находиться в точной функциональной связи.
Многофакторная система требует уже не одного, а множества показателей тесноты связей, имеющих разный смысл и применение. Основой измерения связей является матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 2.3).
Таблица 2.3
Матрица парных коэффициентов корреляции (общий вид)
ПризнакУХ1ЎKХкУ1Х1µ §1.ЎKЎK.µ §µ §1.Хкµ §µ §µ §1
По этой матрице можно судить о тесноте связи факторов с результативным признаком и между собой. Хотя все эти показатели относятся к парным связям, все же матрицу можно использовать для предварительного отбора факторов для включения их в уравнение регрессии. Не рекомендуется включать в уравнение факторы, слабо связанные с результативными признаками, но тесно связанные с другими факторами. Совершенно недопустимо включать в анализ факторы, функционально связанные друг с другом, т.е. с коэффициентом корреляции, равным (или близким) 1. Включение таких пар признаков приводит к вырожденной матрице коэффициентов корреляции и неопределенности решения.
Выбор формы уравнения регрессии. Оценка параметров уравнения множественной регрессии
Коэффициенты условно-чистой регрессии bj являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравнимы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные показатели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициента парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным коэффициентом регрессии или в-коэффициентом
µ §
Данный в-коэффициент при факторе xj определяет степень влияния вариации фактора xj на вариацию результативного признака у при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.
Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:
µ §
Коэффициент эластичности фактора xj говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на ej процентов от µ § . Чаще интерпретируют и употребляют коэффициенты эластичности в терминах динамики: при увеличении фактора на 1% его средней величины результативный признак увеличится на ej процентов его средней величины.
На основе данной матрицы вычисляется общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным признаком ЁC коэффициент множественной детерминации R2.
µ §
µ §
µ §
где rij ЁC парные коэффициенты корреляции.
Если же учесть конечность объема совокупности n, число факторов k, а также свойство метода, по которому по мере приближения числа k к числу n коэффициент детерминации автоматически приближается к 1 и достигает ее при k=n-1 независимо от реальной роли факторов, то необходимо корректировать коэффициент множественной детерминации на потерю степеней свободы вариации:
µ §
Корректированный коэффициент детерминации ниже, чем некоррелированный, причем разность их значений тем меньше, чем меньше факторов входит в уравнение регрессии. Если из числа факторов исключить факторы, слабо связанные с результативным признаком (т.е. низким значением µ §, например, µ § < 0,1), то некорректированный коэффициент детерминации немного уменьшится (он всегда уменьшается при исключении части факторов), но корректированный коэффициент может даже возрасти за счет уменьшения разности между R2 и корректированным R2.
Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d2j).
µ §
µ §
Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровождать вероятностными оценками и проверять их надежность, так как это необходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогнозировании развития определенной системы.
Средняя ошибка условно-чистого коэффициента регрессии bp для фактора Xp имеет вид:
µ § ,
где Syост ЁC оценка остаточного среднего квадратического отклонения результативного признака с учетом степеней свободы вариации:
µ § ,
где Sxp ЁC оценка среднего квадратического отклонения признака хр:
µ §,
где R2Xp,X1ЎKXp-1,Xp+1ЎKXk ЁC коэффициент множественной детерминации для фактора Xp.
Для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения t-критерия Стьюдента, сравниваются с критическими. t-критерий Стьюдента рассчитывается по формуле:
µ §
Пример 2.10. Построить на основе данных таблицы 2.4 корреляционно-регрессионную модель, где фактор-результат (Y) ЁC это объем рекламного рынка в России в течение 1996 ЁC 2009 годов, влияющие факторы ЁC среднедушевые денежные доходы населения (X1), объем инвестиций организационно-правовых структур (X2).
Рассчитаем параметры уравнения множественной регрессии, коэффициенты парной корреляции, коэффициент детерминации, доверительный интервал с помощью инструментария MS Excel в режиме «Анализ данных» («Описательная статистика», «Регрессия», «Ковариация», «Корреляция»).
Для данной задачи уравнение множественной регрессии будет иметь вид:
Y = 0,89 Х1 + 1,84 Х2 - 4,04
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в период 1996 - 2009 гг. объем рынка рекламы России в среднем по совокупности возрастал на 890 млн рублей в год при увеличении среднедушевого дохода населения в год на одну тысячу рублей, на 1840 млн рублей при увеличении инвестиций в основной капитал на душу населения в одну тысячу рублей.
Коэффициенты уравнения регрессии (b1=0,89, b2=1,84) показывают изменение среднего по совокупности отклонения результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора xj (j=1,2) от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях.
Свободный член выполняет роль доводки до функционального соотношения между средними величинами и экономического смысла не имеет. Отрицательная величина свободного члена подразумевает, что нулевые значения факторов в производстве невозможны.
Таблица 2.4
Динамика изменения объемов рынка рекламы, среднедушевых денежных доходов населения, объема инвестиций в основной капитал в России в течение 1996 ЁC 2009 годов
Год Объем рынка рекламы, млрд руб.,
Y
Среднедушевые денежные доходы населения в год, тыс. руб.,
X1Инвестиции в основной капитал на душу населения, тыс. руб.,
X219963,819,2282,55119976,7211,2922,782199813,6312,0962,778199915,0119,564,606200025,0127,3727,949200141,0336,74410,308200269,3947,36412,129200388,7262,0415,1242004111,0276,9219,9212005142,3097,34425,2322006176,30122,35233,1962007228,70151,21246,6302008267,00158,77361,7242009174,67157,18449,380Сумма1363,31991,070294,310Среднее 97,379370,79121,022Дисперсия 7728,243263,068381,504Стандартное отклонение87,9104157,123
19,532Источник. Цуканова О.А. Формирование системы стратегического управления социально-экономическим развитием продуцентов рекламно-издательских услуг в мегаполисе.
Для получения сравнимых относительных показателей рассчитывают стандартизированный коэффициент регрессии или ѓТ-коэффициент (табл. 2.5). ѓТj-коэффициент при факторе xj определяет степень влияния вариации фактора xj на вариацию результативного признака y при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.
Коэффициенты регрессии также могут быть выражены в виде относительных сравнимых показателях связи ЁC коэффициентах эластичности (ej).Данные коэффициенты показывают, на сколько результативный признак отклонится от своего среднего значения при отклонении фактора Xj от средней величины на 1% (табл. 2.4).
На основе данных табл. 2.5 можно сделать вывод о том, что более значительное влияние на вариацию объема рынка рекламы в России оказывает фактор X1 - среднедушевые денежные доходы населения в год (0,578 > 0,409). При отклонении среднедушевых денежных доходов населения в год на 1% или инвестиций в основной капитал на душу населения на 1% уровень объема рекламы в России изменится на 0,65%, и 0,40% соответственно.
Таблица 2.5
Сравнительная сила влияния факторов-аргументов на фактор-результат (объем рынка рекламы)
Факторы XjѓТj (стандартизированный коэффициент регрессии)Ej (коэффициент эластичности)Х1 (среднедушевые денежные доходы населения в год, тыс. руб.) 0,5780,65Х2 (инвестиции в основной капитал на душу населения, тыс. руб.)0,4090,40
Основой измерения связей в многофакторной системе является матрица парных коэффициентов корреляции.
Таблица 2.6
Матрица парных коэффициентов корреляции
ПризнакУ (объем рынка рекламы, млрд руб.)Х1 (среднедушевые денежные доходы населения в год, руб.)Х2 (инвестиции в основной капитал, млн руб.)У1Х10,971Х20,970,981
На основе матрицы парных коэффициентов корреляции (табл. 2.6) вычисляется общий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным признаком ЁC коэффициент множественной детерминации R2.
Для данной задачи коэффициент множественной детерминации составляет 0,95 и представляет собой отношение части вариации результативного признака, объясняемой за счет вариации входящих в уравнение факторов, к общей вариации результативного признака за счет всех факторов. Таким образом, два фактора, включенные в уравнение регрессии, объясняют 95% вариации уровня объемов рекламы в России. Коэффициент корреляции равен 0,97, следовательно, связь между факторами является очень сильной.
Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d2). Для конкретного расчета d21 составляет 56%, d22 - 39%. При этом можно отметить, что совокупное влияние всех факторов, входящих в уравнение регрессии не равно сумме влияния каждого из них.
Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровождать вероятностными оценками и проверять их надежность, так как это необходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогнозировании развития определенной системы. Для этого рассчитывается (табл. 2.7) средняя ошибка коэффициента регрессии, для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения t-критерия Стьюдента сравниваются с критическими (табличными).
На основе данных табл. 2.7 можно сделать вывод о том, что расчетное значение t-критерия Стьюдента больше критического при уровне значимости 0,05 для всех коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции. Следовательно, коэффициент корреляции с очень большой вероятностью больше нуля, и связь установлена надежно. Также надежно установлено, что генеральное значение коэффициентов b1 и b2 не является нулевым, влияние (условно-чистое) факторов Х1 и Х2 на вариацию Y существенно. Величина b0 оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели факторов Х1 и Х2) факторов на результат Y.
Таблица 2.7
Определение средней ошибки, доверительных интервалов для параметров корреляционно-регрессионной модели
Статистические параметрыКоэффициенты регрессииb1b2b0 Коэффициент множественной регрессииСредняя ошибка (mbp)0,451,3289,080,07Расчетный t-критерий Стьюдента (tp)1,951,380,4413,5Критический t-критерий Стьюдента при 11 степенях свободы при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01.0,100,050,011,79592,20103,1058
Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция» представлены в Приложении 1 учебного пособия.
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
3.1. Линейное программирование
3.1.1. Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования
Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:
µ § (3.1)
µ §µ §,µ § (3.2)
µ §µ § (3.3)
µ § (3.4)
При этом система линейных уравнений (3.2) и неравенств (3.3), (3.4), определяющая допустимое множество решений задачи µ §, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функцияµ § называется целевой функцией или критерием оптимальности.
|
