Приложение 1
Физические основы механики. Основные понятия, определения и законы
Кинематика и динамика
Механика – раздел физики, в котором изучается механическое движение, причины, вызывающие это движение, и происходящие при этом взаимодействия между телами.
Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей (частиц) в пространстве.
Кинематика – раздел механики, в котором изучают геометрические свойства движения и взаимодействия тел в не связи с причинами их порождающими.
Физические модели (научные абстракции) классической механики:1) материальная точка – протяженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, обладающее массой. Понятие применимо при поступательном движении или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс;
2) абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого в процессе движения остается неизменным. Применимо, когда можно пренебречь деформацией тела;
3) сплошная изменяемая среда – понятие применимо при изучении движения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа), когда можно пренебречь молекулярной структурой среды.
Система единиц измерения физических величин – совокупность основных и производных эталонов. В настоящее время предпочтительной во всех областях науки и техники является система СИ.
В системе СИ единицами измерения являются: 1) основные – единица измерения длины (L) – 1 м; единица измерения массы (M) – 1 кг; единица измерения времени (T) – 1 с; единица измерения температуры (Т) – 1 К; единица измерения силы тока (I) – 1 А; единица измерения силы света (I) – 1 св.;
2) дополнительные – единица измерения плоского угла – 1 рад; единица измерения телесного угла – 1 стерад.
Тело отсчета – произвольно выбранное, условно неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела.
Система отсчета – произвольная система координат, связанная с телом отсчета, например: а) прямоугольная, трехмерная система координат, в точке пересечения осей которой помещают тело отсчета; б) полярная система координат, положение материальной точки (тела) в которой задается радиус – вектором
r и углами , .
Траектория движения – совокупность последовательных положений материальной точки (тела) в процессе ее движения.
Поступательное движение – движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. При этом все точки тела описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.
Положение материальной точки (тела) в прямоугольной системе отсчета в данный момент времени может быть определено: с помощью координат x, y, z – M(x,y,z); с помощью радиус – вектора
r и естественным (траекторным) способом (рис. П1. 1).
Уравнения движения материальной точки (тела) в кинематике:x = f
1(t); y = f
2(t); z = f
3(t);
r
x = f
1(t); r
y = f
2(t); r
z = f
3(t),
где x, y, z – координаты;
r
x, r
y, r
z – проекции радиуса вектора
r на соответствующие оси координат.
Основные понятия и определения кинематики материальной точки и твердого тела, движущегося поступательно:1) перемещение (рис. П1.2) – вектор
r, проведенный из начального положения материальной точки (тела) в положение этой точки в данный момент времени (приращение радиус-вектора за рассматриваемый промежуток времени):
r =
r1 –
r2.
2) элементарное перемещение d
r – бесконечно малое перемещение, которое с достаточной степенью точности совпадает с соответствующим участком траектории движения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения численно равен пройденному пути:
r= S;
3) путь – расстояние, пройденное телом при его движении по траектории. В частных случаях перемещение и путь могут совпадать;
4) мгновенная линейная скорость – векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, равная первой производной от перемещения по времени:
;
5) средняя скорость неравномерного движения – скалярная физическая величина, численно равная отношению всего пути, пройденного телом (материальной точкой), к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение:;
6) линейное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, равная первой производной от скорости или второй производной от перемещения по времени:
;
7) тангенциальное ускорение аt – составляющая ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения. Изменяет линейную скорость только по величине:
;
8) нормальное ускорение an – составляющая линейного ускорения, направленная по нормали
n к вектору линейной скорости, т.е. к касательной в данной точке:
,
где R – радиус кривизны траектории движения;
n – единичный вектор нормали к траектории движения;
9) полное ускорение a:.
10) среднее ускорение при неравномерном движении.
Принцип относительности Галилея (в классической механике) – никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами, не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета. Предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета.
Преобразования Галилея определяют положение произвольной материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется со скоростью
vo относительно другой (при условии, если направление скорости
v0 совпадает с направлением
ro):
r = r' + r0 = r'
+ vot; t = t
',
где
r и
r' – радиус-векторы, определяющие положение материальной точки в неподвижной и подвижной системе отсчета в данный момент времени;
ro – радиус вектор, определяющий положение начала координат системы К
' (подвижной) в системе К (неподвижной).
В проекциях на оси координат в произвольный момент времени t положение выбранной точки в системе К можно определить так:x = x
' + v
0xt, x
' = x – v
0xt,
у = у
' + v
0уt, у
' = у – v
0уt,
z = z
' + v
0zt, z
' = z – v
0zt,
t = t
'. t = t
'.
Ковариантные или инвариантные уравнения – уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчета.
Закон сложения скоростей в классической механике:v =
v' +
v0.
Относительное расстояние между выбранными точками пространства в системах отсчета определяется соотношением – они абсолютны, т.е. инвариантны:
1) в подвижной:;
2) в неподвижной:.
Инварианты преобразований – инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором какие-либо две его точки остаются неподвижными
в процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, – ось вращения; все остальные точки твердого тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси (рис. П1.3).
Основные кинематические характеристики вращательного движения (рис. П1.4):1) угол поворота
– угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса
R;
2) угловая скорость – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:
.3) угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно – в случае замедленного:
Период вращения (T) – время, в течение которого тело совершает один полный оборот.
Частота вращения (n) – число оборотов, совершаемых в единицу времени.
Круговая (циклическая) частота ω – число оборотов, совершаемых за время, равное 2π.
Связь между периодом, частотой и круговой частотой:ω = 2π n = 2π / T; n = 1 / T.
Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениямиКолебательные движения (колебания) – движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.
Гармонические колебания (простейший вид колебаний) – движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. П1.5):
x = x
0sin (
0t +
0),
где x – смещение это удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;
x
0 – амплитуда колебаний это максимальное удаление материальной точки от положения равновесия;
(t +
0) – фаза колебаний. Периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t;
0 – начальная фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в начальный момент времени t = 0;
= 2 / T = 2 n – круговая (циклическая) частота колебаний;
T – период колебаний;
n – частота колебаний.
Скорость при гармоническом колебательном движении (колебательная скорость) – физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:
.
Ускорение при гармоническом колебании – физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:
.
Знак «минус» означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
Сложение гармонических колебаний одного направления (рис. П1.6) с одинаковыми амплитудами и частотами (x
01 = x
02;
1 =
2 = = ), но разными начальными фазами (
02
01) проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид
где
– амплитуда результирующего колебания;
– фаза результирующего колебания.
Биения возникают при сложение колебаний одного направления (рис. П1.7), с одинаковыми амплитудами (x
02 = x
01), начальными фазами
01 =
02 = 0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (
1
2). Уравнения таких колебаний имеют вид
x
1 = x
01sin
1t; x
2 = x
01sin
2t.
Уравнение результирующего колебания:,
где
– амплитуда результирующего колебания, которая зависит от =
1 –
2 – разности частот складываемых колебаний;
– смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону.
Частота и период результирующего колебания:Частота и период изменения амплитуды в этом случае:Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу (рис. П1.8):
1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (1 = 2 = ), различными амплитудами (x0 y0) с начальными фазами 1 = 2 = 0 – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – прямая линия, уравнение которой имеет вид
y = (y
0/x
0)x.
2) сложение колебаний, начальные фазы 1 и 2 которых отличаются на /2 (1 – 2 = /2) – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x
0 = y
0 – траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными x
0 и y
0, уравнение которого
(y/y
0)
2 + (x/x
0)
2 = 1;
3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа – через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.
Основная задача динамики – для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.
Масса m – физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой.
Центр масс (или центр инерции) системы – воображаемая точка
С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус-вектором:
,
где m
i и
ri – соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;
n – число материальных точек в системе.
Скорость центра масс,
где
– полный импульс системы.
Импульс p (количество движения) – физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость:
p = m
v.
Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:
p = m
vc.
Покой – частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v = 0.Инерция – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона (их уравнения и все следствия).
Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.
Первый закон Ньютона: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока равнодействующая всех приложенных сил равна нулю».
Сила F – векторная физическая величина, характеризующая воздействие одних тел на другие. В результате действия силы изменяется состояние движения тела (тело приобретает ускорение) или тело деформируется.Сила F в механике – мера механического действия на данное материальное тело (данную материальную точку) других тел (других материальных точек) или полей.
Закон независимости действия сил: при действии на тело нескольких сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила, если бы действовала одна.
Принцип суперпозиции сил – допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что воздействия взаимно не влияют друг на друга. Он применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями.
Сложение нескольких сил, действующих одновременно на материальную точку (тело, систему) производится геометрически. Действие нескольких сил можно заменить действием одной силы, которая называется равнодействующей (рис. П1.9):
;
.
Условие равновесия сил:.
На рисунке П1.10 показано равновесие сил, лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Рисунок П1.11 соответствует равновесию сил, не лежащих в одной плоскости, действующих на материальную точку. Две силы, действующие под углом на одну материальную точку, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях.
Так же и три силы, не лежащие в одной плоскости, не могут уравновесить друг друга ни при каких условиях (рис. П 1.12).
Ускорение в динамике a – результат действия силы.
Ускорение материальной точки в инерциальных системах отсчета К и К' одинаково:
;
a =
a'.
Второй закон Ньютона – изменение импульса пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила (основное уравнение движения в классической динамике):
.
При t 0
.
При v << c ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела:
.
В случае переменной массы
,
где
– реактивная сила.
При движении по кривой результирующая сила может быть разложена на две составляющие (рис. П 1.13):
;
,
где R – радиус кривизны траектории;
– тангенциальная составляющая (касательная сила);
– нормальная составляющая (центростремительная сила).
Основной закон классической динамики – инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом
ma
= F; m
a' =
F';
F =
F'.
Третий закон классической динамики – силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис. П1.14):
F12 = -
F21.
Импульс силы – мера действия силы за некоторый промежуток времени:
.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета по отношению к неподвижной системе. Различают:
1) силы, действующие на тело при ускоренном поступательном движении системы отсчета (рис. П1.15):
m
a’ =
m
a + Fин,
где
a’ – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета;
a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета;
Fин – сила инерции.
2) силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (рис. П 1.16):
,
где
Fц – центробежная сила инерции;
– угловая скорость вращающейся системы отсчета;
r’ – радиус-вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;
R – перпендикулярная к оси вращения составляющая
r’.
3) силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (рис. П1.17):
Fк = 2m[
v’ ω],
где
Fк – сила Кориолиса;
v’ – скорость движения тела;
– угловая скорость вращающейся системы отсчета.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:m
a’= F + Fин + Fц +
Fк,
где
F,
Fин,
Fц,
Fк – ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.
Основная задача динамики вращательного движения – нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.
Момент инерции – скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения (рис. П1.18):I = mr
2.
Момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения (рис. П1.19):
;
,
где m
i – масса i-й точки;
r
i – расстояние i-й точки до оси z;
ρ – плотность вещества, из которого состоит тело;
V – объем тела.Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I
0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):
I
z = I
0 + mа
2.
На рисунке П1.20 представлено применение теоремы Штейнера к расчету момента инерции диска относительно оси ОО
', параллельной оси О
1О
1'.
Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения (
L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо (рис. П1.21):
L= p.
В векторной формеL= [
rp] = [
rm
v],
где m – масса материальной точки;
v – скорость материальной точки;
– плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).
Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z – проекция на эту ось вектора
L (момента импульса системы):
,
где
ri,
pi – радиус-вектор и импульс i-й материальной точки;
n – общее число точек в системе.
Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерцииL = I
ω.
Момент силы относительно центра вращения или неподвижной оси вращения – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо (рис. П1.22):
M
=
F,
где – плечо силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.
В векторной формеM=[
rF].
Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:
.
Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I=const (второй закон динамики для вращательного движения):
M = I∙
ε;
.
Импульс вращающего момента – произведение вращающего момента на время его действия:
Mdt = d
L.
Осциллятор – физическая система, совершающая колебания; система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.
Гармонический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).
Уравнение движения гармонического осциллятора:;
;
,
где a = d
2x/dt
2 = –ω
02x – ускорение материальной точки;
F – возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F = –mω
02x = –kx);
x – смещение;
k = mω
02 – коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.
Решение уравнения движения гармонического осциллятора:x = x
0sin (ω
0t + φ
0).
Уравнение гармонических колебаний в комплексном виде:.
В теории колебаний принимается, что величина x равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом выражении справа.
Дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения:.
Решением дифференциального уравнения гармонических колебаний является выражение вида
x = x
0 sin (
0t +
0),
где k = m
02 – коэффициент возвращающей силы;
x – смещение материальной точки;
x
0 – амплитуда колебаний;
0 = 2/Т = 2 – круговая (циклическая частота);
= 1/T – частота колебаний;
T – период колебаний;
= (
0t +
0) – фаза колебаний;
0 – начальная фаза колебаний.
Примеры гармонических осцилляторов: а) пружинный маятник – тело массой m (рис. П1.23), подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.
Упругие колебания совершаются под действием упругих сил:
F= –k∙,
где k = m
o2 – коэффициент жесткости;
– относительное удлинение.
Уравнение движения пружинного маятника:;
,
где
;
– величина деформации.
Решение уравнения движения пружинного маятника: = ()
0sin (ω
0t + φ
0).
Круговая частота, частота и период колебаний пружинного маятника:;
;
;
б) физический маятник – твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс (рис. П1.24).
Уравнение движения физического маятника:.
Решение уравнения движения физического маятника: =
0sin (ω
0t + α),
где α – начальная фаза колебаний.
Круговая частота, частота и период колебаний физического маятника:;
;
;
,
где L = I/md – приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника;
I – момент инерции физического маятникa относительно оси колебаний;
m – масса физического маятника;
d – расстояние между осью колебаний и центром масс;
в) математический маятник – тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити (рис. П1.25).
Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:;
;
.
Приведенная длина физического маятника – величина, численно равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:
.
Крутильные колебания – колебания, совершающиеся под действием закручивающего момента, пропорционального углу закручивания (колебания диска, подвешенного на стальной нити):
M= – D,
где
– коэффициент крутильной жесткости;
G – модуль сдвига;
r – радиус нити;
– длина нити.
Период колебаний крутильного маятника,
где I
z – момент инерции тела относительно оси колебаний.
Затухающие (свободные) колебания – движения реальной колебательной системы, сопровождающиеся силами трения и сопротивления, которые приводят к уменьшению амплитуды колебаний (рис. П1.26). При этом энергия, потерянная системой, не восполняется за счет внешних сил.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:,
где r – коэффициент сопротивления.
Решение уравнения затухающих колебаний:,
где А = x
0 e
– βt – амплитуда колебаний, убывающая по экспоненциальному закону;
β = r/(2m) – коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды с течением времени;
– собственная частота колебаний системы, т.е. та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (r = 0).
Круговая частота, частота и период затухающих колебаний:; ; .Характеристики затухающих колебаний:1) декремент затухания – отношение двух смещений, отличающихся друг от друга по времени на период. Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний:
;
2) логарифмический декремент затухания – величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период:
= lnD = ln(e
βΤ) = βT.
Добротность колебательной системы,
где N
e – число колебаний за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.
Вынужденные колебания – колебания, совершаемые системами под действием внешней (вынуждающей) силы, изменяющейся по какому-либо закону, например гармоническому (рис. П1.27):
f = F0cos t,
где
F
0 – амплитудное значение вынуждающей силы;
– частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний,
где f = F
0 sin t – вынуждающая сила;
– частота вынуждающей силы.
Решение уравнения вынужденных колебаний:X = X
1 + X
2 = x
0e
– tsin (ω't + φ
0') + x
0sin (ωt + φ),
где
.
Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний:;
.
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте (резонансной частоте). На рисунке П1.28 показаны возможные кривые при резонансе.
Резонансная частота.