4. Содержание и структура дисциплины 4.1 Содержание разделов дисциплины
№
п/п
|
Наименование
модуля
|
Содержание модуля
|
Форма текущего
контроля
|
|
1
|
2
|
3
|
1
|
Определители и матрицы
|
Определители второго и третьего порядка. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Понятие об
определителе n-го порядка. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
2
|
Аналитическая геометрия
|
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Прямая на плоскости.
Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
3
|
Линейная алгебра
|
Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен..
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
4
|
Введение в математический анализ
|
Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Множество вещественных чисел. Функция, область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной. функции. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
5
|
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
|
Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Исследование функций. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
6
|
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
Пространство Rn. Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связанные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.
Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл производных и дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Отображения множеств из пространства Rn в пространство Rm. Непрерывные и дифференциальные отображения. Функциональные определители. Условие независимости системы функции. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. Теорема об обратном отображении. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
7
|
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
|
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Приближенные вычисления определенного интеграла, формула Симпсона. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратных. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные интегралы. Их свойства и вычисление. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
8
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы, дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
9
|
Числовые и функциональные ряды
|
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия над рядами. Ряды с неотрицательными члена. Признаки сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Фурье. Приложение рядов.
|
ДЗ,
ПК,
Т
|
|
