1. Математическая модель задачи: (и), предполагая, что оптимальным считается план производства, обеспечивающий максимально возможную прибыль от реализации продукции.
– система ограничений:
 (2)
– целевая функция:  (3)
Т.о., необходимо при заданных ограничениях (2) найти значения переменных х1 и х2, при
которых целевая функция F принимает максимальное значение.
2. На плоскости Оx1x2 построить область допустимых решений и найти оптимальное решение (оптимальный план производства) геометрическим методом.
Решение.
Преобразуем исходную систему:
.
Строим область допустимых планов ЗЛП, графически решая систему неравенств с учетом двух последних неравенств при помощи табличного процессора MS Excel (см. рис. 1)
Таблица 1.1
Рисунок 1.
Координаты угловых точек области допустимых значений ОДЗ (5;0); (2;0), (0,2) и (0;5) определяются по графику как координаты точек пересечения граничных линий области допустимых планов.
Cтроим вектор градиента целевой функции F: gradQ  , координаты которого равны соответствующим коэффициентам при x1 и x2 в выражении целевой функции F. После этого проводим семейство nQ1, nQ2, nQ3 линий уровня целевой функции F перпендикулярных вектору градиента Q:  .
Целевая функция  достигает своего максимума, если двигать линию уровня параллельно самой себе в направлении grad Q. При этом линия уровня выходит из области допустимых планов угловой точке А(5;0). Следовательно, план x1,2* =(5;0) является оптимальным в решаемой ЗЛП на максимум.
x1max*= 5; x2max*=0; Fmax =  .
Ответ: xmax*= (5; ); Fmax = 30.
Задача №3.
В транспортной задаче составить первоначальный план поставок и найти оптимальный план
Решение
С учетом начального условия  :
Таблица 3.1.
Поставщики
|
Мощность
поставщиков
|
Потребители и их спрос
|
В1
|
В2
|
В3
|
190
|
120
|
40
|
А1
|
100
|
4
|
2
|
4
|
А2
|
200
|
2
|
5
|
3
|
А3
|
60
|
1
|
5
|
6
|
Тогда задача водится к решению транспортной задачи вида
 .
Для решения транспортной задачи необходимо
1) составить ее экономико-математическую модель и
2) найти оптимальное распределение поставок и минимальные затраты на перевозку.
Первоначальное распределение выполним методом наименьших затрат.
1. Экономико-математическая модель формулируется следующим образом: необходимо найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик-потребитель» так, чтобы:
мощности всех поставщиков были реализованы;
спросы всех потребителей были удовлетворены;
суммарная стоимость затрат была минимальна.
1. Искомый объем перевозки от i-го поставщика к j-му потребителю обозначим  и назовем поставкой клетки (ij).
Заданные мощности поставщиков и спросы потребителей накладывают ограничения на значения . Для реализации мощностей каждого поставщика и удовлетворения спроса потребителей составляем уравнения баланса для каждой строки и для каждого столбца таблицы поставок 3.2:
 и 
с ограничениями  т.к. объем перевозок не может быть отрицательным.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи составлена.
2. Первоначальное распределение определяется методом потенциалов.
По условию задачи (см. таблицу 3.2) транспортная задача является открытой, т.к. суммарные мощности поставщиков  больше суммарного спроса потребителей  и часть поставщиков останется незагруженными.
Для баланса спроса и предложения и для приведения системы к закрытому типу вводим фиктивного потребителя  с нулевыми условными затратами на перевозку и объемом спроса, равным разности объемов поставок и потребления
 .
Таблица 3.2 – таблица поставок.
Находим в таблице поставок клетки с наименьшей ненулевой стоимостью затрат: (3.1)) и анализируем возможности поставок для этой клетки:
для клетки (3.1):  ;
для клетки (1.4):  ;
для клетки (1.1):  ;
Минимальную из максимально возможных поставок 60 для потребителя  даем в клетку (3.1), поставку 190-60=130 даем в клетку (2.1) и исключаем из рассмотрения третью строку и первый столбец.
В оставшейся части таблицы поставок наименьшими затратами, равными 2, обладает клетка (1.2) с максимальной возможностью поставок 100. Отдаем поставку 100 для потребителя  в клетку (1.2), оставшуюся часть поставки 120-100=20 даем в клетку (2.2) и исключаем из рассмотрения второй столбец
В оставшейся части таблицы наименьшие затраты 3 с максимальной (остаточной) возможностью поставок 200-130-20=50 имеет клетка (3.2). Для удовлетворения потребителя  отдаем поставку 40 в клетку (3.2) и исключаем из рассмотрения 3 столбец.
При этом поставщик  останется недогруженным в объеме 50-40=10 единиц.
Таблица поставок
Минимальные затраты на перевозку согласно таблицы поставок составят
Ответ: Минимальные затраты на перевозку согласно таблицы поставок составят 740 у.е.
4. A={aij} матрица прямых материальных затрат, y – вектор конечного выпуска. Требуется:
1) Построить таблицу межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
2) Найти изменение валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 20%, третьей – на 25% и неизменном выпуске второй отрасли.
№
|
а11
|
а12
|
а13
|
а21
|
а22
|
а23
|
а31
|
а32
|
а33
|
y1
|
y2
|
y3
|
22
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
0,0
|
0,0
|
0,2
|
0,1
|
100
|
200
|
300
|
Задача об инвестировании предприятий. Капитал в 5 условных д.е. требуется распределить между четырьмя предприятиями. Номер варианта совпадает с номером студента в списке группы. каждый вариант представляет собой таблицу размера 54. Строки таблицы соответствуют размеру инвестиций х, которые может получить предприятие, х=1, 2, 3, 4 или 5 условных д.е. соответственно. Столбцы таблицы соответствуют прибыли, котрую принесут
1-е, 2-е, 3-е и 4-е предприятие соответственно, при таком объеме инвестиций. (строку с нулевой прибылью, соответствующей х=0, добавить самостоятельно).
Найти распределение инвестиций, обеспечивающее максимальную суммарную прибыль от четырех предприятий вместе
Р
ешение.
Систему уравнений, представляющих собой соотношения баланса, можно записать в матричном виде:
X = AX + Y,
где A – матрицей прямых затрат, X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта.
Основная цель межотраслевого баланса состоит в том, чтобы отыскать такой вектор X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Система уравнений межотраслевого баланса легко решается методом обратной матрицы. Действительно,
X = AX + Y EX = AX + Y EX - AX = Y (E – A)X = Y
X = (E – A)-1 Y
(E-A)-1 (E – A)X = (E – A)-1 Y EX = (E – A)-1 Y .
где матрица S = (E – A)-1 называется матрицей полных затрат.
В соответствии с введенными обозначениями имеем:
 , 
В задаче требуется найти такой вектор X, который при матрице А дал бы вектор конечного продукта.
Найдем матрицу E – A:
Определитель этой матрицы:
 .
Найдем алгебраические дополнения Aij к элементам матрицы E – A:
 ,  , ,
 ,  , ,
 ,  ,
Присоединенная матрица, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополнений:
Тогда обратная матрица (E – A)-1 имеет вид:
Находим искомый вектор X:
 .
Проверим правильность нахождения обратной матрицы и вектора Х, применяя функции Microsoft Office System Professional 2003 «МОПРЕД», «МОБР», «МУМНОЖ»:
Таким образом, объем валового продукта для 1 отрасли составит 214,8 условных денежных единиц, 2 отрасли – 269,96 условных денежных единиц, а 3 отрасли – 393,32 условных денежных единиц.
Для построения таблицы межотраслевого баланса в стоимостном выражении необходимо определить величины xij – часть объема продукции i-той отрасли, потребляемая j-той отраслью
 ,  ,  ,
 ,  ,  ,
 ,  ,  .
Таблица межотраслевого баланса в стоимостном выражении
Отрасль
|
Потребление
|
Конечный продукт
|
Валовой продукт
|
1
|
2
|
3
|
Производство
|
1
|
21,49
|
53,99
|
39,33
|
100
|
214,80
|
2
|
42,98
|
26,99
|
0,0
|
200
|
269,96
|
3
|
0,0
|
53,99
|
39,33
|
300
|
393,32
|
Данная таблица означает, что 1 отрасль производит 214,8 условных денежных единиц продукции, из них тратятся на нужды 1 отрасли 21,49 у.е., на нужды 2 отрасли 53,99 у.е., на нужды 3 отрасли 39,33 у.е. и 100 у.е. идут на потреблении; 2 отрасль производит 269,96 у.е. продукции, из них тратится на нужды 1 отрасли 42,98 у.е., на нужды 2 отрасли 26,99 у.е. и 200 у.е. идут на потребление; 32 отрасль производит 393,32 у.е. продукции, из них тратится на нужды 2 отрасли 53,99 у.е., на нужды 3 отрасли 39,33 у.е. и 300 у.е. идут на потребление.
2) Для того, чтобы вычислить изменение валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 20%, третьей – на 25% и неизменном выпуске второй отрасли, необходимо найти такой вектор  , который при матрице А дал бы вектор конечного продукта  .
 .
Отрасль
|
Потребление
|
Конечный продукт
|
Валовой продукт
|
Абсолютное изменение ВП
|
Относительное изменение ВП
|
1
|
2
|
3
|
Производство
|
1
|
21,49
|
53,99
|
39,33
|
120
|
248,11
|
33,31
|
15,51%
|
2
|
42,98
|
26,99
|
0,0
|
200
|
277,36
|
7,40
|
2,74%
|
3
|
0,0
|
53,99
|
39,33
|
375
|
478,30
|
84,98
|
21,61%
|
Таблица изменений межотраслевого баланса в стоимостном выражении
Ответ: валовой выпуск увеличится в 1 отрасли на 15,51%, во 2 отрасли – на 2,74%, а в 3 отрасли – на 21,61% и составит 
|
