Олимпиада по математике 5 класса
Скачать 1.8 Mb.
|
Конструкции из интеграловЩербатых Сергей Викторович, учитель математики и физики Статья отнесена к разделу: Преподавание математики  В методической литературе всё чаще задаются вопросом: “Нужно ли изучать в школе интегралы?” На что с уверенностью можно ответить: “Конечно же!” И дело здесь не в том, что интегральное исчисление возникает раньше дифференциального в истории науки (а этот факт должен быть обязательно учтён при построении школьного материала), а скорее в том, что интегралы могут выступать не как самоцель, а как аппарат для закрепления базового материала. Часто при изучении интегрального исчисления в школе рассматриваются лишь основные моменты данного раздела: нахождение первообразных функции, вычисление определённых интегралов, отыскание площадей плоских фигур и объёмов тел вращения. Да, мы не спорим, что данные вопросы являются базовыми и необходимыми, ведь именно они раскрывают основную суть процесса интегрирования, но где же творческий подход в обучении математике? Где он? Именно на эти и другие возникающие вопросы мы постараемся ответить в своей статье. Порой мы просто-напросто ограничиваем тему "Интеграл" учебников и делаем её недоступной для другого математического материала, входящего в рамки школьной программы. Многие из учителей забывают, что, используя несложные конструкции, содержащие определённые интегралы, можно составить прекрасные уравнения, неравенства, их системы, различные задачи с параметрами, решение которых вызовет лишь положительное одобрение со стороны школьников. И это действительно так. Решая достаточно большое количество стандартизованных задач, учащиеся вскоре приходят к усталости, усталости решать "одно и тоже". В этот момент "мозговой штурм" сменяется "мозговым спадом", что на наш взгляд, не хотел бы наблюдать на своём уроке каждый учитель. И вот тогда на помощь могут прийти всё те же конструкции. Благодаря им, учащиеся будут стремиться вычислить не только сам интеграл, но и применить полученные в ходе вычисления результаты к решению конкретной задачи, которая в свою очередь вызовет интерес у школьников. Таким образом, нам удастся восстановить атмосферу сотрудничества на уроке и локализовать "штурм" в каждом из учеников. Составляя конструкции, мы сможем осуществить внутриматематическое моделирование, которое позволит доказать учащимся то, что тема "Интеграл" не существует сама по себе, автономно, а великолепно и в полном объёме используется при решении задач ранее изученных тем. Также одним из существенных моментов при решении задач, содержащих конструкции, является то, что учащиеся сталкиваются с тем, что в пределах интегрирования появляются переменные (до этого были лишь постоянные), для которых чаще всего приходится проводить анализ и находить их ОДЗ. Ведь вне ОДЗ многие определённые интегралы не вычислимы, тогда мы сталкиваемся с несобственными интегралами, решение которых не предусматривается школьной программой. Поэтому при составлении любых конструкций данный факт должен обязательно учитываться. Именно анализ заставляет учащихся сомневаться, делает процесс вычисления познавательным и привлекает к себе класс. Заинтересованный ученик всегда активен. Он стремится решить, понять, осознать. Поддержание данного стремления – основная задача учителя, его мастерство и профессионализм. В нашей статье мы приводим примеры некоторых из конструкций, которые могут быть использованы в конкретных ситуациях. К каждому заданию прилагается по два варианта с решениями. I. Решить уравнения. А)  ,Решение. Вычислим интеграл:  .Тогда  . Решая полученное уравнение, находим, что x = 0, x = + 1, x = – 2.Ответ: – 2, – 1, 0, 1. Следует отметить, что в данном задании ничего не потребовалось, кроме техники нахождения простейших интегралов и решения уравнения, в том числе кубического. Б)  .Решение. (В силу того, что интеграл неопределён при  , то подобные точки выколоты из области задания). Вычислим значение интеграла: . Для удобства проведём вычисления по отдельности:  , .Приравнивая левую и правую часть равенства, получим:  . Решая полученное тригонометрическое уравнение, имеем  , где  . Но так как  (по условию), то подбором устанавливаем, что  .Ответ:  .В данном задании учащимся приходится проводить исследовательскую работу с целью нахождения ОДЗ, решением тригонометрического уравнения, отбором корней. Здесь же они сталкиваются с вычислением нетабличного интеграла, для решения которого применяется подстановка, с которой многие учителя сталкиваются в своей преподавательской практике. Только правильный выбор подстановки и её использование приведёт к желаемому результату. II. Решить неравенства. А)  ,Решение. Вычислим определённый интеграл:  . Тогда  .Приравняем многочлен, стоящий в левой части к нулю и находим корни уравнения  . Откуда  . Методом интервалов решаем неравенство  : откуда  Ответ:  .Б)  .Решение. По отдельности вычислим интеграл, стоящий в левой части и интеграл, стоящий в правой части неравенства:  ;  .Тогда  Ответ:  .Существенных трудностей задания А) и Б) не вызывают. III. Оцените последовательности. А)  ,Решение. Вычислим данный интеграл:  .Пользуясь неравенством Коши для двух неотрицательных чисел, оценим выражение  .Прибавив к обеим частям данного неравенства – 2, получим оценку (an):  .Ответ:  .Б)  .Решение. Вычислим определённый интеграл:  .Тогда  .Используя неравенство Коши для трёх неотрицательных чисел, оценим (bn):  .Ответ:  .Вся трудность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько хорошо учащиеся помнят неравенство Коши. IV. На координатной плоскости изобразите множество точек (область), удовлетворяющих следующим условиям. А)  Решение. Преобразуем каждое неравенство системы по отдельности:  .С учётом вычислений данная система примет вид:  На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы:  Закрашенная часть – искомая область.Б)  (данную конструкцию уместно предложить после изучения показательной функции).Решение. Преобразуем каждое из неравенств системы по отдельности:  Тогда с учётом вычислений данная система примет вид:  . На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы: Закрашенная часть – искомая область.Сложность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько правильно учащиеся могут решать неравенства с двумя переменными. V. При всех значениях параметра решить уравнения. А)  Решение. Для начала вычислим предложенный интеграл:  .Тогда  . Решая данное уравнение относительно параметра а, имеем:1. если a = – 1: – 3 = 0, сл., решений нет; если a = 1: получим линейное уравнение 2x – 3 = 0, сл.,  ;2. если  2.1. если  , то решений нет; 2.2. если  Произведя отбор, запишем ответ. Ответ: при  :  при  : решений нетпри a = 1: .Б).  Решение. Вычислим предложенные определённые интегралы:  ; .С учётом полученных вычислений имеем:   Во избежание ошибок при решении данного задания, необходимо заранее вспомнить с учащимися основные свойства тригонометрических функций (особенно области значений синуса и косинуса), а также правила решения отдельных задач с параметрами (это касается и задания А). В конце нашей статьи хотим ещё раз заметить, что добиться максимальной работоспособности учащихся на уроке можно лишь при постановке таких проблемных ситуаций, которые будут создавать у школьников стремление их разрешить. На наш взгляд, одной из таких ситуаций будет использование предложенных конструкций, которые и осуществят творческий подход при обучении математике. |
Похожие:
 | Положение о ежегодной региональной научно практической олимпиаде... Ежегодная научно-практическая региональная олимпиада-конференция (далее олимпиада) по математике, физике и информатике «интеллект»... |  | Районный уровень Олимпиада по математике 4 а 2 командное место |
| Положение о всероссийской дистанционной олимпиаде по математике "клевер" общие положения Всероссийской дистанционной олимпиады по математике "Клевер"(далее по тексту Олимпиада) среди обучающихся общеобразовательных учреждений... | | Рабочая учебная программа по геометрии для11 класса на 2013-2014 учебный год Данная рабочая программа по математике для 11 класса создана на основе федерального компонента государственного стандарта среднего... |
| Рабочая программа по математике на 2013-2014 учебный год для 6 класса Настоящая рабочая программа по математике для основной общеобразовательной школы 6 класса составлена на основе следующих нормативно-правовых... | | 3. На уроках в 7-11 классах и 2,3 классах: олимпиада по математике На стенде задания по предмету для всех желающих. Отв. Антипова Е. П., Михалев А. А |
| Рабочая учебная программа по математике для учащихся 7 класса (далее... Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №23» | | Губернская естественно-математическая олимпиада Весенниада-2013.... На выполнение экзаменационной работы по физике отводится 3 астрономических часа (180 мин.) |
| Рабочая программа по учебному предмету математике 10-11классов двухгодичного... Рабочая программа по математике 10 – 11 класса разработана в соответствии требований фкгос 2004г на основе Примерной программы среднего... | | Рабочая программа по математике к учебнику Л. Г петерсон для 3-а класса «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального... |
| Олимпиада по математике Крош написал числа по порядку от одного до девяноста девяти. Сколько раз Крош написал цифру 7? Подчеркни верный ответ | | Рабочая программа по математике для 3-б класса 4 часа в неделю (всего... «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального... |
| Учебник по математике для 3 класса (2 часть). Авторы: М. И. Моро,... Образовательные: Повторить различные способы деления и умножения суммы на число, а также деление двузначного числа на двузначное | | Примерное планирование учебного материала по алгебре и началам анализа Рабочая программа по математике 10 – 11 класса разработана в соответствии требований фкгос 2004г на основе Примерной программы среднего... |
| Рабочая программа по математике для 6 класса составлена в соответствии... Государственного стандарта общего образования, на основе примерной программы основного общего образования по математике, программы... | | Рабочая программа по математике II ступень обучения (6 класс) Настоящая программа по математике для 6 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта основного... |
