Олимпиада по математике 5 класса

Скачать 1.8 Mb.

Название	Олимпиада по математике 5 класса
страница	7/27
Дата публикации	17.06.2013
Размер	1.8 Mb.
Тип	Тесты

100-bal.ru > Информатика > Тесты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 27

Как решать задачи по планиметрии

Шпатова Валентина Александровна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Треугольник.

AH -высота, BM - медиана, CK - биссектриса.
Показано условными обозначениями на чертеже.

МN - средняя линия,
MNxx ВС и MN = ¹/₂AC
M и N - середины сторон,
р = a+b+c - полупериметр.
P - периметр.

Сумма углов треугольника - 180°

АС + ВС > АВ-наибольшая сторона, меньше суммы двух других.
АВ - АС < ВС-наименьшая сторона, больше разности двух других.
Sтр = ¹/₂ BC·AH = ¹/₂ AB·AC·Sin A =

Правильный	Равнобедренный	Прямоугольный	Косоугольный (остро/тупоугольный)
Равны стороны и углы по 60°. Совпадают высоты, медианы, и биссектрисы.	AB = BC,РA=РC - при основании. ВH - высота, медиана, биссектриса к основанию.	РC=90°, CB и CA - катеты, AB - гипотенуза т. Пифагора: BA²=BC²+CA² CH²=BH·CA. Sin A=a/c; Cos A=b/c; Tg A=a/b	Sтр.=¹/₂ ah=¹/₂ bh т.е.получим полупроизведение основания на высоту.

Свойства биссектрисы

делит угол на два равных угла;
содержит точки, равноудаленные от сторон угла: TK=TP.
Делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника :

Свойства медиан

делит сторону пополам
в точке пересечения делятся в отношении 1: 2, считая от стороны AD=2DK, BD=2DM,
или DK=¹/₂AD, DM=¹/₃BM

В прямоугольном треугольнике

-

катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотензы: ВА=2СА;
- центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы: АО=ОВ.
- площадь равна полупроизведению катетов.
- h² = BH·HA

Треугольник и окружность

Четырёхугольники

Название и вид	Диагонали в точке пересечения делятся пополам	Стороны и углы равны
Параллелограмм	AC²+ BD² = 2AB² + 2AD² Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.	Попарно противоположные стороны. Противоположные углы.	S = b·h S = a·b·sin A
Прямоугольник	Диагонали равны d² = a² + b²	Стороны противоположные. Углы Все прямые	S = a·b
Ромб	Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов.	Стороны все равны. Углы противоположные.	S = a·h S = ¹/₂d1·d2 S = a²·sinA

Трапеция

a,b-основания, h-BH-высота
MN- средняя линия
AB и CD -боковые стороны,
BD, АС - диагонали

Равнобедренная

Прямоугольная

S = ¹/₂ (a + b)·h = MN·h

Окружность и круг

OD - a - радиус, проведённый в точку касания
перпендикулярен касательной.

Треугольник.

№ п/п	Содержание задачи	Ответ
№1	Дан равнобедренный треугольник, длина основания которого b, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найти площадь треугольника.
№2	Дан треугольник АВС, в котором АВ=с, АС=b, А=a. Найти длину биссектрисы угла А.
№3	Периметр прямоугольного треугольника равен р, а длина его гипотенузы равна с. Найти площадь треугольника.	¹/₄ (p²-2pc)
№4	Площадь треугольника равна S. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого равна S?. Найти площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами отсеченного треугольника, а четвёртая лежит на середине основания исходного треугольника.

Комментарий: Тип задач, когда по изготовлению чертежа по условию, вводится вспомогательная величина. Затем с помощью формул и приёма выражения одной величины из двух разных фигур составляется алгебраическое уравнение. Отличается их решение широким спектром алгебраических преобразований.

Предлагаем решение данных задач.

Задача 1.

Решение:

Составим уравнение, используя формулу площади треугольника через полупроизведение основания на высоту: ¹/₂ ВС·АК = ¹/₂АС·ВМ.

Обе части уравнения сократим на ¹/₂, введём данные по условию задачи и неизвестную величину, обозначенную через х.

, - уравнение иррациональное с одним неизвестным, которое и позволит найти х = ВС, а затем и площадь треугольника АВС.

3) Предварительно возведём обе части уравнения в квадрат. После алгебраических преобразований, выразим x²*h²=b²(x²-b²/4); b²*x²-x²h²-(b²)²/4=0; x²(b²-h²)=(b²)²/4

4) Площадь треугольника АВС: S = ¹/₂ BC·AK,

Задача 2.

АК - биссектриса, пусть равна m.
Свойства биссектрисы, кроме того, что она
с делит угол пополам и точки её на равном
расстоянии от сторон угла, - делит
m противоположную сторону на отрезки
пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника.

Теорема “труженица” - ВК/АВ = КС/АС (1)

Здесь необходимо найти биссектрису, через которую вместе с данными из условия задачи, используя теорему косинусов, легко выражаются отрезки ВК и КС:

Из

АВК ВК² = с² + m² - 2 cm cos

/2

Из

АКС КС² = b² + m² - 2 bm cos

/2.

Коль имеем дело с квадратами выражений, для упрощения преобразований, возводим обе части (1) в квадрат

и выполним подстановку:

Выполним деление:

Переносим всё в одну часть:

Полученное выражение можно записать в следующем виде: m?(1/c - 1/b)(1/c + 1/b) - 2 m cos¹/₂(1/c -1/b) = 0, где присутствует общий множитель m·(1/c - 1/b). Вынесем его:

m·(1/c - 1/b) (m (1/c +1/b) - 2 cos

/2) = 0 - произведение равно 0, то:

m·(1/c - 1/b) = 0 или m 0, (b - c)/ (bc) = 0 где b = c - треугольник равнобедренный	m·(1/c + 1/b) - 2 m cos /2 = 0. m ·((b+c)/(bc)) = 2 cos /2

Задача 3.

Уравнение по условию задачи, где дан периметр:

возведём обе части уравнения в квадрат

:

. Вот здесь будьте внимательными! Чтобы не уйти в длинное решение!

Заметив, что полупроизведение катетов даёт площадь данного прямоугольного

треугольника, в виде

сразу даём ответ, не находя неизвестное.

Ответ: ¹/₂ (p² - 2pс)

Задача 4.

Из данных условия задачи, очевидно, надо использовать формулу площади треугольника: полупроизведение основания на высоту треугольника АВС. Следует провести высоту треугольника АВС к основанию АС.

Для решения задачи, конечно же, выгодна высота ВH, т.к. она связана с основаниями всех трёх треугольников: АВС, МВК, МРК.

Введём вспомогательные неизвестные величины:
Пусть: BH = h; AC = a - в треугольнике АВС и BT = h'; MK = a' - в треугольнике МВК.
При этом TH = h - h' - является высотой треугольника МРК.
По условию задачи:

S

ABC = ¹/₂ah = S (1)

S

MBK ¹/₂a' h' = S' (2)

Отсюда:

S

MPK =¹/₂a' (h - h' ) =¹/₂ a'h - ¹/₂ a'h' = ¹/₂ a' h - S'; S

MPK = ¹/₂ a' h - S' (3)

Треугольники АВС и МВК - подобные, коль МК

АС - по условию задачи.

Значит: АС/МК=BH/BT, т.е. a/a' = h/h', ah' = a'h -по свойству пропорции.

А вот здесь, полезно обратить внимание на равенство полученных произведений и проявить смекалку! Задайте себе вопрос: Где взять это произведение?

Перемножив почленно, записанные уравнения (1) и (2), получим:

¹/₄ ah·a'h' = S·S' , где ah' заменим на a'h:

¹/₄ a'h·a'h = SS' и (a'h)² = 4 SS'

Значит: a' h =

, что подставим в выражение (3) площади треугольника МРК и получим:

S

MPK = ? ·

' - S'; S

MPK =

- S'

Отсюда площадь искомого четырёхугольника РМВС:

- S' + S' =

Ответ:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 27

Похожие:

	Положение о ежегодной региональной научно практической олимпиаде... Ежегодная научно-практическая региональная олимпиада-конференция (далее олимпиада) по математике, физике и информатике «интеллект»...		Районный уровень Олимпиада по математике 4 а 2 командное место
	Положение о всероссийской дистанционной олимпиаде по математике "клевер" общие положения Всероссийской дистанционной олимпиады по математике "Клевер"(далее по тексту Олимпиада) среди обучающихся общеобразовательных учреждений...		Рабочая учебная программа по геометрии для11 класса на 2013-2014 учебный год Данная рабочая программа по математике для 11 класса создана на основе федерального компонента государственного стандарта среднего...
	Рабочая программа по математике на 2013-2014 учебный год для 6 класса Настоящая рабочая программа по математике для основной общеобразовательной школы 6 класса составлена на основе следующих нормативно-правовых...		3. На уроках в 7-11 классах и 2,3 классах: олимпиада по математике На стенде задания по предмету для всех желающих. Отв. Антипова Е. П., Михалев А. А
	Рабочая учебная программа по математике для учащихся 7 класса (далее... Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №23»		Губернская естественно-математическая олимпиада Весенниада-2013.... На выполнение экзаменационной работы по физике отводится 3 астрономических часа (180 мин.)
	Рабочая программа по учебному предмету математике 10-11классов двухгодичного... Рабочая программа по математике 10 – 11 класса разработана в соответствии требований фкгос 2004г на основе Примерной программы среднего...		Рабочая программа по математике к учебнику Л. Г петерсон для 3-а класса «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...
	Олимпиада по математике Крош написал числа по порядку от одного до девяноста девяти. Сколько раз Крош написал цифру 7? Подчеркни верный ответ		Рабочая программа по математике для 3-б класса 4 часа в неделю (всего... «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...
	Учебник по математике для 3 класса (2 часть). Авторы: М. И. Моро,... Образовательные: Повторить различные способы деления и умножения суммы на число, а также деление двузначного числа на двузначное		Примерное планирование учебного материала по алгебре и началам анализа Рабочая программа по математике 10 – 11 класса разработана в соответствии требований фкгос 2004г на основе Примерной программы среднего...
	Рабочая программа по математике для 6 класса составлена в соответствии... Государственного стандарта общего образования, на основе примерной программы основного общего образования по математике, программы...		Рабочая программа по математике II ступень обучения (6 класс) Настоящая программа по математике для 6 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта основного...

Школьные материалы