Системы счисления. Арифметические действия в различных системах счисления (7-ое занятие)
Представление числовой информации с помощью систем счисления
"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.
Пример 1. Ознакомление с различными системами счисления.
Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.
Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча).
Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
XCIХ = -10+100-1+10.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.
В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв ( и т.д.), а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв ( и т.д.). Например, число 141 обозначалось
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
Позиционные системы счисления
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).
Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).
В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
1
|
Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)
|
или
2
|
Аq = ±  aiqi
|
Здесь А — само число,
q — основание системы счисления,
ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n — число целых разрядов числа,
m — число дробных разрядов числа.
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
3
|
A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m
|
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Пример 1. Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:
А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2
Пример 2. Двоичная система счисления.
В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид:
А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)
Здесь аi — возможные цифры (0, 1).
Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
Записав двоичное число А2=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510.
Пример 3. Восьмеричная система счисления.
Основание: q=8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Записав восьмеричное число А8=7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510
Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления.
Основание: q=16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3АF16 означает:
3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310.
Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:
А10
|
А2
|
А10
|
А2
|
0
1
2
3
4
5
6
7
|
0
1
10
11
100
101
110
111
|
8
9
10
11
12
13
14
15
|
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
|
Задания для самостоятельного выполнения
1.Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах:
-
2.Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления..
3.Какие числа записаны римскими цифрами:
а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII?
4.Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.
5..Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?
VII - V=XI IX-V=VI
VI - IX=III VIII - III=X
6.Заполните следующую таблицу:
Система счисления
|
Основание
|
Цифры
|
шестнадцатеричная
|
16
|
|
десятичная
|
|
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
|
|
8
|
0,1,2,3,4,5,6,7
|
|
2
|
|
7.Заполните следующую таблицу:
Система счисления
|
Основание
|
Разряды (степени)
|
десятичная
|
10
|
10000
|
1000
|
100
|
10
|
1
|
восьмеричная
|
8
|
|
|
|
|
|
двоичная
|
2
|
|
|
|
|
|
8.Запишите в развернутом виде числа:
-
а) А8=143511;
|
г) А10=143,511;
|
б) А2=100111;
в) А16=143511;
|
д) А8=0,143511;
е) А16=1A3,5C1.
|
9.Запишите в свернутой форме следующие числа:
-
а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;
|
б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.
|
10.Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:
-
а) А10=А,234;
б) А8=-5678;
|
в) А16=456,46;
г) А2=22,2;
|
11.Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
12.Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116?
13.Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.
14.Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.
15.Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является:
а) наибольшим;
б) наименьшим.
16.Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112?
17.Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?
18."Несерьезные" вопросы.
Когда 2×2=100 ?
Когда 6×6=44?
Когда 4×4=20?
19.Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
-
а) [1011012; 1100002];
б) [148; 208];
|
в) [2816; 3016].
|
20.В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?
21.В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?
22.В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
23.Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?
24.У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?
25.Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сколько листьев было после девятого дня?.
26.Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа:
а) 5;
б) 7;
в) 12;
|
г) 25;
д) 32;
е) 33.
|
Арифметические операции в двоичной системе счисления. Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк
+
|
0 1
|
-
|
0 1
|
×
|
0 1
|
 0
1
|
0 1
1 10
|
0
1
|
0 11
1 0
|
0
1
|
0 0
0 1
|
Рассмотрим подробно каждую операцию.
Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.
Пример 1. Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:
1001 1101 11111 1010011,111
+ + + +
1010 1011 1 11001,110
------ ------ --------- --------------
10011 11000 100000 1101101,101
Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.
Пример 2. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:
10111001,1 - 10001101,1 = 101100,0
101011111 - 110101101 = -1001110
10111001,1 110110101
- -
10001101,1 101011111
--------------- --------------
00101100,0 001010110
Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Пример 3. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:
11001 × 1101 = 101000101
11001,01 × 11,01 = 1010010,0001
11001 11001,01
× 1101 × 11,01
--------- -----------
11001 1100101
11001 1100101
11001 1100101
------------- -----------------
101000101 1010010,0001
Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Пример 4. Рассмотрим пример деления двоичных чисел:
101000101 : 1101 = 11001
101000101 1101
- 1101 11001
1110
-1101
1101
-1101
0
Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:
-
+
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
Задания для самостоятельного выполнения
1.Выполните арифметические операции:
а) 11102 + 10012 г) 11102 -10012 ж) 11102 × 10012 к) 10102 : 102
б) 678 + 238 д) 678 - 238 з) 678 × 238 л) 748 : 248
в) AF16 + 9716 е) AF16 - 9716 и) AF16 × 9716 м) 5A16 : 1E16
2.Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;
б) 1100 ? 10 ? 10 = 100;
в) 1100 ? 10 ? 10 = 110000;
г) 1100 ? 10 ? 10 = 1011;
д) 1100 ? 11 ? 100 = 0.
3.Какое число следует за каждым из данных:
а) 1010; в) AF16;
б) 6778; г) 1012.
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.
4.Какое число предшествует каждому из данных:
а) 1010; в) 9A16;
б) 568; г) 1102.
5.Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
а) [1011012; 1100002] в двоичной системе;
б) [148; 208] в восьмеричной системе;
в) [2816; 3016] в шестнадцатеричной системе.
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.
6.Вычислите выражения:
а) (11111012 + AF16) / 368;
б) 1258 + 111012 × A216 - 14178.
7.Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
а) 100101102, 11001002 и 1100102;
б) 2268, 6416 и 628.
8.Сумму восьмеричных чисел 178 + 17008 + 1700008 + 170000008 + 17000000008 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.
9.Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в следующих примерах на сложение и вычитание, определив вначале, в какой системе изображены числа.
а) 5?55
+?327
?16?4
|
б) 1536
-?42
67?
| |
