Арифметические действия в различных системах счисления (8-ое занятие)
Задание 1. Выполнить арифметические действия над двоичными числами:
1) 10111 + 100;
2) 100010 + 101;
3) 1011 + 1100;
4) 1001 + 11;
5) 11101 + 101;
6) 1101 + 1011;
7) 1100 - 10;
8) 1000 - 11;
9) 1100 – 111;
10) 11011-1110;
11) 101 10;
12) 1111;
13) 11011;
14) 101111;
15) 1100/100;
16) 100100/1100;
17) 10010110/101;
18) 100000011/11.
Задание 2. Вычислите значения двоичных выражений:
(11001 – 1111)/10;
1100100/100 – 1111;
110001/111 – 100;
1111 + 101
Задание 3. Найдите сумму следующих чисел в восьмеричной системе:
66 + 43;
515 + 324;
471 + 26;
256 + 347;
725 + 567;
631 + 245;
453 + 125;
577 + 267;
746 + 23.
Задание 4. Найдите сумму следующих чисел в троичной системе:
1) 101 + 121;
2) 2012 + 1211;
3) 2110 + 21122.
Задание 5. Найдите сумму следующих чисел в пятеричной системе:
1) 221 + 104;
2) 432 + 114;
3) 342 + 224.
Задание 6. Восстановите неизвестные цифры в следующих примерах на сложение и вычитание, определив в начале, в какой системе счисления изображены числа.
2?21 + 123? = ?203;
5?55 + ?327 = ?16?4;
4?5 – 136 = ?56;
1536 - ?42 = 67?.
Задание 7. В группе 1000? студентов, из них 120? девушек, 110? юношей. В какой системе счисления велся счет учащихся?
Задание 8. В саду 88? фруктовых деревьев, из них 32? яблонь, 22? груш, 16? слив, 17? вишен. В какой системе счисления подсчитаны деревья?
Задание 9. Выяснить, в какой системе счисления было выполнено сложение (т. е. найти основание p системы счисления): 33?5?p + 1?643p = 52424p, где знаком «?» обозначены неизвестные числа (возможно разные).
Задание 10*. Число Х=4840 записано в системе счисления с основанием p; Y – десятичное число 11, представленное в этой же системе; mod (X, Y) = 0. Найти основание pсистемы, если p<31.
Задание 11*. Вычислить наибольшее и наименьшее шестиразрядные целые числа в системе счисления с основанием 3
Перевод чисел из одной системы счисления в другую (9-ое занятие)
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:
Получаем: 17310=2558
Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления:
Получаем: 17310=AD16.
Пример 3. Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
Получаем: 1110=10112.
Пример 4. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число.
Делимое
|
363
|
181
|
90
|
45
|
22
|
11
|
5
|
2
|
1
|
Делитель
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
Остаток
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
Получаем: 36310=1011010112
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:
1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Пример 1. Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.
-
0,
|
65625
× 8
|
5
|
25000
× 8
|
2
|
00000
|
Получаем: 0,6562510=0,528
Пример 2. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатеричную систему счисления.
-
0,
|
65625
× 16
|
10
(А)
|
50000
× 16
|
8
|
00000
|
Получаем: 0,6562510=0,А81
Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,562510 в двоичную систему счисления.
-
0,
|
5625
× 2
|
1
|
1250
× 2
|
0
|
2500
× 2
|
0
|
5000
× 2
|
1
|
0000
|
Получаем: 0,562510=0,10012
Пример 4. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.710.
-
0,
|
7
×2
|
1
|
4
×2
|
0
|
8
×2
|
1
|
6
×2
|
1
|
2
|
. . .
Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,710. Так, за четыре шага мы получаем число 0,10112, а за семь шагов число 0,10110012, которое является более точным представлением числа 0,710 в двоичной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.
Перевод произвольных чисел
Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 5. Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления.
Переводим целую часть:
|
Переводим дробную часть:
|
17 2
1 8 2
0 4 2
0 2 2
0 1
|
0, 25
×2
0 50
×2
1 00
|
Получаем: 17,2510=1001,012
Пример 6. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему.
Переводим целую часть:
|
Переводим дробную часть:
|
124 8
4 15 8
7 1
|
0, 25
×8
2 00
|
Получаем: 124,2510=174,28
Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно
Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 7. Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
101
|
100
|
001
|
000
|
110
|
010
|
5
|
4
|
1
|
0
|
6
|
2
|
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628.
Пример 8. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0010
|
0000
|
0000
|
1111
|
1000
|
0111
|
2
|
0
|
0
|
F
|
8
|
7
|
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716.
Перевод дробных чисел. Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример 9. Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428.
Пример 10. Число 0,1000000000112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0,
|
1000
|
0000
|
0011
|
0,
|
8
|
0
|
3
|
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316
Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:
1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n
Пример 11. Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
111
|
100
|
101,
|
011
|
100
|
7
|
4
|
5,
|
3
|
4
|
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,348.
Пример 12. Число 11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
0111
|
0100
|
1000,
|
1101
|
0010
|
7
|
4
|
8,
|
D
|
2
|
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216.
Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 13. Переведем шестнадцатеричное число 4АС3516 в двоичную систему счисления.
4
|
А
|
С
|
3
|
5
|
0100
|
1010
|
1100
|
0011
|
0101
|
В соответствии с алгоритмом:
Получаем: 10010101100001101012
Задания для самостоятельного выполнения
1.Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.
Двоичная
|
Восьмеричная
|
Десятичная
|
Шестнадцатеричная
|
101010
|
|
|
|
|
127
|
|
|
|
|
269
|
|
|
|
|
9B
|
2. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.
Двоичная
|
Восьмеричная
|
Десятичная
|
Шестнадцатеричная
|
0,101
|
|
|
|
|
0,6
|
|
|
|
|
0,125
|
|
|
|
|
0,4
|
3.Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.
Двоичная
|
Восьмеричная
|
Десятичная
|
Шестнадцатеричная
|
111101,1
|
|
|
|
|
233,5
|
|
|
|
|
46,5625
|
|
|
|
|
59,B
| |
