Решение задач по теме Свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Автор: Гуленкина Валентина Васильевна. Образовательное учреждение: Песочнодубровская СОШ, Кожевниковского района, Томской области. Предмет: Геометрия. Класс: 7. Тема: Решение задач по теме «Свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Тип урока: Урок когнитивного типа. Урок обобщения знаний по теме. Форма урока: Урок исследования объекта, постановки проблемы и ее решения. Учебно-методическое обеспечение: Л.С. Анастасян «Геометрия 7 – 9 кл.» Время реализации: 45 мин. Компьютерные медиапродукты. Наглядная презентация учебного материала, сделанная в среде Power Point. Данный медиапродукт построен непосредственно на сопровождении сценария урока и содержит необходимые иллюстрации для объяснения материала. Цель урока: Показать учащимся применение теоретических знаний на практике, умение переносить их и пользоваться ими в нестандартной ситуации. Задачи урока: Образовательные – обобщение теоретических знаний учащихся по теме «Прямоугольные треугольники», показать практическое применение свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников; Развивающие – развитие умений сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы; формировать исследовательскую культуру; развивать интерес к знаниям; переносить теоретические знания на практику; Воспитательные – формирование умений работать в группах; принимать совместные решения; уверенности в своих силах. Необходимое оборудование и материалы для занятия: компьютер, проектор, экран, табель – календари различных лет, карточки для практического задания, карточки для доказательства задачи, треугольники для работы в группах. План урока: Этапы занятия Временная реализация I. Организационный момент: приветствие, объявление темы урока. 2 II. Актуализация опорных знаний учащихся: фронтальный опрос по теории, решение задач на готовых чертежах. 8 III. Создание проблемной ситуации. Выдвижение гипотез. Проверка гипотез при помощи измерений. Работа в группах. Обсуждение гипотез. 10 IV. Формулировка и доказательство задачи. Проверка гипотезы при помощи доказательства. 8 V. Совместная работа учителя и учащихся над проблемными вопросами учителя. 10 VI. Домашнее задание. 3 VII. Рефлексия урока. 4 Учить не мыслям, а мыслить. Кант Сценарий урока. Предварительно класс делится на 3 группы. I этап: Организационный момент: Приветствие, сообщение порядка работы, выбор лидера групп. Учитель: Ребята, на прошлом уроке мы решали задачи по теме «Прямоугольные треугольники». Сегодня я вам предложу еще одну задачу на эту тему. Вы обратили внимание на то, что у вас на столе лежат табель-календарики. Задача, которую я вам предложу сегодня для исследования будет связана с календарем. Геометрия в календаре! Необычно? Сегодня у нас много будет необычного. Но это впереди, а пока мы повторим пройденный материал. II этап: Актуализация опорных знаний учащихся. (По ходу урока идет просмотр презентации) 1. Фронтальный опрос. (слайд №3). Повторение теоретических знаний. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? Какие признаки равенства прямоугольных треугольников вы знаете? Перечистлите свойства прямоугольных треугольников. 2. Решение задач на готовых чертежах с целью повторения свойств прямоугольного треугольника и признаков равенства прямоугольных треугольников. (Рисунки к задачам готовятся заранее на планшетах.) . (Слайды № 4, 5). 1). Устно. Определить вид треугольника. ( ∆АВС – прямоугольный.) Какое свойство прямоугольного треугольника это подтверждает? Проверим это свойство практически. Свернем у красных прямоугольных треугольников острые углы к прямому (если есть затруднения показать, как это сделать). Сделайте вывод (В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°). 2). Устно. Докажите, что треугольники АВС и NKM равны. (В=35°; N=55°. Против равных углов лежат равные стороны. Значит, СВ=КМ, АС=МК. ∆АВС= ∆NKM по двум катетам.) 3). Письменно у доски. Определить вид треугольника ВМС (данная задача готовит учащихся к доказательству проблемной задачи в календаре). Решение. 1=55°, 2=35°, против равных углов лежат равные стороны, значит АВ = МD, АМ = СD. ∆АВМ=∆МСD (по двум катетам), следовательно ВМ=МС, ∆ВМС – равнобедренный. Учитель: Докажите, что ∆ВМС – прямоугольный. Углы 1 и 2 дополняют угол 3 до развернутого. 1+2+3=180°. 1+2=90°, следовательно 3=90°. ∆ВМС – прямоугольный. Вывод: ∆ВМС – равнобедренный прямоугольный. III этап. Создание проблемной ситуации. Выдвижение гипотез. Проверка гипотез. 1. Учитель: Ребята, у вас на столе лежат табель–календари за 2006 г. Соедините в январе этого года числа 10, 20, 30. Какую фигуру получили? (Треугольник). Чтобы в дальнейшем было легче работать с календарем, сделали его на клетчатой бумаге. Возьмите такой календарь за январь 2006 г. и соедините центры клеток с числами 10, 20, 30. Получили треугольник. (слайд № 6.) Назовите его (10–20–30). Необычно? Да. Но сегодня будем обозначать треугольники, отрезки и углы числами. Назовите стороны треугольника и его углы. Как вы думаете, какой получился треугольник? Нам предстоит сейчас решить эту проблему. (слайд № 7) 2. Выдвижение гипотезы учащимися: (слайд № 8.) а) равнобедренный; б) прямоугольный; в) равнобедренный прямоугольный. Учитель: Для того, чтобы доказать или опровергнуть вашу гипотезу у вас имеются чертежные прямоугольные треугольники, линейка и вырезанный треугольник 10–20–30. В группах обсудите, как, используя эти инструменты, определить вид треугольника 10–20–30. 3. Работа в группах. (учащиеся при помощи измерений определяют вид треугольника. У каждой группы имеются необходимые инструменты для каждого ученика). 4. Обсуждение гипотез. Разбираются представленные гипотезы. Один человек от группы презентует классу свое решение. 4.1. Измерили линейкой и треугольником стороны и угол 10 . Получили равнобедренный прямоугольный треугольник 10–20–30 с прямым углом 10. 4.2. Измерили углы в данном треугольнике. Они равны 45°, 45°, 90°. Треугольник 10–20–30 – прямоугольный. Так как углы при основании равны, то он еще и равнобедренный. 4.3. Угол 10 – прямой. Проверили чертежным треугольником Свернем острые углы к углу 10. Сумма острых углов в треугольнике равна прямому т.е. 90°. Это свойство прямоугольных треугольников. Треугольник 10–20–30 – равнобедренный прямоугольный. Вывод: Треугольник 10–20–30 – равнобедренный прямоугольный. (слайд № 9.) IV этап. Формулировка и доказательство задачи. (Проверка гипотезы при помощи доказательства). Учитель: Вид треугольника мы определили при помощи измерений. Мы уже говорили с вами, что измерениям доверять нельзя из-за возможных погрешностей. Любые экспериментальные данные в геометрии требуют доказательства. Давайте сформулируем задачу, которую нам надо решить. Задача. Если в календаре на январь за 2006 г соединить числа 10, 20, 30, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Доказать. (слайд № 10) 5. Совместная работа учителя и обучающихся. (Учащиеся работают с карточками января 2006 г, сделанными на клетчатой бумаге, где имеется доказательство с пропусками) (приложение 1). Доказательство. (слайд № 11). Учитель: Соединим центры клеток, соответствующих чисел. Сделаем дополнительные построения: проведем отрезки 30 – 9, 9 –13 и 13–20. Получили два треугольника: 30–9–10 и 10–13–20. Докажите, что: 1. треугольники 30–9–10 и 10–13–20 равны; 2. стороны 10–30 и 10–20 равны. (Углы 9 и 13 прямые, стороны 9–30 и 10–13 равны соответственно сторонам 13–20 и 10–13. Значит, треугольники равны по двум катетам. Так как треугольники равны, то равны и их гипотенузы. Стороны 30–10 и 10–20 равны.) Учитель: Определите вид треугольника 10–20–30 (равнобедренный). Докажите, что угол 30–10–20 – прямой. (Из равенства треугольников 30–9–10 и 10–13–20 следует, что углы 9–30–10 и 20–13–10 равны углам 30–9–10 и 10–13–20 соответственно. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов 9–10–30 и 13–10–20 равна 90°. Углы 9–10–30 и 13–10–20 дополняют угол 30–10–20 до развернутого, значит угол 30 –10–20 равен 180–90=90°.) Вывод: треугольник 10–20–30 – равнобедренный прямоугольный. (слайд № 12) V этап. Совместная работа учителя и учащихся над проблемными вопросами учителя. Учитель: Ребята, как вы думаете, такой результат будет только для января 2006 г.? А верно ли это утверждение для января любого года? (да). Давайте проверим вашу гипотезу. 1. Работа в группах (учащиеся работают с табель–календарями, соединяют центры клеток чисел 10–20–30 в январях различных лет). (приложение 2). 1 группа: январь 2008, 2003, 2007. 2 группа: январь 2009, 2001. 3 группа: январь 2010, 2011. 2. Обсуждение результатов. (рисунки вывешены на доске). (слайды № 13-15). Вопросы учителя: Проанализируйте рисунки. Какой вывод вы можете сделать? (получаются 6 прямоугольных равнобедренных треугольников и отрезок); Отчего зависит расположение треугольников? (от расположения чисел в январе месяце); Сколько существует различных вариантов расположения дат в январском календаре. (Семь. Это зависит оттого, каким днем недели будет 1 января); Когда получается отрезок? (когда центры клеток чисел 10, 20, 30 лежат на одной прямой); Сколько различных треугольников получилось? (два: с прямым углом 10 и прямым углом 30). Для ситуации, когда прямым углом является угол 10, мы провели доказательство. По образцу классной работы докажите дома, что и во втором случае (угол 30 прямой) получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Рассуждения будут аналогичными. 3. Учитель: Как вы думаете, каков будет результат, если мы соединим числа 10, 20, 30 в любом месяце одного года? (получатся равнобедренные прямоугольные треугольники и отрезок). Проверьте это на табель–календаре 2009 г. (учащиеся работают с календариками 2009 г.). Какой сделаете вывод? (получили семь различных ситуаций расположения чисел 10, 20, 30 в году, два различных вида треугольников и отрезок). (слайд № 16) 4. Учитель: А какие еще числа можно соединить и получить равнобедренные прямоугольные треугольники? (числа 10, 20, 30 отстоят друг от друга на 10 единиц. Попробуем соединить числа, отстоящие друг от другу на 10 единиц: 1, 11, 21; 2, 12, 22; 3, 13, 23; 4, 14, 24; 5, 15, 25; 6, 16, 26; 7, 17, 27; 8, 18, 28; 9, 19, 29; 11, 21, 31). Проверьте это на табель–календарях за 2011 г. I группа соединяет числа 1, 11, 21; 2, 12, 22; 3, 13, 23; II группа соединяет числа 4, 14, 24; 5, 15, 25; 6, 16, 26; III группа соединяет числа 7, 17, 27; 8, 18, 28; 9, 19, 29; 11, 21, 31). Сделайте вывод. (Предполагаем, что получится такой же результат, как и при соединении чисел 10–20–30). (слайд № 17, 18.) Учитель: Дома докажите, что и в этих случаях получается равнобедренный прямоугольный треугольник. VI этап. Домашнее задание. Предлагается по выбору. (слайд № 19) 1. решение задачи для чисел 10, 20, 30 (2 случай); 2. Составить и решить задачу с другими данными. VII этап. Рефлексия урока. Учитель: Какие знания помогли вам исследовать такую нестандартную задачу? (Свойства и признаки прямоугольных треугольников; свойства развернутого угла; свойства треугольника; умение измерять углы). Проанализируйте свою работу на уроке. Оцените работу группы и отметьте в бланке наиболее активных учащихся. Группа 1 Оценка группы ____ Работали активно: 1. _________ 2.__________ 3.__________ Поднимите руки те, кому было на уроке трудно, но интересно? Поднимите руки те, кому было на уроке понятно, но остались вопросы? Поднимите руки те, кому было все понятно. Сегодня на уроке вы увидели необычное в привычном. Вы замечательно работали! Всем спасибо за урок! ЛИТЕРАТУРА: 1. Ю.П.Дудницын, В.Л. Кронгауз «карточки по геометрии 7 класс». НПО «Образование» 1998 г 2. Нетрусова Н. «Про календарь и треугольники» Математика: приложение к газете «1 сентября» 2000 № 14. Приложения: Приложение 1 Задача. Если в календаре на январь за 2006 г соединить числа 10, 20, 30, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Доказать. Доказательство Проведем отрезки 30–9, 9–13 и 13–20. Получили два треугольника 30–9–10 и ________. Углы 9 и __ прямые. Отрезки 9–10 и _____ равны. Отрезки ______ и 13-20 равны. Треугольники ______ и ______ равны по ___________________. Из равенства треугольников 30–9–10 и 13–20–10 следует, что равны и гипотенузы _____ и _____. Треугольник 10–20–30 – равнобедренный. Из равенства треугольников 30–9–10 и 13–20–10 следует, что углы 9–10–30 и 13–20–10; 9–10–30 и 13–20–10 равны (лежат против равных сторон). Углы ___ и ___ дополняют угол 30–10–20 до развернутого. Сумма углов 9–10–30 и 13–10–20 равна 90° по свойству прямоугольного треугольника. Значит, угол 30–10–20 равен 180° – ___ = ___, то есть треугольник 10–20–30 – ____________________. Вывод: треугольник 10–20–30 – равнобедренный, прямоугольный. Приложение 2 Календарь январей разных лет. Приложение 3 Отзыв на урок учащимися 10 класса Батаевой Анны и Демендеевой Анастасии. Данный урок останется у нас в памяти надолго. Геометрия в табель–календаре настолько удивила и заинтересовала многих учащихся в классе, что мы решили продолжить эту тему. Перед нами встала проблема – есть ли еще задачи на тему «Календари», которые можно использовать на уроках математики? В результате решения проблемы, у нас появился проект «Математика в календаре». Стартом этого проекта стал урок-исследование, который Валентина Васильевна представила на Фестиваль «Творческий урок». Результаты нашего проекта используют в своей работе учителя школы и района. Стендовая презентация проекта «Математика в календаре»

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: определение треугольника, равнобедренного и равностороннего треугольника, признаки равенства треугольников, свойства прямоугольных...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Сформировать понятие признаков равенства прямоугольных треугольников на основе признаков равенства треугольников
	Урока «Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник» Показать, что источник возникновения изучаемой дисциплины – реальный мир, что она возникла из практических потребностей людей		Урок геометрии в 7 классе. Учитель: Клименко И. И. Тема урока: «Первый... Цели урока: доказать первый признак равенства треугольников; научиться решать задачи на первый признак равенства треугольников. (Слайд...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Равенство треугольников». Через урок контрольная работа по теме: «Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник»....		Урок по математике в 7-а классе ...
	Урок геометрии в 9 классе Тема урока: «Решение треугольников» Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Уметь выполнять задачи из разделов курса VII класса: признаки равенства треугольников; соотношения между сторонами и углами треугольника;...
	Урок по теме: «Признаки равенства треугольников» Создание условий для привлечения учащихся к творческой работе с геометрическим материалом		Урок по теме «Треугольники. Признаки равенства треугольников» Мотивировать детей к самообразованию через виртуальные путешествия в сети Internet
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Урок проект по теме «Треугольники. Признаки равенства треугольников» Развивать навыки работы за компьютером с учебными программами и умение работать с мультимедийной доской
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Признаки равенства треугольников, Соотношения между сторонами и углами треугольника, свойства равнобедренного треугольника		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: Повторить теоретический материал по теме «Признаки равенства треугольников»
	Урок 6 Решение треугольников Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Первый признак равенства треугольников к тип Данный модуль представляет собой задание повышенной сложности исследовательского типа...