Математика в историческом развитии
Римская система счисления. Позиционные системы счисления. Обозначение цифр в Древней Руси. Старинные меры длины. Введение метра как единицы длины. Метрическая система мер в России, в Европе. История формирования математических символов. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме, на Руси. Открытие десятичных дробей. Мир простых чисел. Золотое сечение. Число нуль. Появление отрицательных чисел.
Алгебра
Алгебраические выражения
Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразование выражений.
Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формулы суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычитаниях.
Уравнения и неравенства
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней: методы замены переменной, разложение на множители.
Уравнение с двумя переменными; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах.
Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-рациональных неравенств.
Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств.
Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые последовательности
Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.
Сложные проценты.
Числовые функции
Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.
Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост; числовые функции, описывающие эти процессы.
Параллельный перенос графика вдоль осей координат и симметрия относительно осей.
Координаты
Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке.
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.
Геометрия
Простейшие геометрические фигуры
Точка, прямая. Отрезок, луч. Угол. Виды углов. Смеж ные и вертикальные углы. Биссектриса угла.
Пересекающиеся и параллельные прямые. Перпендику лярные прямые. Признаки параллельности прямых. Свой ства параллельных прямых. Перпендикуляр и наклонная к прямой.
Многоугольники
Треугольники. Виды треугольников. Медиана, биссек триса, высота, средняя линия треугольника. Признаки ра венства треугольников. Свойства и признаки равнобедрен ного треугольника. Серединный перпендикуляр отрезка. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема Пифагора.
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольни ков. Точки пересечения медиан, биссектрис, высот треуголь ника, серединных перпендикуляров сторон треугольника. Свойство биссектрисы треугольника. Теорема Фалеса. Метри ческие соотношения в прямоугольном треугольнике. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного тре угольника и углов от 0 до 180. Формулы, связывающие си нус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Реше ние треугольников. Теорема синусов и теорема косинусов.
Четырёхугольники. Параллелограмм. Свойства и при знаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства и признаки. Трапеция. Средняя линия трапе ции и её свойства.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Геометрические построения
Окружность и круг. Элементы окружности и круга. Цен тральные и вписанные углы. Касательная к окружности и её свойства. Взаимное расположение прямой и окружно сти. Описанная и вписанная окружности треугольника. Вписанные и описанные четырёхугольники, их свойства и признаки. Вписанные и описанные многоугольники.
Геометрическое место точек (ГМТ). Серединный перпен дикуляр отрезка и биссектриса угла как ГМТ.
Геометрические построения циркулем и линейкой. Основ ные задачи на построение: построение угла, равного данно му, построение серединного перпендикуляра данного отрез ка, построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой, построение биссектри сы данного угла. Построение треугольника по заданным эле ментам. Метод ГМТ в задачах на построение.
Измерение геометрических величин
Длина отрезка. Расстояние между двумя точками. Рас стояние от точки до прямой. Расстояние между параллель ными прямыми.
Периметр многоугольника.
Длина окружности. Длина дуги окружности.
Градусная мера угла. Величина вписанного угла.
Понятия площади многоугольника. Равновеликие фигу ры. Нахождение площади квадрата, прямоугольника, па раллелограмма, треугольника, трапеции.
Понятие площади круга. Площадь сектора. Отношение площадей подобных фигур.
Декартовые координаты на плоскости
Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка. Уравнение фигуры. Уравнения окружно сти и прямой. Угловой коэффициент прямой.
Векторы
Понятие вектора. Модуль (длина) вектора. Равные векто ры. Коллинеарные векторы. Координаты вектора. Сложе ние и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Косинус угла между двумя векторами.
Геометрические преобразования
Понятие о преобразовании фигуры. Движение фигуры. Виды движения фигуры: параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия, поворот. Равные фи гуры. Гомотетия. Подобие фигур.
Элементы логики
Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. До казательство от противного. Теорема, обратная данной. Не обходимое и достаточное условия. Употребление логиче ских связок если..., то ..., тогда и только тогда.
Геометрия в историческом развитии
Из истории геометрии, «Начала» Евклида. История пя того постулата Евклида. Тригонометрия — наука об измере нии треугольников. Построение правильных многоугольни ков. Как зародилась идея координат.
Н.И. Лобачевский. Л. Эйлер. Фалес. Пифагор.
Примерное тематическое планирование. Математика. 5 класс
(I вариант. 5 часов в неделю, всего 175 часов
Номер
параграфа
Содержание учебного материала
Количество часов
Характеристика основных видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
I
II
Глава 1
Натуральные числа
20
23
1
Ряд натуральных чисел
2
2
Описывать свойства натурального ряда. Читать и записывать натуральные числа, сравнивать и упорядочивать их.
Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире отрезок, прямую, луч, плоскость. Приводить примеры моделей этих фигур.
Измерять длины отрезков. Строить отрезки заданной длины. Решать задачи на нахождение длин отрезков. Выражать одни единицы длин через другие. Приводить примеры приборов со шкалами.
Строить на координатном луче точку с заданной координатой, определять координату точки
2
Цифры.
Десятичная запись натуральных чисел
3
3
3
Отрезок
4
5
4
Плоскость.
Прямая. Луч
3
4
5
Шкала.
Координатный луч
3
3
6
Сравнение натуральных чисел
3
4
Повторение и систематизация учебного материала
1
1
Контрольная
работа № 1
1
1
Глава 2
Сложение и вычитание
натуральных чисел
33
38
7
Сложение натуральных чисел. Свойства сложения
4
5
Формулировать свойства сложения и вычитания натуральных чисел, записывать эти свойства в виде формул. Приводить примеры числовых и буквенных выражений, формул. Составлять числовые и буквенные выражения по условию
задачи. Решать уравнения на основании зависимостей между компонентами действий сложения и вычитания. Решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.
Распознавать на чертежах и рисунках углы, многоугольники, в частности треугольники, прямоугольники. Распознавать в окружающем мире модели этих фигур.
С помощью транспортира измерять градусные меры углов, строить углы заданной градусной меры, строить биссектрису данного угла. Классифицировать углы. Классифицировать треугольники по количеству равных сторон и по видам их углов. Описывать свойства прямоугольника.
Находить с помощью формул периметры прямоугольника и квадрата. Решать задачи на нахождение периметров прямоугольника и квадрата, градусной меры углов.
Строить логическую цепочку рассуждений, сопоставлять полученный результат с условием задачи.
Распознавать фигуры, имеющие ось симметрии.
8
Вычитание натуральных чисел
5
6
9
Числовые и буквенные выражения. Формулы
3
3
Контрольная работа № 2
1
1
10
Уравнение
3
4
11
Угол. Обозначение углов
2
2
12
Виды углов. Измерение углов
5
5
13
Многоугольники. Равные фигуры
2
3
14
Треугольник и его виды
3
4
15
Прямоугольник.
Ось симметрии фигуры
3
3
Повторение и систематизация учебного материала
1
1
Контрольная работа № 3
1
1
Глава 3
Умножение и деление
натуральных чисел
37
45
16
Умножение. Переместительное свойство умножения
4
5
Формулировать свойства умножения и деления натуральных чисел, Записывать эти свойства в виде формул. Решать уравнения на основании зависимостей между компонентами арифметических действий.
Находить остаток при делении натуральных чисел. По заданному основанию и показателю степени находить значение степени числа.
Находить площади прямоугольника и квадрата с помощью формул. Выражать одни единицы площади через другие.
Распознавать на чертежах и рисунках прямоугольный параллелепипед, пирамиду. Распознавать в окружающем мире модели этих фигур. Изображать развёртки прямоугольного параллелепипеда и пирамиды.
Находить объёмы прямоугольного параллелепипеда и куба с помощью формул. Выражать одни единицы объёма через другие.
Решать комбинаторные задачи с помощью перебора вариантов
17
Сочетательное и распределительное свойства умножения
3
4
18
Деление
7
8
19
Деление с остатком
3
3
20
Степень числа
2
3
Контрольная работа № 4
1
1
21
Площадь. Площадь прямоугольника
4
5
22
Прямоугольный параллелепипед. Пирамида
3
4
23
Объём прямоугольного параллелепипеда
4
5
24
Комбинаторные задачи
3
4
Повторение и систематизация учебного материала
2
2
Контрольная работа № 5
1
1
Глава 4
Обыкновенные дроби
18
20
25
Понятие обыкновенной дроби
5
6
Распознавать обыкновенную дробь, правильные и неправильные дроби, смешанные числа.
Читать и записывать обыкновенные дроби, смешанные числа. Сравнивать обыкновенные дроби с равными знаменателями. Складывать и вычитать обыкновенные дроби с равными знаменателями. Преобразовывать неправильную дробь в смешанное число, смешанное число в неправильную дробь. Уметь записывать результат деления двух натуральных чисел в виде обыкновенной дроби.
26
Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей
3
3
27
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2
2
28
Дроби и деление натуральных чисел
1
1
29
Смешанные числа
5
6
Повторение и систематизация учебного материала
1
1
Контрольная работа № 6
1
1
|
