Методические рекомендации Кемеровский район 2010 Автор З. М. Волкова, учитель математики муниципального образовательного учреждения «Ясногорская средняя общеобразовательная школа Кемеровского района Кемеровской области», отличник народного просвещения

Межпредметные связи как средство мотивации обучения методические рекомендации Кемеровский район 2010 Автор З.М. Волкова, учитель математики муниципального образовательного учреждения «Ясногорская средняя общеобразовательная школа Кемеровского района Кемеровской области», отличник народного просвещения Методические рекомендации предназначены для учителей математики, которые могут быть применены на уроках и групповых занятиях. В рекомендациях приведены примеры физических задач и математические способы их решения. Введение Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это – математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки… С.Л. Соболев Большое значение для повышения эффективности обучения физике имеет умение школьников применять математические знания. В этом обучающиеся часто испытывают трудности. Одной из причин является отсутствие связи рассматриваемых в курсе математики зависимостей, закономерностей, графиков от реальных процессов и явлений. Поэтому в курсе математики необходима система задач, которые позволят обучающимся достичь более высокого уровня обобщения их знаний, сформируют понятия о практическом применении знаний и умений, полученных при изучении математики. Целью использования задач является формирование умений получать информацию о физическом процессе, исходя из его математической модели (формулы, графики). Математика является основой теоретической физики. Это означает, что математическими методами можно моделировать физические процессы, решать физические задачи. На занятиях по вариативной части учебного плана для расширения представлений обучающихся о значении математики для естественных наук, ее прикладного характера используются дифференциальные уравнения. Понятие обучающимися роли математики для естественных и технических наук способствует осознанному усвоению знаний, повышает познавательный интерес к предмету. I. Функции вида у = kх (k ≠ 0) и у = (х ≠ 0) Записать формулой: а)переменная S пропорциональна переменной t; б) переменная z пропорциональна переменной p; в) переменная Е обратно пропорциональна переменной R; г) переменная z обратно пропорциональна переменной t. Рассмотрите случаи, когда коэффициент пропорциональности (или обратной пропорциональности) равен: 2, ; . 2. По данной формуле определите вид зависимости между переменными величинами и коэффициент пропорциональности (или обратной пропор-циональности): а = , если m – const; m = ρV, если ρ – const; I = , если U– const; k = , если k – const. 3.В сосуд наливают жидкость. В какой зависимости находится масса налитой жидкости от ее объема? Р е ш е н и е. Масса тела (m) по его плотно­сти (ρ) и объему (V) вычисляется по фор­муле m = ρV; (1) так как в данном случае ρ — const, то перемен­ная m пропорциональна переменной V с ко­эффициентом ρ. В металлический баллон нагнетают газ. В какой зависимости находится масса газа в баллоне от его плотности? Решение. Здесь надо считать, что в фор­муле (1) V — const, поэтому переменная m пропорциональна переменной ρ . 5. Газ сжимается в сосуде поршнем. В ка­кой зависимости находятся плотность и объем газа? Решение. В данной ситуации m — const, поэтому, пользуясь формулой (1), заключаем, что переменная ρ обратно пропорциональна переменной V с коэффициентом m. Связь между массой и величиной силы тяжести тела выражается формулой F=9,8 m. Как изменится сила тяжести, если масса уве­личится в 4 раза? Решение. Поскольку величины F и m не­отрицательны, то с увеличением массы m в 4 раза сила тяжести F увеличится во столько же раз. 7. Давление р определяется по формуле p = где F - величина силы, действую­щей на пластину площади S перпендикулярно к ней. Как изменится давление, если площадь пластины уменьшится в 3 раза, а величина действующей на нее силы не изменится? Решение. Если F — const, то ρ обратно пропорционально S. Учитывая, что р, F и S — положительные величины, можем утверждать, что с уменьшением площади S в 3 раза дав­ление р увеличится в 3 раза. Несколько тел одной и той же массы сделаны из различных материалов. Определите, будет ли возрастать (убывать) последова­тельность объемов тел, если тела расположить в порядке убывания их плотностей? Решение. Воспользуемся формулой (1). В данной ситуации m — const. Поэтому с уменьшением плотности тел последователь­ность их объемов возрастает. 9.Две переменные величины I и U связаны соотношением R =, где R — постоянное по­ложительное число. Значения величин I и U показывают соответственно приборы А а Б. В какую сторону поворачивается стрелка прибора Б, если стрелка прибора А поворачива­ется вправо? Решение. Из формулы ясно, что с увели­чением значений переменной U значения пе­ременной I также увеличиваются. Поэтому стрелки обоих приборов поворачиваются в одну и ту же сторону (см. рис. 1). ( рис. 1). 10. В баллоне объемом 2 м3 содержится 4 кг кислорода. Начертите график зависимо­сти плотности кислорода от его массы в про­цессе расходования содержимого баллона. (Считать, что кислород расходуется полно­стью.) Р е ш е н и е. В данном случае объем V — по­стоянная величина. Из соотношения (1) ясно, что переменная ρ пропорциональна перемен­ной m. Графиком зависимости ρ от m служит отрезок с концами в точках с координатами (4; 2) и (0; 0), так как m принимает значения из промежутка [0; 4]. 11.По графику (см. рис. 2) функции у = (рис. 2) определите значение параметра ( рис. 2). II. Уравнение показательного роста Рассмотрим дифференциальное уравнение вида у'(x) = ky(x), (1) где k - постоянная, а у(х) - искомая функ­ция. Уравнение (1) называется уравнением по­казательного роста. Оно имеет следующий смысл: для каждого значения аргумента ско­рость изменения функции пропорциональна значению этой функции. Чтобы найти решения уравнения (1), мож­но поступить следующим образом. Пусть у(х) —некоторое решение, т. е. y'(x) - ky(x) = 0 истинно. Умножив обе части равенства на отличный от нуля множитель е -kх, получим верное равенство е-kх у'(х) – e -kxky(x) = 0. (2) Так как (е -kх у (х))' = е -kх у' (х) — ke -kх у (х), то равенство (2) можно записать так (е -kх у (х))′ = 0, откуда е -kх у (х) = С, или у(х) = Сеkх, (3) где С — произвольная постоянная. Итак, только функции вида (3) могут быть решениями уравнения показательного роста (1). Непосредственная подстановка в уравне­ние (1) показывает, что при любой постоян­ной С функция (3) является решением урав­нения (1). Таким образом, формула (3) опре­деляет множество решений уравнения (1). Чтобы из найденного множества решений (3) выделить определенное, нужно знать кон­станту С. Для этого требуются дополнитель­ные условия — так называемые начальные ус­ловия; в данном случае достаточно знать зна­чение искомой функции при некотором значе­нии аргумента: у(х0) = у0 (4) В самом деле, подставив начальное условие (4) в решение (3), найдем у0 = Се -kх, откуда С = у0е -k. Подставив это значение С в фор­мулу (3), получим решение уравнения показа­тельного роста, удовлетворяющее заданному начальному условию (4): y(x) = y0еk(х – х). (5) Мы видим, что постоянная С по начальному условию (4) определяется однозначно; поэто­му решение (5), удовлетворяющее заданному начальному условию, будет единственным. Пример. Решить уравнение у'(х)=3у(х), если у(0) =2. Здесь k=3, х0 = 0, у0 = 2; решение можно записать по формуле (5): у(х)=2е3ж. Это бу­дет его единственное решение, удовлетворяю­щее заданному начальному условию. Рассмотрим некоторые приложения уравне­ния (1). При решении задач надо сначала со­ставить дифференциальное уравнение, указать (исходя из условий задачи) начальное условие, а затем решить уравнение. При состав­лении уравнения обычно используют извест­ные учащимся из курсов физики и химии за­коны. Скорость прямолинейного движения По второму закону Ньютона, m, (6) где - ускорение движения материальной точки массы m, - результирующая всех сил, действующих на материальную точку. Скорость движения (t) и ускорение (t) являются функциями времени t, причем, как известно, (t) ='(t). Заметим, что действия над векторами, направленными вдоль одной прямой, на которой выбрано положительное направление, можно заменить действиями над их проекциями на эту прямую, т. е. скаляра­ми. Таким образом, в случае движения мате­риальной точки вдоль оси Ох равенство (6) может быть заменено равенством mv' (t) = F, (7) где через v'(t) и F обозначены соответствен­но проекции векторов '(t) и на эту ось. Уравнение (7) описывает также и поступа­тельное движение тела. Такое движение мож­но рассматривать как движение материаль­ной точки, находящейся в центре масс тела, под действием сил, приложенных к центру масс. З а д а ч а. Моторная лодка движется в сто­ячей воде со скоростью 5 м/с. На полно, хо­ду ее мотор был выключен; через 4 с ее ско­рость стала равной 1 м/с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скоро­сти движения лодки, определить, через сколь­ко секунд после выключения мотора скорость уменьшится до 4 см/с? Р е ш е н и е. Будем считать, что лодка дви­жется прямолинейно. Направим ось Ох вдоль движения лодки. Обозначим через v(t) ско­рость движения лодки в момент времени t по­сле выключения мотора. В момент выключе­ния мотора (t=0) скорость, по условию, рав­на 5 м/с, т. е. v(0) = 5. (8) Это — начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. Пусть масса лодки равна m. По условию, на движущуюся лодку действует сила F = - k1v(t), где k1 > 0 (знак минус указывает на то, что сила сопро­тивления воды направлена против скорости движения лодки). Подставив это значение F в уравнение (7) и положив =k, получим дифференциальное уравнение v' (t) = - kv (t), k > 0, аналогичное уравнению (1). По формуле (5) найдем его решение при начальном усло­вии (8): v (t) = 5е-kt = 5e Это — начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. Пусть масса лодки равна m. По условию, на движущуюся лодку действует сила F = - k1v(t), где k1 > 0 (знак минус указывает на то, что сила сопро­тивления воды направлена против скорости движения лодки). Подставив это значение F в уравнение (7) и положив =k, получим дифференциальное уравнение v' (t) = - kv (t), k > 0, аналогичное уравнению (1). По формуле (5) найдем его решение при начальном усло­вии (8): v (t) = 5е-kt = 5e . Используя дополнительное условие v (4) = 1 м/с, найдем e- k = поэтому v (t) = 5· - это закон измене­ния скорости движения лодки после остановки мотора. Для ответа на вопрос задачи нужно решить уравнение v (t) = 0,04 относительно t. Решив его, получим t = 12 с. Радиоактивный распад Из физики известно, что количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени, составляет постоянную часть от количества нераспавшихся атомов. Для каждого вида радиоактивного вещества эта постоянная часть своя, она называется посто­янной распада и обозначается через λ. Дру­гими словами: скорость распада атомов радио­активного вещества пропорциональна налич­ному количеству нераспавшихся атомов, т. е. M'(t) = -λM(t), λ > 0, (9). где M(t)—число нераспавшихся радиоактив­ных атомов вещества в момент времени t, М'(t) — скорость их распада. Так как с тече­нием времени количество нераспавшихся ато­мов уменьшается, то производная M'(t) отри­цательна. Уравнение (9) является дифферен­циальным уравнением, аналогичным диффе­ренциальному уравнению показательного рос­та (1). Учитывая связь между числом ядер и массой радиоактивного вещества, будем го­ворить просто о распаде радиоактивного ве­щества. З а д а ч а. Имеется М0 радиоактивного ве­щества. Если за 30 лет распадается 50% его, то через сколько времени останется 25% пер­воначального количества? Р е ш е н и е. Обозначим через M(t) количе­ство радиоактивного вещества в момент вре­мени t. Тогда М(0) = М0. (10) Это — начальное условие задачи. Решив урав­нение (9) при начальном условии (10) по фор­муле (5), получим M(t) = M0e - λt . (11) Приняв во внимание, что М (30) = , из формулы (11) найдем e- λ = С помощью элементарных вычислений получа­ем ответ на вопрос задачи: 60 лет. Поглощение света При прохождении света через воду (или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды перпендикулярно к ней падает свет с интенсивностью А0, ин­тенсивность света на глубине х обозначим че­рез А(х). Производная А'(х)—скорость пог­лощения света на глубине х. Из оптики из­вестно, что для таких сред, как вода или стек­ло, скорость поглощения света на глубине х пропорциональна интенсивности света на этой глубине, т. е. A'(x) = - kA(x), k > 0. (12) Так как интенсивность света А(х) с увели­чением глубины х уменьшается, то производ­ная А'(х) отрицательна. Уравнение (12) яв­ляется дифференциальным уравнением типа (1) относительно функции А(х). Задача. Десятиметровый слой воды по­глощает 40% падающего на ее поверхность света. На какой глубине дневной свет будет по яркости таким же, как лунный свет на по­верхности воды, если яркость лунного света составляет ·10 -5 яркости дневного света? Решение. Начальное условие задачи име­ет вид А(0) = А0. (13) Записав решение уравнения (12) при началь­ном условии (13) по формуле (5), получим А(х) = А0e -kx; откуда, используя дополни­тельное условие А (10) = 0,6A0, найдем e-k = Закон поглощения света примет вид А(х)=А0 Для определения указанной в задаче глу­бины х получим уравнение откуда х 247 м. Концентрация раствора Задача. Имеется сосуд емкостью а л, на­полненный водным раствором соли. В сосуд вливается вода со скоростью b л в минуту, перемешивается, и получающийся раствор однородной концентрации вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет со­держаться в растворе в момент времени t, ес­ли в начальный момент (t = 0) ее было в рас­творе А0 кг? Вычислить ответ, если а = 100 л, A0=10 кг, b = 3 л в мин, t= 1 ч. Решение. Обозначим через A(t) количе­ство соли в растворе в момент времени t. Кон­центрация раствора в этот момент времени бу­дет равна A(t)/a. Изменение количества соли в растворе в единицу времени равно разности между количествами соли, поступающей в со­суд и выходящей из него. Но соль в сосуд не поступает, а выходит из него в единицу вре­мени bA(t)/a. Поэтому скорость A'(t) измене­ния количества соли в растворе равна A′(t)= - A(t). (14) Знак минус указывает на уменьшение коли­чества соли в растворе. Имеем дифференци­альное уравнение типа (1) с начальным усло­вием А(0) = А0. (15) Записав решение уравнения (14) при начальном условии (15) по формуле (5), получим A(t)= А0е . Учитывая числовые данные зада­чи, найдем А(60)≈1,654 кг.

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Ясногорская средняя общеобразовательная школа» Кемеровского муниципального района Кемеровской области имеет лицензию на право осуществления...		Доклад муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная... «Отличник народного просвещения» и «Почетный работник общего образования» за заслуги в области образования. 1 учитель начальных классов...
	Департамент образования Ярославской области Центр образования школьников... Авторы: Кривошеин Олег Викторович, Баранова Татьяна Алексеевна – учителя математики Муниципального образовательного учреждения Харламовская...		Конспект урока «Решение уравнений» (урок закрепления пройденного материала) Автор: Терехова Любовь Петровна, учитель математики муниципального бюджетного образовательного учреждения Криволесская основная общеобразовательная...
	Публичный доклад моу ильменская средняя общеобразовательная школа... У ильменская средняя общеобразовательная школа Поворинского муниципального района Воронежской области. «Результаты деятельности Муниципального...		Трифонова Любовь Валентиновна Место работы: мбоу «Промышленновская... Место работы: мбоу «Промышленновская средняя общеобразовательная школа №56» Кемеровской области
	Конкурс для педагогов образовательных учреждений Омской области «Радуга... Авторы: Кривошеин Олег Викторович, Баранова Татьяна Алексеевна – учителя математики Муниципального образовательного учреждения Харламовская...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Средняя общеобразовательная школа №1911 была открыта в 1995 году. С первых дней ее возглавляет Заслуженный учитель Российской Федерации,...
	Доклад Кемеровской области и направляется Губернатору Кемеровской области, в Совет народных депутатов Кемеровской области, Главному федеральному...		Кузбассвузиздат Кемеровской области и направляется Губернатору Кемеровской области, в Совет народных депутатов Кемеровской области, Главному федеральному...
	Исследовательская работа Выполнена ученицей 9б класса муниципального... ...		Программа перспективного развития Муниципального казенного образовательного... Муниципальное казенное образовательное учреждение Клеванцовская средняя общеобразовательная школа Островского района
	Отчёт о результатах самообследования муниципального казенного общеобразовательного учреждения Полное наименование образовательного учреждения в со­ответствии с Уставом: Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение...		Основная образовательная программа муниципального общеобразовательного... Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2 с. Киргиз-Мияки муниципального района...
	Доклад Муниципального образовательного учреждения «Кыллахская средняя... Кыллахская средняя общеобразовательная школа функционирует как средняя школа с 1972 года. С 16 января 2010 года школа работает в...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Наименование образовательного учреждения: Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа№2 муниципального...