Методические рекомендации Кемеровский район 2010 Автор З. М. Волкова, учитель математики муниципального образовательного учреждения «Ясногорская средняя общеобразовательная школа Кемеровского района Кемеровской области», отличник народного просвещения

III. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка Подобно тому как в алгебре возникает по­нятие степени алгебраического уравнения, в анализе возникает понятие порядка дифферен­циального уравнения. Если дифференциальное уравнение содер­жит лишь первую производную искомой функ­ции, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Из дифферен­циальных уравнений первого порядка для при­ложений большое значение имеют уравнения вида у'(x) + p(x)y(x) = q(x), (16) где р(х) и q(x) - некоторые непрерывные функции; в частности, они могут быть посто­янными. Это уравнение линейное относитель­но искомой функции и ее производной. Такие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями. При q(х) = 0 уравнение (16) принимает вид у'(x) + p(x)y(x) = 0, (17) Оно называется линейным однородным уравнением; при q(x) ≠ 0 уравнение (16) называется линейным неоднородным. Укажем метод решения линейного однородного уравнения (17). Пусть у(х) – его решение, т.е. равенство у′(х) + р(х)у(х) = 0 (18) справедливо. Обозначим через v (х) одну из первообразных функций р(х) и умножим обе части равенства (18) на отличный от нуля множитель еv(x). Заметив, что v′ (х) = р(х), получим справедливое равенство (у(х) еv(x))′= 0. Следовательно, у(х)еv(x)= С, где С – произвольная постоянная, откуда у(х) = Се - v(x) (19) Итак, если у(х) – решение уравнения (17), то оно имеет вид (19). Обратно, непосредственной подстановкой в уравнение (17) функции (19) убеждаемся, что при любом значении постоянной С она является решением уравнения (17). Следовательно, формула (19) дает множество всех решений уравнения (17). При начальном условии (4) из нее можно получить определенное решение. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (16) может быть сведено к уже рассмотренному случаю однородного уравнения. Например, если функция р(х) и q(х) – постоянные, т. е. р(х) = k, k ≠ 0, q(х) = а (k и а – постоянные), уравнение у′(х) + kу(х) = а (20) можно переписать в виде однородного уравнения (у(х) - )′ + k(у(х) - ) = 0. Отсюда следует, что множество всех решений у(х) этого уравнения определяется формулой у(х) = Се – kx + , а решение уравнения (20), удовлетворяющее начальному условию(4), - формулой у(х) = (у0 - ) е + . (21) Рассмотрим некоторые задачи на применение линейных уравнений. Охлаждение тела Нагретое тело, погруженное в среду с более низкой температурой, будет охлаждаться, при этом скорость охлаждения с течением времени уменьшается. Как известно, скорость охлаждения поверхности тела в любой ее точке пропорциональна разности температур поверхности тела и окружающей среды. З а д а ч а. Металлическая деталь, нагретая до 500˚С, охлаждается в воздухе при температуре 200 Через 10 мин после начала охлаждения температура на поверхности детали понизилась до 100˚С. Какой будет температура на поверхности детали через 20 мин? Р е ш е н и е. Обозначим через U(t) температуру на поверхности детали в момент времени t после начала охлаждения. По условию U(0) = 500. (22) Это - начальное условие задачи. Скорость охлаждения поверхности детали в момент времени t равна U′(t). Считая температуру воздуха постоянной, получим: U′(t) = - k(U(t) – 20), k > 0 Так как температура на поверхности детали уменьшается, то производная отрицательна. Отсюда для U(t) получается линейное дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (20): U′(t) + kU(t) = 20 k Решая по формуле (21) с начальным условием (22), получим U(t) = 480е-kt + 20. Используя дополнительное условие U(10) = 100, найдем е-k = и, следовательно, U(t) = 480. + 20. При t = 20 получим U(20) = 33˚. Простейшие электрические цепи Если в замкнутую электрическую цепь последовательно включены источник тока с электродвижущей силой (э. д. с.) Е В, активное сопротивление R Ом, катушка с индуктивностью L Гн и конденсатор емкости С Ф, то, как известно из электротехники, между э. д. с. и напряжениями на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе в любой момент времени t существует такая зависимость: Е = UR + UC + UL (23) Здесь UR = RI(t) – напряжение на активном сопротивлении, UC = - напряжение на конденсаторе и UL = LI′(t) – напряжение на катушке индуктивности; I(t) – сила тока в цепи в момент времени t, измеряемая в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент времени t, измеряемый в кулонах. Используя соотношение (23) и зная, что q′ (t) = I(t), можно найти силу тока в цепи в зависимости от заданной э. д. с. источника тока. З а д а ч а. Последовательно включены источник тока с э. д. с. Е В, катушка с индуктивностью L Гн (L ≠ 0) и активное сопротивление R Ом. Найти закон изменения силы тока I(t) в цепи, считая, что в начальный момент времени (t = 0) она равна нулю. Рассмотреть два случая: а) э. д. с. постоянная - Е(t) = Е; б)э. д. с. синусоидальная - Е(t) = Е0sin ωt, Е0 и ω – постоянные. Р е ш е н и е. Используя (23), после соответствующих подстановок получим соотношение I(t) R + I′(t) L = Е(t), которые при заданных R , L и Е(t) можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение I′(t) + I(t) = (24) с начальным условием I(0) = 0. (25) С л у ч а й а. При постоянном Е(t) = Е уравнение (24) с начальным условием (25) аналогично уравнению (20) с начальным условием (4). Решив его по формуле (21), найдем I(t) = - е (26) Из (26) следует, что с ростом времени t сила тока I(t) стремится к постоянному значению . Таким образом, в установившемся режиме при постоянной э. д. с. источника тока сила тока постоянна и равна . Другими словами, при постоянном э. д. с. источника тока возникающий в такой цепи ток «не замечает» индуктивности и подчиняется закону Ома для замкнутой цепи постоянного тока. С л у ч а й б. При синусоидальной э. д. с. Е(t) = Е0sin ωt (Е0 и ω – постоянные) запишем уравнение (24) в виде I′(t) + kI(t) = α sin ωt (α, k и ω – постоянные), (27) введя обозначения: k = , α = . Чтобы найти решение уравнения (27), умножим обе его части на отличный от нуля множитель е kt. Тогда его можно записать в виде: (I(t) е kt)′ = α((k sin ωt - ω cos ωt)′, откуда получим I(t) = Се – kt + , где С – произвольная постоянная. Учитывая начальное условие (25) и полагая = cos β, = sin β, получим решение уравнения (27),удовлетворяющее начальному условию (25), в виде I(t) = е – kt + sin (ωt – β). (28) Из формулы (28) видим, что в установившемся режиме, т. е. при t → ∞, в случае синусоидальной э. д. с. источника тока, сила тока будет также синусоидальной и равна А sin (ωt – β), где А, ω, β – постоянные 3. Падение тел. При падении тел в пустоте движение происходит прямолинейно под действием силы тяжести. При падении тел в воздухе движение можно считать прямолинейным, происходящим под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, направленной вверх. З а д а ч а. Найти скорость v (t) движения тела, падающего в воздухе на землю, считая силу сопротивления воздуха прямо пропорциональной скорости движения и начальную скорость равной v0 м/с. Р е ш е н и е. Направим ось Оу вертикально вниз вдоль траектории падения тела. На тело будут действовать две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Проекция силы тяжести на ось Оу равна mg, где m - масса тела; проекция силы сопротивления воздуха на ось Оу, согласно условию задачи, равна – kv(t), где k- коэффициент пропорциональности. Проекция ускорения движения тела на ту же ось равна производной v′(t). На основании второго закона Ньютона будем иметь mv′(t) = mg - kv(t) , или v′(t) + k1v(t) = g, (29) где k1 = . Уравнение (29) – линейное дифференциальное уравнение типа (20) с начальным условием v(0) = v0. По формуле (21) найдем его решение: v(t) = (v0 - )e+ . Из этой формулы видно, что с возрастанием времени t скорость падения v(t) будет приближаться к значению . Причем если v0 < , то скорость v(t) будет приближаться к значению возрастая, а при v0 > - убывая. Например, при затяжном прыжке парашютиста после раскрытия парашюта скорость с течением времени будет, убывая, приближаться к значению . Величина k зависит от диаметра купола парашюта. Это позволяет (при известном значении mg), сделать расчет так, чтобы скорость спуска парашютиста была безопасной для приземления. Обычно такая скорость равна 5 – 7 м/с. З а д а ч а. Найти скорость v(t) движения тела, падающего в пустоте на землю, считая начальную скорость движения равной v0.. Р е ш е н и е. В этом случае сопротивление воздуха отсутствует и уравнение (29) видоизменяется v′(t) = g. (30) В результате интегрирования получим множество решений v(t) = gt + С, из которого найдем решение уравнения (30), удовлетворяющее заданному начальному условию v(0) = v0: v(t) = v0 + gt – результат, хорошо известный обучающимся из курса физики. IV. Уравнение гармонического колебания Если дифференциальное уравнение содержит вторую производную искомой функции и не содержит производных более высокого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка. Так же как и в случае уравнений первого порядка, наибольший интерес для приложений представляют линейные дифференциальные уравнения второго порядка, т. е. уравнения, линейные относительно искомой функции и ее производных. Частным случаем является уравнение гармонических колебаний у′′(х) + а2у(х) = 0, (31) где а > 0 – некоторая постоянная. Укажем метод решения таких уравнений. Пусть у(х) – некоторое решение уравнений (31), т. е. у′′(х) + а2у(х) = 0 – верное равенство. Умножив обе части этого равенства на 2у′(х), получим 2у′(х)у′′(х) + 2 а2у(х) у′(х) = 0, или (у′2(х) + а2у2(х))′ = 0, откуда следует, что у′2(х) + а2у2(х) = С, где С – произвольная постоянная. Так как С ≥ 0 (С равно сумме квадратов), то можно положить С = а2А2, где А – новая произвольная постоянная. Итак, у(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка у′2(х) = а2(А2 – у2(х)), равносильному совокупности двух дифференциальных уравнений: у′(х) = а, (32) у′(х) = - а. (33) записав уравнение (32) в виде - а = 0, или (arcsin - ах)′ = 0, получим arcsin - ах = φ, где φ – новая произвольная постоянная. Отсюда имеем: у(х) = А sin (ах + φ). (34) Легко убедиться, что функция (34) является решением уравнения (31), следовательно, формулой (34) определяется множество всех решений дифференциального уравнения гармонических колебаний (31). Чтобы из множества решений (34) выделить определенное, надо указать произвольные постоянные А и φ. Для этого достаточно знать при некотором значении аргумента х0 значения искомой функции и ее производной: у(х0) = у0, у′(х0) = у′0. Они называются начальными условиями. Подставив их соответственно в (34) и в равенство у′(х) = аА cos (ах + φ) (оно получается дифференцированием соотношения (34)), придем к системе уравнений относительно А и φ: у0(х) = А sin (ах0 + φ) у′0(х) = аА cos (ах0 + φ) Решив ее (считая А положительным, а φ удовлетворяющим условию - < φ < ), найдем А и φ. Например, при х0 = 0 получим А = φ = аrctg . Следовательно, решение уравнения (31) при начальных условиях у(0) = у0, у′(0) = у′0 (35) имеет вид у(х) = sin(ах + аrctg ). (36) Заметим, что это будет единственное решение уравнения (31) при начальных условиях (35), ибо постоянные А и φ по этим условиям определяются однозначно. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний возникает при изучении различных колебательных процессов: колебания маятника, антенны, рессоры, качки корабля и т. д. Рассмотрим некоторые примеры. Колебания под действием упругой силы пружины З а д а ч а. На вертикальной пружине закреплен груз массы m г. Груз выведен из положения равновесия и затем отпущен. Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Р е ш е н и е. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза в положении равновесия, которую примем за начало координат (см. рис 3.). Обозначим через х(t) отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. Пусть в начальный момент (t = 0) это отклонение равно х0, а скорость движения - х′0, т. е. х(0) = х0, х′(0) = х′0 (37) Это – начальные условия. Рис.3 Составим дифференциальное уравнения движения груза, опираясь на второй закон Ньютона: , где - результирующая всех сил, приложенных к грузу. В данном случае она составляется из силы тяжести и силы упругости пружины. Движение вдоль оси Ох определяется проекцией Fх силы на эту ось. Известно, что при небольших отклонениях груза от положения равновесия эта проекция пропорциональна величине отклонения, т. е. Fх = - kx(t)3, k > 0. Знак минус указывает на то, что проекция Fх и отклонение х(t) имеют противоположные знаки. Таким образом, уравнение движения груза запишется в виде: maх = - kx(t), где ах – проекция ускорения на ось Ох. Обозначив отношение через ω2 и приняв во внимание равенство ах = х′′(t) и начальные условия (37), получим дифференциальное уравнение х′′(t) + ω2 х(t) = 0 (38) движение груза с начальными условиями (37). Оно аналогично дифференциальному уравнению (31) с начальными условиями (35). Запишем его решение по формуле (36) х(t) = · sin (ωt + atctg ). (39) Формула (39) выражает закон движения груза. Из нее видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия (отсюда и название уравнения). Частота и период колебания соответственно равны ω = ; T = , или Т = 2π. Как видим, частота ω и период колебания Т зависят только от жесткости пружины и от массы груза. Иными словами, период колебания и частота определяются свойствами самой системы. Амплитуда же колебаний А = и начальная фаза φ = atctg зависит также от начального состояния колеблющейся системы, т. е. от х0 и х′0. 2. Колебательный контур Колебательным контуром называют электрическую цепь, которая состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к обкладкам конденсатора. Если конденсатор присоединить к батарее, то его пластины получат некоторый заряд и на его обкладках возникнет разность потенциалов. После присоединения заряженного таким образом конденсатора к катушке он начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Однако сила тока благодаря явлению самоиндукции будет увеличиваться постепенно и достигнет своего наибольшего значения, когда конденсатор полностью разрядится. При этом в силу явления самоиндукции ток исчезнет не сразу. Постепенное уменьшение силы тока вызовет перезарядку обкладок конденсатора. Когда ток исчезнет, обкладки конденсатора окажутся перезаряженными, система вернется в исходное состояние и процесс пойдет в обратном направлении. Возникнут электрические колебания. З а д а ч а. Последовательно включены конденсатор емкости СФ, катушка с индуктивностью L Гн. В начальный момент (t = 0) заряд конденсатора равен q0 Кл, а через катушку течет ток I0 А. Найти закон изменения силы тока в цепи (сопротивлением пренебречь). Р е ш е н и е. Обозначим через q(t) заряд конденсатора, через I(t) силу тока в момент времени t. Так как q′(t) = I(t), то для решения задачи достаточно найти q(t). в колебательном контуре нет активного сопротивления R и нет источника тока, следовательно, в выражении (23) R = E(t) = 0. Поэтому имеем соотношение UL + UC = 0, где UC = и UL = LI′(t) = Lq′′(t). В результате получим дифференциальное уравнение второго порядка q′′(t) + = 0 (40) с начальными условиями q(0) = q0, q′(0) = I0, аналогичное уравнению (31) – (35). Поэтому его решение находим по формуле (36) q(t) = ·sin . (41) Продифференцировав соотношение (41) по t, найдем силу тока в цепи: I(t) = · cos. Из этой формулы видим, что I(t) меняется периодически, т. е. в цепи будут происходить электрические колебания с частотой = ω и периодом Т =2π. Замечаем, что частота и период колебаний не зависят от начальных условий, а определяются параметрами электрической цепи: индуктивностью катушки и емкостью конденсатора.

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Ясногорская средняя общеобразовательная школа» Кемеровского муниципального района Кемеровской области имеет лицензию на право осуществления...		Доклад муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная... «Отличник народного просвещения» и «Почетный работник общего образования» за заслуги в области образования. 1 учитель начальных классов...
	Департамент образования Ярославской области Центр образования школьников... Авторы: Кривошеин Олег Викторович, Баранова Татьяна Алексеевна – учителя математики Муниципального образовательного учреждения Харламовская...		Конспект урока «Решение уравнений» (урок закрепления пройденного материала) Автор: Терехова Любовь Петровна, учитель математики муниципального бюджетного образовательного учреждения Криволесская основная общеобразовательная...
	Публичный доклад моу ильменская средняя общеобразовательная школа... У ильменская средняя общеобразовательная школа Поворинского муниципального района Воронежской области. «Результаты деятельности Муниципального...		Трифонова Любовь Валентиновна Место работы: мбоу «Промышленновская... Место работы: мбоу «Промышленновская средняя общеобразовательная школа №56» Кемеровской области
	Конкурс для педагогов образовательных учреждений Омской области «Радуга... Авторы: Кривошеин Олег Викторович, Баранова Татьяна Алексеевна – учителя математики Муниципального образовательного учреждения Харламовская...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Средняя общеобразовательная школа №1911 была открыта в 1995 году. С первых дней ее возглавляет Заслуженный учитель Российской Федерации,...
	Доклад Кемеровской области и направляется Губернатору Кемеровской области, в Совет народных депутатов Кемеровской области, Главному федеральному...		Кузбассвузиздат Кемеровской области и направляется Губернатору Кемеровской области, в Совет народных депутатов Кемеровской области, Главному федеральному...
	Исследовательская работа Выполнена ученицей 9б класса муниципального... ...		Программа перспективного развития Муниципального казенного образовательного... Муниципальное казенное образовательное учреждение Клеванцовская средняя общеобразовательная школа Островского района
	Отчёт о результатах самообследования муниципального казенного общеобразовательного учреждения Полное наименование образовательного учреждения в со­ответствии с Уставом: Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение...		Основная образовательная программа муниципального общеобразовательного... Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2 с. Киргиз-Мияки муниципального района...
	Доклад Муниципального образовательного учреждения «Кыллахская средняя... Кыллахская средняя общеобразовательная школа функционирует как средняя школа с 1972 года. С 16 января 2010 года школа работает в...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Наименование образовательного учреждения: Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа№2 муниципального...