Элементы комбинаторики, статистики и теориивероятностей

6. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 1, 2, 3, не повторяя одинаковых цифр в числах? Ответ: 6 чисел: 123, 132, 213, 231, 321, 312. 7. Сколькими способами три девочки – Аня, Таня и Саня могут занять очередь в кассу? Решение. Для краткости будем называть вместо полного имени девочек первую букву: А, Т, С. Возможны следующие способы: АТС, АСТ, САТ, СТА, ТАС, ТСА. Ответ: 6 способов. 8. Для двух своих книг Вася купил три различные обложки: зеленую, красную и синюю. Сколькими способами он может обернуть книги имеющимися обложками? Ответ: 6 способов: ЗК, ЗС, КЗ, КС, СЗ, СК (Первая буква в паре соответствует цвету первой книги, вторая – второй книги). 9. У Оли три кофточки: белая, розовая и голубая и две юбки: черная и синяя. Какие комплекты из кофты и юбки может она образовать? Сколько их будет? Ответ: 6 комплектов: ЧБ, ЧР, ЧГ, СБ, СР, СГ (первая буква в паре соответствует цвету юбки, вторая – цвету кофточки). 10. В продаже имеются красные, синие, желтые и зеленые шары. Сколькими способами Миша и Коля могут купить себе по шару? Перечислите возможные способы. Ответ: 16 способов: КК; КС; КЗ; КЖ; СК; СС; СЗ; СЖ; ЗК; ЗС; ЗЖ; ЗЗ; ЖЖ; ЖЗ; ЖК; ЖС (первая буква в паре соответствует цвету шара Миши, вторая – Коли). 11. Завтрак состоит из двух блюд. В качестве первого блюда предлагаются сосиски, каша, пельмени, в качестве второго – чай, кофе, молоко. Какие завтраки можно составить из этих блюд? Запишите все возможные комбинации, обозначив каждое блюдо первой буквой. Сколько их? Ответ: 9 завтраков: СЧ, СК, СМ, КЧ, КК, КМ, ПЧ, ПК, ПМ (первая буква в паре соответствует выбору блюда, вторая – выбору напитка). 12. В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, клетку и горошек. Сколько существует вариантов покупки двух полотенец? Ответ: 6 вариантов: ПП, ПК, ПГ, ГК, ГГ, КК. 13. В четверг в I классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день? Ответ: 6 вариантов: РФМ, РМФ, МФР, МРФ, ФРМ, ФМР. 14. Из пяти шахматистов класса нужно выбрать двоих для участия в школьных соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 10 способов: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45. 15. Из пяти человек надо выбрать секретаря и президента собрания. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 20 способов: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 (первая справа цифра в паре соответствует выбору секретаря, вторая – выбору председателя). 16. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада, если имеются два сорта: «Улыбка» и «Аленушка». Решение. Выпишем всевозможные комбинации, обозначая плитки шоколада первой буквой названия: УУУ, УУА, УАА, ААА. Ответ: 4 способа. 17. Пять товарищей решили обменяться фотографиями. Сколько потребуется фотографий? Решение. Каждый из пяти товарищей должен подарить 4 фотографии. Значит, всего потребуется фотокарточек. 1 5 4 2 3 рис. 5 18. Встретились 5 товарищей и решили сыграть друг с другом в шашки по одному. Сколько всего партий они должны сыграть? Решение. Первый способ: нарисуем пять кружков – это шашисты (рис. 5). Первый кружок надо соединить со всеми четырьмя оставшимися кружками (каждая линия соответствует сыгранной партии). Второй кружок будет связан новыми линиями только с тремя кружками, третий – с двумя, от четвертого придется провести только одну новую линию, от пятого – ни одной. Тогда всего должно быть сыграно 4 + 3 + 2 + 1 = 10 партий. Второй способ: каждый из пяти товарищей должен сыграть 4 партии. Но, когда Иванов играет партию в шашки с Петровым, то и Петров играет с Ивановым. Поэтому партий сыграно вдвое меньше, чем , т.е. 10 партий. Ответ: 10 партий. 19. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки. Сколько встретилось приятелей, если рукопожатий было 10? Решение . Решим задачу методом перебора. Будем строить схему рукопожатий до тех пор, пока число рукопожатий не будет равно10. Приятелей обозначим кружочками. рис. 6 1) Пусть встретились два человека. Когда Коля поджимает руку Пете, то это значит, что и Петя пожимает руку Коле. Эти два рукопожатия считаем за одно (рис. 6). 2) Пусть встретились три человека (рис. 7). Было сделано три рукопожатия. рис. 7 рис. 8 3) Пусть встретились 4 человека (рис. 8). Было сделано шесть рукопожатий. рис. 9 рис. 7 рис. 7 рис. 7 рис. 7 рис. 7 рис. 7 рис. 7 4) Пусть встретились пять человек (рис. 9). Было сделано десять рукопожатий. Ответ: 5 человек. Задачу можно решить и с помощью уравнения. Пусть встретились х человек. Тогда каждый пожал руку человеку. Всего было сделано рукопожатий. Так как рукопожатий было 10, составим уравнение: или . Подбором легко найти, что . Ответ: 5 человек. 20. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С – 4 дороги. Сколькими способами можно из города А проехать в город С через город В? Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 10). Возьмем одну из дорог, ведущих из города А в город В. Ее можно продолжить до города С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать и с каждой из оставшихся двух дорог, ведущих из города А в город В. Всего из А в С через В ведут 12 дорог. город А город В город С рис. 10 Ответ: 12 дорог. 21. Могут ли 8 человек прибыть из города А в город С через город В различными путями, если из В в С можно проехать по двум дорогам, а из А в В – по трем? Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 11). рис. 11 город А город В город С Ответ: нет, т.к. из города А в город С через город В можно проехать всего 6 различными дорогами. 22. Пассажир может сесть или в первый вагон на любое из пяти свободных мест, или в третий вагон на любое из четырех свободных мест. Сколькими способами пассажир может разместиться в вагоне? Решение. Обозначим А – посадка в первый вагон, В – посадка в третий вагон, С – посадка в поезд. Построим дерево возможных вариантов (рис. 12). С А В рис. 12 Если в предыдущих задачах дерево вариантов «правильное»: из каждого узла одного уровня выходит одно и то же число веток, то в данной задаче это условие не выполняется. Ответ: 9 способов. 23. Сколько различных двухбуквенных «слов» можно составить из карточек, на которых написаны четыре буквы: a, b, c, d? Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 13). a, b, c, d a b c d b c a c d a b d a b c исходные буквы выбор первой буквы в «слово» выбор второй буквы в «слово» d рис. 13 d Ответ: 12 «слов». 24. Из Череповца до Вологды можно добраться теплоходом, поездом или автобусом, из Вологды до Кириллова – автобусом или теплоходом. Сколькими способами можно добраться из Череповца в Кириллов через Вологду. Т Т А П А Т А Т А Череповец Вологда Кириллов рис. 14 Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 14). Ответ: 6 маршрутов. 25. Сколько всего имеется четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 2? Ответ: 4 числа: 2000, 1100, 1010, 1001, т.к. 2 = 2 + 0 = 1 + 1. 26. Сколько всего имеется трехзначных чисел, сумма цифр которых равна трем? Ответ: 6 чисел: 300, 210, 201, 120, 102, 111, т.к. 3 = 3 + 0 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1. Решение простейших комбинаторных задач с помощью правил суммы и произведения Правило суммы настолько очевидно, что его можно не вводить, хотя несколько задач на применение его полезно решить. 1. В классе обучается 16 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного по классу? Ответ: 16+14=30 способов. 2.На тарелка лежат 6 яблок и 8 груш. Сколькими способами можно выбрать один плод? Ответ: способов. 3. На полке стоят 5 книг по математике и 3 книги по химии. Сколькими способами можно выбрать одну книгу? Ответ: 3+5=8 способов. Рассмотрим задачу, рассуждая над решением которой, можно ввести правило произведения. Сколькими способами можно выбрать две буквы из слова «учебник», чтобы одна из них была гласная, другая – согласная. Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис.15). Исходные данные Выбор гласной буквы Выбор согласной буквы ч б н к ч б н к ч б н к учебник у е и рис. 15 Ответ: 12 способов. Такие задачи мы решали раньше методом перебора. Если увеличить число исходных данных, то дерево возможных вариантов получится очень громоздким, а решение задачи с его помощью – неудобным. Встает проблема отыскания более удобных способов решения комбинаторных задач. Можно заметить, что справедливо правило, получившее название «правила произведения». Рассмотрим его применение на примере этой задачи. Выбор гласной буквы можно осуществить тремя способами, после чего выбор согласной буквы может быть сделан четырьмя способами. Очевидно, что выбор пары букв может быть сделан способами. Эти рассуждения помогают сформулировать правило произведения: пусть требуется выбрать пару элементов в указанном порядке. Если выбор первого элемента можно осуществить n способами, после чего выбор второго элемента можно осуществить k способами, то выбор пары элементов в указанном порядке можно осуществить способами. Формирование умения применять правило произведения обеспечивается, например, при решении следующих комбинаторных задач. 1. Имеется 12 различных книг: 7 по математике и 5 по физике. Сколькими способами можно выбрать две книги: одну по математике и одну по физике? Решение. Книгу по математике можно выбрать 7 различными способами, книгу по физике – 5 способами. Значит, всего выборов пары книг по разным предметам. Ответ: 35 способов. 2. В наряд надо послать двух человек: одного из шести сержантов и одного из десяти солдат. Сколькими различными способами можно составить наряд? Ответ: способов. 3. В киоске имеются 4 вида записных книжек и 3 вида авторучек. Сколько различных комбинаций, содержащих записную книжку и авторучку, можно приобрести в этом киоске? Проверить решение с помощью графа. Ответ: комбинаций. 4. Сколько различных двухзначных чисел можно составить только из цифр а) 1, 2, 3, 4, 5, 6; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5? Решение. а) Первую букву числа можно выбрать 6 способами, вторую – тоже 6 способами. Значит, всего можно составить двухзначных чисел. Ответ: 36 чисел. б) Первую цифру можно выбрать 5 способами (нуль не может стоять на первом месте, т.к. в этом случае получим однозначное число), вторую цифру – 6 способами. Тогда всего можно составить двузначных чисел. Ответ: 30 чисел. 5. Сколько различных двухзначных чисел можно составить только из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если в записи числа цифры не должны повторяться? Решение. Первую цифру можно выбрать 6 способами, вторую – только 5, т.к. цифры в записи числа не должны повторяться. Всего чисел будет . Ответ: 30 чисел. 6. Сколько есть двухзначных чисел, у которых обе цифры а) четные; б) нечетные? Ответ: а) чисел; чисел. 7. Сколькими способами можно распределить две различные книги среди пяти человек, если каждому можно дать не более одной книги? Ответ: способов. 8. Сколькими способами можно распределить две различные книги среди пяти человек, если не ограничивать число книг, доставшихся одному человеку? Ответ: способов. 9. Бригада из 20 человек для проведения собрания должна избрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Председателя можно избрать 20 способами, после этого секретаря можно выбрать 19 способами. Значит, всего способов. Ответ: 380 способов. 10. Бригада в составе 12 человек должна избрать делегацию в составе двух человек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Учитывая, что делегации Иванов и Петров, Петров и Иванов – одинаковы, получаем способов выбора делегации. Ответ: 66 способов. 11. В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали? Ответ: способов. 12. Сколько различных позиций может получиться на шахматной доске, если оба играющих, имея начальную позицию, сделают всего лишь по одному ходу? Ответ: позиций. 13. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые два шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире? Решение. Принимая во внимание то, что когда А играет в партию с В, то и В играет с А, получим сыгранных партий.

Похожие:

	Рабочая программа По математике 11 класс «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...		Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей вводятся в течение учебного года через примеры решения простейших...
	Особенности методики изучения элементов комбинаторики, статистики...		Методические указания по курсу “Математика” для студентов I курса Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую статистику, знакомство с графами
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторением. Формула Ньютона для степени...		Федеральная служба государственной статистики умо вузов российской... Московский государственный университета экономики, статистики и информатики (мэси)
	Доклад Александра Суринова, руководителя Федеральной службы государственной... «20 лет модернизации российской статистики: опыт и перспективы», посвященной 150 – летию Центрального статического Управления в России...		Элементы математической статистики Институт биологии, экологии, почвоведения, сельского и лесного хозяйства (Биологический институт)
	Федеральной службы государственной статистики по курганской области «промежуточные комплексы, более сложные, чем элементы, но менее сложные, чем сама система»		Т ехнология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении... Технология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении элементов комбинаторики
	Информационное письмо-приглашение всероссийская заочная научно-практическая... Она разрабатывает общие положения и методы статистического исследования. Ее категориями, показателями и методами пользуются все другие...		Рабочая программа математике для 5 класса В При изучении курса математики продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Действия с натуральными числами», «Действия...
	Правила для В журнале «Современные проблемы здравоохранения и медицинской статистики» публикуются научные обзоры, статьи проблемного и научно-практического...		Экономики, статистики и информатки Муштук О. З. Основы общей риторики. Переработанное и дополненное переиздание одноименного учебного пособия Киселева Е. А. (1951-2004...