Элементы комбинаторики, статистики и теориивероятностей

14. На плоскости имеется 5 точек А, B, C, D, E, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько они определяют отрезков? Проверить полученный результат на чертеже. Решение. Отрезок определяется двумя точками – началом и концом. Начало мы можем выбрать 5 способами, а конец – 4 способами. Т.к. отрезки АВ и ВА совпадают, то число отрезков . Ответ: 10 отрезков. 15. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник? Решение. I способ. Вершины пятиугольника определяют 10 отрезков (см. задачу 14). Среди них пять – стороны пятиугольника. Значит, диагоналей . II способ. Каждая вершина пятиугольника является началом четырех отрезков, среди которых два – стороны многоугольника, другие два – диагонали. Значит, всего диагоналей , но при этом каждая диагональ сосчитана дважды. Следовательно, диагоналей в выпуклом пятиугольнике – пять. Ответ: 5 диагоналей. 16. Сколько диагоналей имеет выпуклый а) десятиугольник; б) двадцатипятиугольник; в) n–угольник? Ответ: а) ; б) ; в) . 17. На окружности отмечено 8 точек. Сколько хорд они определяют? Ответ: хорд. 18. В столовой к обеду имеется выбор из четырех блюд на первое, пяти блюд на второе и трех блюд на десерт. Сколькими способами можно выбрать один обед? Решение. Выбор первого блюда можно сделать четырьмя способами, выбор второго – пятью способами, значит выбор первого и второго можно сделать способами. Выбор блюда на десерт можно сделать 3 способами, значит, выбрать обед из трех блюд можно способами, т.е. способами. Ответ: 60 способов. 19. Из города К в город М ведут k дорог, из города М в город N ведут m дорог, из города N в город Р -n дорог. Сколькими различными путями можно проехать из города К в город Р через города M и N? Решение. Из К в N можно проехать путями, из N в Р – n путями. Значит из К в Р можно проехать через города М и N путями. Анализируя задачи № 18 и № 19, приходим к выводу о возможности обобщения правила произведения. Пусть нам требуется составить набор из k элементов в определенном порядке. Если первый элемент можно выбрать различными способами, после чего второй элемент можно выбрать способами, третий - способами и т.д., выбор k-ого элемента может быть сделан способами, то выбрать k элементов в указанном порядке можно способами. 20. Учитель приготовил для решения в классе три задачи. Сколькими способами он может предложить эти задачи трем учащимся, если в классе обучается 30 человек? Ответ: способов. 21. Сколькими способами можно распределить три различных предмета между десятью лицами, если каждому давать не более одного предмета? Ответ: . 22. Сколькими способами можно распределить три различных предмета между десятью лицами, если не ограничивать число предметов, приходящихся на одного человека? Решение. Первый предмет можно отдать любому из 10 человек, второй и третий – тоже. Всего способов . Ответ: 1000 способов. 23. Среди пяти команд разыгрываются медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколькими способами они могут быть распределены между командами? Решение. Золотую медаль может получить одна из 5 команд. После этого серебряную медаль может получить одна из оставшихся 4 команд, бронзовую – одна из трех команд. Значит, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, равно . Ответ: 60 способов. 24. Сколькими способами 6 человек могут стать в очередь друг за другом? Ответ: способов. 25. Сколькими способами можно рассадить четырех человек на семи стульях? Решение. Первого можно посадить на любой из 7 стульев, после этого второго можно посадить на любой из 6 стульев и т.д. Всего способов . Ответ: 840 способов. 26. Каким числом способов можно рассадить 12 гостей на имеющихся 12 различных стульев? Ответ: способов. 27. 12 человек пришли в столовую. Знакомый предложил им следующее: «Если вы каждый день будете приходить в эту столовую и садиться за стол, где 12 мест, каждый раз в другом порядке, чем во все предыдущие, то, начиная с того дня, когда исчерпаются такие возможности пересадок, я буду кормить вас бесплатно». Не просчитается ли знакомый? Решение. 12 человек могут приходить в столовую и садиться за стол, где 12 мест, в другом порядке, чем во все предыдущие дни, дней, т.е. млн. лет. Конечно же, знакомому никакие потери не грозят. 28. В классе изучаются 12 предметов. Сколькими способами можно поставить в расписании на понедельник 5 уроков? Ответ: способов. 29. На собрании должны выступить 4 человека: A, B, C, D. Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов? Ответ: способа. 30. На собрании должны выступить 6 человека: A, B, C, D, E, F. Сколькими способами можно наметить порядок их выступления, если по каким-то причинам А должен выступить раньше, чем В. Решение. Порядок выступления 6 ораторов можно наметить способами. В половине из них А выступает раньше, чем В, в другой половине – В раньше, чем А. Следовательно, требуемый по условию задачи порядок выступления можно наметить 360 способами. Ответ: 360 способов. 31. На собрании должны выступить 5 человека: A, B, C, D, E. Сколькими способами можно наметить порядок их выступления, если В должен выступить сразу после А? Решение. Поскольку ораторы А и В всегда должны выступать один за другим, то их можно «объединить» и как бы считать за одного оратора. Вместе с оставшимися тремя ораторами получаем как бы 4 оратора. Составить порядок их выступления можно способами. Ответ: 24 способа. 32. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? Ответ: чисел. 33. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, чтобы в записи каждого числа не было одинаковых цифр? Решение. Ясно, что таких чисел будет меньше, чем в предыдущей задаче. В самом деле, первую цифру можем выбрать теми же 6 способами. Но второю уже 5, т.к. в записи числа цифры не должны повторяться. Третью цифру можем выбрать только 4 способами, четвертую – только тремя. Следовательно, всего чисел . Ответ: 360 чисел. 34. Сколько четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5? Решение. Первая цифра может быть любой из пяти (кроме нуля), вторая – любой из шести, а третья должна быть или 0 или 2, или 4 (т.к. число должно быть четное). Значит, всего чисел . Ответ: 90 чисел. 35. Сколькими способами можно расположить в ряд все 10 цифр так, чтобы цифры 4, 7, 9 стояли рядом в указанном порядке? Ответ: способов. (см. задачу 33). 36. Сколько существует пятизначных чисел, у которых а) первые две цифры одинаковы; б) только первые две цифры одинаковы? Решение. а) Первой цифрой может быть любая из 9 цифр (нуль не может стоять на первом месте). Вторая цифра должна совпадать с первой, т.е. для нее существует лишь один выбор. Третья, четвертая и пятая цифры могут быть выбраны 10 способами каждая. Следовательно, всего чисел . Ответ: 9000 чисел. б) Ответ: чисел. 37. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 5? Решение. Цифра 0 не может быть первой в записи числа, а последней цифрой может быть только 0 или 5. Значит, всего чисел . Ответ: 18000 чисел. 38. Сколько имеется пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Ответ: , так как четвертая цифра совпадает со второй, пятая – с первой. 39. Сколькими способами можно разложить 5 различных предметов по трем ящикам? Ответ: . 40. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное» слово. Пусть на диск нанесено 12 букв, и секретное слово состоит из пяти букв. Какое число попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова, в самом неблагоприятном случае? Ответ: попытки. 41. Сколькими способами можно разложить k различных предметов по n ящикам? Ответ: способов. 42. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых никакие две соседние цифры не совпадают? Ответ: число (первая цифра не может быть нулем, вторая не может совпадать с первой, третья – со второй и т.д.). 43. В магазине имеется 5 сортов вафель, 4 сорта печенья и 7 сортов конфет. Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую один сорт вафель и один сорт конфет или один сорт конфет и один сорт печенья? Решение. Сделать покупку, содержащую один сорт вафель и один сорт конфет, мы может способами, покупку, содержащую один сорт печенья и один сорт конфет - способами. Тогда интересующая нас покупка может быть сделана способами. Ответ: 63 способа. 44. На почте 8 видов марок, 4 вида конвертов без марок и 3 вида конвертов с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой (на нем или отдельно от него)? Решение. Можно выбрать или конверт с маркой (тремя способами) или конверт без марки и марку (это можно сделать способами). Значит, всего способов выбора конверта с маркой. Ответ: 35 способов. Заметим, что в задачах №43 и №44 правила суммы и произведения были использованы одновременно. Формированию умения совместного применения правил суммы и произведения способствуют задачи на составление слов или чисел из данных букв (цифр). Задачи на составление слов из данных букв Случайным образом пишется 4-х буквенное слово из букв А, Б, В, Е (буквы могут повторяться). Подсчитать количество слов, удовлетворяющих условию: в написанном слове: нет буквы А; все буквы одинаковые; все буквы разные; есть хотя бы одна буква А; буква А встречается ровно один раз; одинаковые буквы не стоят рядом; сначала идут две гласные буквы, а затем две согласные; буква А встречается ровно 2 раза; по краям стоят гласные буквы; нет гласных букв; согласные и гласные буквы чередуются, причем первая буква гласная. Ответы и пояснения к задачам на составление слов 1. 81 слово (). 2. 4 слова (АААА; ББББ; ВВВВ; ЕЕЕЕ). 3. 24 слова (). 4. 175 слов (из числа всех возможных слов вычтем число слов, записанных без буквы А: ). 5. 108 слов (, т.к. буква А может стоять в слове на любом из четырех мест (рис. 16)). А ∙ ∙ ∙ ∙ А ∙ ∙ ∙ ∙ А ∙ ∙ ∙ ∙ А рис. 16 6. 108 слов (, т.к. на первом месте (слева) стоит любая буква из четырех данных, на втором – любая из оставшихся трех, на третьем – любая из данных, кроме второй и т.д. 7. 16 слов (). 8. 54 слова (, т.к. возможно 6 способов расположения ровно двух букв А в слове (рис. 17)). А А ∙ ∙ А ∙ А ∙ А ∙ ∙ А ∙ А А ∙ ∙ А ∙ А ∙ ∙ А А рис. 17

Похожие:

	Рабочая программа По математике 11 класс «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...		Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей вводятся в течение учебного года через примеры решения простейших...
	Особенности методики изучения элементов комбинаторики, статистики...		Методические указания по курсу “Математика” для студентов I курса Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую статистику, знакомство с графами
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторением. Формула Ньютона для степени...		Федеральная служба государственной статистики умо вузов российской... Московский государственный университета экономики, статистики и информатики (мэси)
	Доклад Александра Суринова, руководителя Федеральной службы государственной... «20 лет модернизации российской статистики: опыт и перспективы», посвященной 150 – летию Центрального статического Управления в России...		Элементы математической статистики Институт биологии, экологии, почвоведения, сельского и лесного хозяйства (Биологический институт)
	Федеральной службы государственной статистики по курганской области «промежуточные комплексы, более сложные, чем элементы, но менее сложные, чем сама система»		Т ехнология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении... Технология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении элементов комбинаторики
	Информационное письмо-приглашение всероссийская заочная научно-практическая... Она разрабатывает общие положения и методы статистического исследования. Ее категориями, показателями и методами пользуются все другие...		Рабочая программа математике для 5 класса В При изучении курса математики продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Действия с натуральными числами», «Действия...
	Правила для В журнале «Современные проблемы здравоохранения и медицинской статистики» публикуются научные обзоры, статьи проблемного и научно-практического...		Экономики, статистики и информатки Муштук О. З. Основы общей риторики. Переработанное и дополненное переиздание одноименного учебного пособия Киселева Е. А. (1951-2004...